Technical Note Nr. 105

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1 Seite 1 von 8 DMS-AUSGANGSSIGNALE BEI FREIER WÄRMEAUSDEHNUNG, NICHT-THERMISCHEN UND THERMISCHEN SPANNUNGEN Einführung Spannungsanalysen haben oft das Ziel, den Spannungszustand eines Teils oder einer Struktur zu bestimmen, so dass ein Vergleich mit einem bestimmten Ausfallkriterium (Streckgrenze, maximale Hauptspannung, Mises-Vergleichsspannung usw.) erfolgen kann. Für ein isotropes Material kann der Spannungszustand im elastischen Bereich mit experimentellen DMS-Daten und der biaxialen Form des Hookeschen Gesetzes ermittelt werden. Da bei Messungen mit einer elektrischen Widerstands-DMS-Anordnung eine große Datenmenge anfällt, ist es wichtig, die Antwort des DMS-Ausgangs auf 1) freie Wärmeausdehnung, 2) nicht-thermische Spannung und 3) thermische Spannung zu verstehen. Thermisches DMS-Ausgangssignal Das Ausgangssignal eines elektrischen Widerstands-DMS ist eine Funktion der Widerstandsänderung R des Gittermaterials. Es gibt grundsätzlich zwei Effekte, die eine Widerstandsänderung R hervorrufen. I. Mechanische (d. h. durch Spannungen verursachte) Dehnung, L/L des Substrats (d. h. des Materials, auf den der DMS aufgeklebt ist). II. Temperaturänderung des DMS-Gitters und Substrats. Letzteres wird als thermisches DMS-Ausgangssignal bezeichnet, das wie folgt quantifiziert werden kann 3 : 1 Auf der Oberfläche eines Testobjekts oder Teststruktur existiert höchstwahrscheinlich ein biaxialer (nicht uniaxialer) Spannungszustand. Zur Erfassung entsprechender DMS-Dehnungsdaten wird eine T-Rosette mit 2 Elementen benötigt, die mit den Hauptbelastungsachsen ausgerichtet sind. Wenn die Richtungen der Hauptachsen nicht bekannt sind, wird eine Rosette mit 3 Elementen benötigt. Mit der Rosetten-Spezifikation und der biaxialen Form des verallgemeinerten Hookeschen Gesetzes können die Hauptspannungen berechnet werden, siehe Anhang auf Seite 8. 2 Historisch wurden temperaturbedingte Widerstandsänderungen oft als scheinbare Dehnung bezeichnet, aber der Terminus thermisches Ausgangssignal ist mittlerweile eine international gültige Konvention. 3 Aus dem technischen Hinweis Measurements Group TN-504: Strain Gage Thermal Output and Gage Factor Variation with Temperature. Bei dieser Gleichung wird eine freie Wärmeausdehnung (bzw. -kontraktion) angenommen, deswegen gibt es einen Korrekturfaktor, der die Querempfindlichkeit des DMS berücksichtigt, der einer gleichmäßigen, biaxialen Substratausdehnung (bzw. -kontraktion) ausgesetzt ist. Mehr zu diesem Thema auf Seite 4.

