5 Mechanische Eigenschaften

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1 5 Mechanische Eigenschaften 5.1 Mechanische Beanspruchung und Elastizität 5.1 Antwort a) Stahlseil eines Förderkorbes: statische einachsige Zugbeanspruchung und überlagerte kleine Schwingungsamplituden (Zugschwellbelastung). b) Rotorblatt eines Hubschraubers: Zentrifugalkräfte beim Rotieren erzeugen Zugbeanspruchung (maximale Zugspannung an der Blatteinspannung) und schwingende Zug-/Druckbeanspruchung. An der Befestigung der Blätter kann es Reibermüdung geben. Im Stand verbiegen sich die Rotorblätter unter ihrem Eigengewicht und werden durch Biegespannungen (Oberseite Zugspannung, Unterseite Druckspannung) beansprucht. c) Gleitlagerschale: Druck aus dem Eigengewicht der Welle und Schubspannungen aus Reibungskräften. d) Generatorwelle (horizontale Lagerung): statische Biegebeanspruchungen und umlaufende Zug-/Druckbeanspruchungen infolge der Durchbiegung der Welle und Reibung im Lager. e) Hüllrohr eines Reaktorbrennelementes: Bestrahlung durch Neutronen, statische Zugspannung aus dem Eigengewicht bei erhöhter Temperatur (Kriechbeanspruchung); durch Temperaturzyklen entsteht zusätzlich eine thermische Ermüdungsbeanspruchung. Außerdem sind noch (chemische) Beanspruchungen durch Brennstoff und Umgebung vorhanden. f) Gasturbinenschaufel: Der Zugbeanspruchung infolge der Rotation sind Schwingungen (Zug-/Druck-Wechselbeanspruchung) überlagert. Diese Beanspruchungen treten bei sehr hohen Temperaturen auf, so dass noch Kriechen und Heißgaskorrosion hinzukommen. Antwort a) Werkzeugschneide (Drehmeißel, Fräser): Schubspannungen und erhöhte Temperatur infolge Reibung, b) Walzen beim Kaltwalzen: Ein mit zunehmender Verformung verfestigender Werkstoff übt eine Druckspannung auf die Walze aus, die zur Durchbiegung der Walze führt. Zusätzlich treten Schubspannungen in der Walzenoberfläche auf (Relativbewegung von Walze und Walzgut, ähnlich der Überrollung einer Schiene durch ein Eisenbahnrad).

2 Mechanische Eigenschaften Walzen beim Warmwalzen: Der Werkstoff verhält sich nahezu ideal plastisch (keine Verfestigung), so dass die mechanische Beanspruchung geringer ist. Allerdings wird die Walze auf Grund der höheren Temperatur zusätzlich thermisch belastet. In beiden Fällen muss der Walzenwerkstoff härter sein als der gewalzte Werkstoff. c) Draht beim Ziehen: Der radialen Druckspannung im Werkzeug ist eine Zugspannung auf der Austrittsseite überlagert. Die Oberfläche des Drahtes erfährt im Werkzeug eine mäßige Scherbeanspruchung durch Reibung. d) Tiefziehen: Kombination aus Biegen, einachsigem Recken und zweiachsigem Zug (im Boden). Reibung (gering) zwischen Werkzeug und verarbeitetem Werkstoff. Streckziehen: Wie beim Tiefziehen, jedoch sind die Ränder des Werkstücks eingespannt, so dass eine weitere Verformung in Dickenrichtung auftritt. Antwort Siehe dazu Abb. II.5.1. a) Linear elastisches Verhalten bezeichnet eine reversible Verformung, wobei der Zusammenhang zwischen Lastspannung σ und Verformung ε dem Hookeschen Gesetz folgt: σ = Eε. E ist der Elastizitätsmodul. Im Gegensatz verhält sich Gusseisen mit Lamellengraphit nichtlinear elastisch. b) Gummielastizität ist eine nichtlineare elastische Verformung in verknäuelten und schwach vernetzten Polymeren. c) Viskoelastizität ist eine zeitabhängige reversible Verformung. d) Die Elastizitätsgrenze R e ist jene Spannung, bei der erstmals plastische Verformung auftritt. R e elastisch (0) ( t) viskoelastisch gummielastisch Abbildung II.5.1. Linear elastisches, viskoelastisches und gummielastisches Verhalten

3 5.1 Mechanische Beanspruchung und Elastizität 235 Antwort Siehe dazu Abb. II.5.2. x bezeichnet die Belastungsrichtung, die beiden dazu senkrechten Querrichtungen sind y und z. a) Elastische Verformung ε el x = σ E = R p0,2 E = 300 =0, Bei Isotropie gilt: ε el y = εel z = νel ε el x = 0, 34 0, 0042 = 0, b) Die gesamte Verformung ε ges setzt sich aus der elastischen und plastischen Verformung zusammen, ε ges = ε el + ε pl.inx-richtung gilt: ε ges x = ε el x + εpl x =0, , 002 = 0, In Querrichtung gilt: ε ges y = ε el y + ε pl y = ε ges z = ε el z + ε pl z = ν ges ε ges x. Bei der plastischen Verformung gilt Volumenkonstanz, daher ist ν pl =0, 5 und ε pl y = ε pl z = ν pl ε pl x = 0, 5 0, 002 = 0, 001. Die gesamte Querkontraktionszahl ist: ν ges = εel y + εpl y 0, , 001 ε ges = =0, 387. x 0, 0062 R p0,2 R p x pl x el x Abbildung II.5.2. Elastische und plastische Verformung bei einachsiger Belastung