2 Seite 2 von 8 Hierbei bedeuten: R ist die temperaturbedingte Widerstandsänderung. R 0 ist der ursprüngliche DMS-Widerstandswert und die Indexierung TO steht für das thermische Ausgangssignal (engl. Thermal Output ). SG ist der Temperaturkoeffizient des Widerstands des Leiters des Gitter-DMS. F SG ist der Dehnungsfaktor wie vom DMS-Hersteller angegeben. Kt ist die DMS-Querempfindlichkeit. 0 ist die Querdehnzahl des Standard-Testmaterials, das vom Hersteller verwendet wird, um den DMS zu kalibrieren und den DMS-Faktor zu ermitteln. SUB SG bezeichnet den Unterschied der thermischen Ausdehnungskoeffizienten von Substrat bzw. Gitter. T ist die Temperaturänderung von einem bestimmten Ausgangswert. Man beachte, dass grundsätzlich zwei Effekte zum thermischen Ausgangssignal beitragen: a) Die temperaturbedingte Änderung des Gitterwiderstands. b) Der relative Unterschied der thermischen Ausdehnungskoeffizienten von Gitter und Substrat. a) ist selbsterklärend, b) bedarf ein wenig Aufmerksamkeit. Die im Gitter hervorgerufene mechanische Dehnung ist abhängig vom Unterschied der Ausdehnungskoeffizienten von Gitter und Substrat. Da das Gitter so konstruiert ist, dass es auf mechanische Dehnung reagiert, tritt eine entsprechende Widerstandsänderung auf und trägt zum thermischen Ausgangssignal bei. Freie Wärmeausdehnung Idealerweise sollte das DMS-Ausgangssignal, das durch freie Wärmeausdehnung (bzw. -kontraktion) hervorgerufen wird, Null sein. Dies ist deshalb wünschenswert, da eine freie Wärmeausdehnung keine Spannung hervorruft. Gibt es kein Ausgangssignal aufgrund freier Wärmeausdehnung, gibt es keine Verfälschungen von DMS-Ausgangssignalen aufgrund von Spannungen, seien diese thermisch oder nicht-thermisch bedingt, oder bedingt durch eine Kombination aus beidem. Im Fall der freien Wärmeausdehnung treten eine Längenänderung und eine Temperaturänderung gleichzeitig auf. Da in diesem Fall kein Ausgangssignal erwünscht ist, haben die DMS-Hersteller Gitter aus speziellen Legierungen hergestellt, die bei freier Wärmeausdehnung zu einem Ausgangssignal nahe Null führen. Da sich in diesem Fall Gitter und Substrat, auf das das Gitter aufgeklebt ist, sowohl in Temperatur und Länge ändern, ist ΔR in der Gleichung für das thermische Ausgangssignal (vgl. Seite 1) nahezu Null. Diese Speziallegierungen werden in DMS mit Temperatur-Selbstkompensation (STC=Self-Temperature Compensated) eingesetzt. Dies zeigt, dass für eine gute Temperatur-Selbstkompensation die Legierung an den Ausdehnungskoeffizienten des Substrats angepasst werden muss. Wenn das Substrat beispielsweise aus Stahl besteht, muss ein sog. STC-Wert von 6 ppm/ F gewählt werden, da dieser Wert sehr nah am Ausdehnungskoeffizient von Stahl liegt. In der Regel stellen DMS- Hersteller bei STC-DMS ein Datenblatt zur Verfügung, das das thermische Ausgangssignal gegen die Temperatur zeigt 4. 4 Die Genauigkeit kann verbessert werden, wenn die Temperatur des getesteten Teils bekannt ist. In diesem Fall kann das thermische Ausgangssignal wie vom DMS-Hersteller vorgegeben einfach von den DMS-Messwerten abgezogen werden. Ein anderes Verfahren besteht darin, das Testteil mechanisch und thermisch spannungsfrei zu halten und gleichzeitig einer Temperaturänderung auszusetzen. Die dabei experimentell gewonnenen Daten können anschließend zur Korrektur der Messwerte herangezogen werden. Bei einem dritten Verfahren kommt eine Brücke mit thermisch integriertem Dummy-DMS (unbelastet) zum Einsatz.