4 Mechanische Eigenschaften Schließlich ist die gesamte Verfomung in y- bzw.z-richtung: ε ges y = ε ges z = 0, 387 0, 0062 = 0, Anmerkung: Obwohlν el und ν pl unabhängig von der jeweiligen Dehnung sind, hängt die gesamte Querkontraktionszahl ν ges vom Verformungsgrad ab, da dieser über die Anteile der elastischen und plastischen Verformung an der gesamten Verformung ε ges entscheidet. Antwort In der Technik werden vier Konstanten benutzt, die voneinander abhängen. Es sind dies die Größen: Elastizitätsmodul E = σ/ε [GPa], Schubmodul G = τ/γ [GPa] (γ... Scherung), Kompressionsmodul K = p/(δv/v)[gpa] (p... Druck, ΔV... Volumenänderung) und die Querkontraktionszahl (Poissonsche Zahl) ν = ε q /ε l (q... quer, l... längs). Die Beziehungen zwischen diesen Konstanten lauten: K = E 3(1 2ν), G = E 2(1 + ν), E G = 9 3+G/K. Antwort Bei plastischer Verformung tritt keine Volumenänderung auf, die Querkontraktionszahl ist 0,5. Bei elastischer Verformung tritt eine Volumenänderung auf, daher beträgt die Querkontraktionszahl 0 <ν el < 0, 5. Antwort Die Volumenänderung bei plastischer Verfomung ist Null (Annahme der Inkompressibilität des Materials). Antwort Beim ebenen Dehnungszustand ist die Verformung in einer der drei Richtungen Null. Entsprechendes gilt für den ebenen Spannungszustand.

5 5.1 Mechanische Beanspruchung und Elastizität 237 Antwort Energieelastische Festkörper dehnen sich bei Erwärmung aus. Verhält sich der Körper isotrop, so kommt es nur zur Volumenänderung, verhält er sich anisotrop, so ändert er Volumen und Gestalt. Bei entropieelastischenkörpern (Elastomere) führt eine Erwärmungzur Kontraktion. Antwort Einen mehrachsigen Spannungszustand beschreibt man durch eine Vergleichsspannung, mit der man verschiedene Beanspruchungen miteinander vergleichen kann. Mit Hilfe der Vergleichsspannung lässt sich auch feststellen, wann ein mehrachsig belasteter Körper plastisch zu fließen beginnt, auch wenn man nur die Streckgrenze des Materials aus einem einachsigen Zug- oder Druckversuch kennt. Es ist praktisch, wenn man den mehrachsigen Spannungszustand mit den sog. Hauptnormalspannungen beschreibt (die Schubspannungen sind dann alle Null). Dazu muss der Spannungstensor in ein geeignetes Koordinatensystem transformiert werden. Fließbedingungen basieren auf Festigkeitshypothesen, wobei Versagen eintritt, wenn die Vergleichsspannung im Bauteil die Fließgrenze des Werkstoffs erreicht. In der Praxis sind zwei Fließbedingungen bedeutsam. - Fließbedingung nach Tresca: Die Bedingung besagt, dass plastisches Fließen unter der Einwirkung einer kritischen Schubspannung beginnt, welche Scherfließgrenze k genannt wird. Für die Hauptnormalspannungen σ 1 σ 2 σ 3 gilt σ 1 σ 3 =2k. Zwischen der Scherfließgrenze k und der Fließspannung R p eines Zugstabs besteht der Zusammenhang R p =2k. - Fließbedingung nach von Mises: Plastisches Fließen setzt ein, wenn die Gestaltänderungsenergiedichte einen kritischen Wert annimmt. Für die Hauptnormalspannungen σ 1,σ 2,σ 3 ist die Gestaltänderungsenergiedichte: Ū g = 1+ν 6 E [ (σ1 σ 2 ) 2 +(σ 2 σ 3 ) 2 +(σ 3 σ 1 ) 2]. Für den einachsigen Zugversuch (σ 1 0,σ 2 = σ 3 = 0) gelten bei Fließbeginn σ 1 = R p und

6 Mechanische Eigenschaften Ū g = 1+ν 6 E 2R2 p. Somit lautet die Fließbedingung nach von Mises: 1 2 [(σ 1 σ 2 ) 2 +(σ 2 σ 3 ) 2 +(σ 3 σ 1 ) 2 ]=R p. Für den ebenen Fall (σ 3 = 0) ergibt sich σ σ 2 2 σ 1σ 2 = R p. Zeichnet man diese Kurve in der (σ 1 σ 2 )-Ebene, so ergibt sich eine zu den beiden Achsen um 45 gedrehte Ellipse (,,Mises-Ellipse ) Zugversuch und Kristallplastizität Antwort a) E = σ/ε, Steigung des linearen Bereichs des Spannungs-Dehnungs-Diagramms (Hookesche Gerade). b) ν = ε q /ε l. c) Die Streckgrenze ist diejenige Spannung, bei der erstmals plastische Verformung auftritt. In der Praxis wird eine kleine plastische Verformung, oft 0,2 %, zur exakteren Festlegung der Einsatzspannung der Plastizität vorgegeben. Man spricht dann von der Dehngrenze R p0,2. d) Die Zugfestigkeit R m ist im technischen Spannungs-Dehnungs-Diagramm die maximale Spannung. Bei dieser Spannung beginnt eine Zugprobe einzuschnüren. Antwort Bei der Auswertung des Zugversuchs muss bei höheren Verformungsgraden berücksichtigt werden, dass die Probe während der Verlängerung ihren Querschnitt ändert. Für plastische Verformung kann im Gegensatz zur elastischen Verformung von konstantem Volumen ausgegangen werden. Bei steigender Last F der Zugmaschine muss deshalb die Verfestigung des Werkstoffs dσ/dϕ die Querschnittsabnahme da/dϕ kompensieren. Sonst tritt Versagen durch plastische Instabilität auf, d.h. es bildet sich eine Einschnürungszone, in der

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