3 Seite 3 von 8 Nicht-thermische Spannungen Nicht-thermische Spannung bedeutet in diesem Zusammenhang die Längenänderung eines Materials aufgrund einer äußerlich applizierten mechanischen Spannung bei konstanter Temperatur. Wie oben erwähnt hat ein DMS mit Temperatur-Selbstkompensation (STC) bei freier Wärmeausdehnung (bzw. -kontraktion) ein Ausgangssignal nahe Null, wenn sich sowohl die Länge des Substrats als auch dessen Temperatur ändert. Folglich führt eine Substratlängenänderung zu einem Ausgangssignal ungleich Null (dieses Mal aufgrund einer äußerlich applizierten Spannung und keiner Temperaturänderung.) Das Ausgangssignal des Messumformers ist in diesem Fall abhängig von der von außen verursachten mechanischen Dehnung ε = ΔL/L des DMS auf dem Substrat. Diese Dehnung wiederum hängt von der Spannung gemäß dem Hookeschen Gesetz ab. Thermische Spannung Dieser Fall beschreibt eine dritte Variante der Temperatur- und Längenänderung (bzw. das Fehlen einer solchen). Genauer gesagt geht es darum, dass keine Längenänderung bei einer Temperaturänderung zulässig ist (z. B. ein eingespanntes Substrat). Wir nehmen einen temperaturkompensierten DMS-Aufbau an und erwarten (und erhalten) aufgrund der obigen Überlegungen ein Ausgangssignal ΔR ungleich Null. Was bedeutet dieses DMS- Ausgangssignal? Ein einfaches Gedankenexperiment gibt uns die Antwort: Der Ausgang ist derselbe, der bei freier Wärmeausdehnung bei gleicher Temperaturänderung erwartet würde, wenn der DMS bei Erreichen der Endtemperatur mechanisch auf das Ausgangsmaß zusammengedrückt wird. Das Ausgangssignal nach diesem letzten Schritt des Gedankenexperiments ist natürlich die von außen auferlegte DMS-Druckbelastung gemäß dem Hookeschen Gesetz. Um sich selbst von der Korrektheit dieser Aussage zu überzeugen, sind die nachstehenden Gedanken hilfreich: Den DMS interessiert es nicht, ob das Teil, auf dem er aufgeklebt ist, durch thermische Änderung oder mechanische Belastung in seinen Zustand gelangt ist. Beides ist möglich, Weg 1: zusammengedrückt, dann erwärmt oder Weg 2: frei erwärmt und dann auf die Länge wie bei (Weg 1) zusammengedrückt. Abbildung 1 auf Seite 7 kann dabei helfen, die Definitionen und Beziehungen von freier Wärmeausdehnung, nicht-thermischer Spannung und thermischer Spannung zu verdeutlichen. Betrachten wir vor Abschluss des Falls thermischer Spannung, die durch die Temperaturänderung eines eingespannten Materials verursacht wird, die einzelnen Quellen, die zum Ausgangssignal beitragen, etwas näher. Erinnern Sie sich, dass das Ausgangssignal eines DMS grundsätzlich von drei verschiedenen Quellen stammen kann: 1) mechanische Dehnung (durch äußere Belastung) des Substrats, 2) temperaturbedingte Widerstandsänderung des Gitters und 3) unterschiedliche Wärmeausdehnungskoeffizienten von Gitter und Substrat. Letzteres wird wie oben beschrieben als thermisches Ausgangssignal bezeichnet. Vergleichen wir nun die freie Wärmeausdehnung direkt mit einer uniaxialen Spannung (uniaxial eingespanntes Teil), und zwar für jede der o. g. Quellen : Freie Wärmeausdehnung 1. Mechanische Dehnung (durch äußere Belastung) des Substrats = 0 (es gibt eine Längenänderung aufgrund der thermischen Ausdehnung, da die Spannung 0 ist, gibt es keine mechanisch bedingte Längenänderung ΔL, somit gilt für die mechanische Dehnung ε = ΔL/L = 0). 2. Gitter-Widerstandsänderung = SG T 3. Unterschied des Wärmeausdehnungskoeffizienten von Substrat und Gitter = Bei einem DMS mit Temperatur-Selbstkompensation (STC) sind 2) und 3) nahezu gleich und entgegengesetzt, so dass sich das gewünschte Ausgangssignal nahe Null ergibt.

4 Seite 4 von 8 Uniaxiale thermische Spannung (Uniaxial eingespanntes Teil mit Temperaturänderung) 1. Mechanische Dehnung (durch Belastung) des Substrats = 0 (obwohl nun die Belastung 0 ist, ist die Dehnung immer noch = 0, da das Teil eingespannt ist, d. h. ΔL = 0. Deshalb bleibt die mechanische Dehnung ε = ΔL/L bei= 0). 2. Änderung des Gitterwiderstands = (dieser Wert ist derselbe wie bei der freien Wärmeausdehnung). 3. Unterschied zwischen den Wärmeausdehnungskoeffizienten von Substrat und Gitter: Jetzt sind 2) und 3) nicht ungefähr gleich und nicht entgegengesetzt. Dies liegt daran, dass der Wärmeausdehnungskoeffizient des Substrats entlang der Gitterachse effektiv gleich Null ist, da das Teil eingespannt ist. Somit gibt es eine Quelle für das DMS-Ausgangssignal ungleich Null bei der thermischen Spannung. Zur Verdeutlichung: Wenn das eingespannte Substrat erwärmt wird, versucht das DMS-Gitter, sich gegen das Substrat auszudehnen, so dass ein effektiver Ausdehnungskoeffizient von Null resultiert. Das drückt sich als zusammendrückende mechanische Spannung des Gitters aus. Wie im vorstehenden Gedankenexperiment bereits festgestellt, entspricht das DMS-Ausgangssignal gleich der Stauchung, die über das Hookesche Gesetz mit der thermischen Spannung im Substrat verknüpft ist. Um die Kernaussage weiter zu verdeutlichen: Mit der Gleichung des thermischen Ausgangssignals auf Seite 1 ergibt sich für Stahl mit α SUB = 6 PPM/ F: Diese Gleichung enthält einen Korrekturfaktor (Quotient in Klammern). Die Korrektur ist aufgrund der DMS-Querempfindlichkeit (K t ) erforderlich. Der Korrekturfaktor berücksichtigt: 1) Die Tatsache, dass die thermische Dehnung bei der freien Wärmeausdehnung biaxial und in beide Richtungen gleich ist und 2) die Art und Weise, wie der DMS-Messumformer kalibriert wurde, um F SG zu erhalten (z. B. in einem uniaxialen Spannungsfeld auf einem Material der Querdehnzahl ν 0 ). Da K t verhältnismäßig klein ist, gilt für den Quotient in Klammern 1. Deshalb wird die DMS-Querempfindlichkeit für die weiteren Betrachtungen vernachlässigt. Wenn K t = 0 gesetzt und die Terme neu angeordnet werden, kann obige Gleichung wie folgt dargestellt werden:

5 Seite 5 von 8 Nach Teilen durch den K-Faktor F SG und Annahme eines im Rahmen dieser Betrachtung perfekten DMS mit Temperatur-Selbstkompensation (STC), d. h. eines DMS mit einem Ausgangssignal von exakt Null bei einer bestimmten freien Wärmeausdehnung erhalten wir: (Gleichung 1) Beschreiben wir nun das DMS-Ausgangssignal, das dem Zustand entspricht, bei dem ein DMS auf einem Stück Stahl nur entlang der Achse des DMS-Gitters eingespannt ist und erwärmt wird. Das DMS- Ausgangssignal wird in diesem Fall mit ε con bezeichnet. Dies ist gleichbedeutend mit einem imaginären Material, so dass α SUB = 0 PPM/ F entlang der Gitterachse ist, obwohl in Querrichtung α SUB = 6 PPM/ F bestehen bleibt und die Freiheit der Ausdehnung in diese Richtung besteht. Dies zeigt, dass es bei der thermisch bedingten Substratausdehnung eine Komponente quer zum DMS-Gitter gibt, die durch die freie Wärmeausdehnung in dieser Richtung bedingt ist. Dies tritt zusätzlich zur Querdehnung auf, die auf thermische Spannungen durch das Einspannen zurückzuführen ist. Wenn K t = 0 angenommen wird, ist die Anpassung der Gleichung für das thermische Ausgangssignal relativ einfach. Entwickeln wir nun die Gleichung für das thermische Ausgangssignal weiter und drücken das DMS-Ausgangssignal für unser imaginäres Material aus, erhalten wir: (Gleichung 2) Wird nun die Differenz des DMS-Ausgangssignals bei freier Wärmeausdehnung (ε free ) und des DMS- Ausgangssignals bei dem eingespannten und erwärmten Stück Stahl (ε con ) verwendet, können die Terme β SG, F SG und α SG in den Gleichungen (1) und (2) eliminiert werden. Da ε free = 0 angenommen wurde, ergibt sich: Dies entspricht dem Ergebnis unseres Gedankenexperiments, bei dem das Material, das sich frei ausdehnen konnte, in Richtung der Gitterachse in die ursprüngliche Position gepresst wird. Anders ausgedrückt wächst das Teil während der freien Wärmeausdehnung entlang der Gitterachse um den Betrag 6 PPM/ F, deshalb muss das Hineinpressen in die Ausgangsposition entlang der Gitterachse durch einen gleichgroßen entgegengesetzten Betrag an Mikrospannung erfolgen. Das Gedankenexperiment sollte den Leser überzeugen, dass eine großzügigere Handhabung unter Berücksichtigung von K t 0 ebenso wenig wie eine nicht ganz perfekte Temperatur- Selbstkompensation (STC) das Ergebnis nicht zu stark beeinflusst. * Vgl. Fußnote auf Seite 2

6 Seite 6 von 8 Zusammenfassung Es lassen sich folgende Aussagen für temperaturkompensierte elektrische Widerstands-DMS zusammenfassen: 1. Das Ausgangssignal als Antwort auf freie Wärmeausdehnung ist (nahezu) Null. Es gibt verschiedene Techniken, um Ausgangssignale ungleich Null bei freier Wärmeausdehnung zu kompensieren. Null oder fast Null ist als Ausgangssignal bei freier Wärmeausdehnung deswegen wünschenswert, weil keine Spannung auf Grund der freien Wärmeausdehnung auftritt. 2. Die Antwort auf nicht-thermische Spannungen im Sinne belastungsbedingter Ausdehnung ist die Längenänderung ΔL/L im Substrat. Das Ausgangssignal ist über das Hookesche Gesetz mit der Spannung verknüpft. 3. Die Antwort auf thermische Spannungen im Sinne belastungsbedingter Ausdehnung, die thermisch hervorgerufen wurde, ist ein Ausgangssignal, das über das Hookesche Gesetz mit der thermisch bedingten Spannung verknüpft ist. Im allgemeinen ist die Oberfläche eines Teils oder Struktur eine Kombination aus freier Wärmeausdehnung, nicht-thermischer Spannung und thermischer Spannung ausgesetzt. Die Eigenschaft, dass temperaturkompensierte elektrische Widerstands-DMS die freie Wärmeausdehnung effektiv ausblenden und ein Ausgangssignal bereitstellen, das sowohl thermische als auch nichtthermische Spannungen widerspiegelt und DMS-Daten bereitstellt, mit denen die Gesamtbelastung einer Oberfläche über die biaxiale Form des Hookeschen Gesetzes dargestellt werden kann, ist für viele Belastungsanalysen sehr hilfreich. HINWEISE ZUR VERWENDUNG EXPERIMENTELLER DMS-DATEN UND DEREN KORRELATION ZU EINEM FINITE ELEMENTE MODELL (FEM) FÜR EINE THERMISCH BELASTETE STRUKTUR Wie dargestellt gilt für temperaturkompensierte DMS Folgendes: 1) Es gibt kein Ausgangssignal, wenn sich eine strukturelle Größe aufgrund freier Wärmeausdehnung ändert und 2) es gibt ein Ausgangssignal, wenn sich eine strukturelle Größe aufgrund thermischer Spannungen ändert. In Anbetracht dessen wird empfohlen, bei thermisch belasteten Strukturen die FEM nicht mit experimentellen Dehnungsdaten zu korrelieren. Experimentelle Dehnungsdaten sollten in Spannungsdaten umgerechnet und die Korrelation auf Basis von DMS-Rosetten-Spannungsmessungen durchgeführt werden. Die biaxiale Form des Hookeschen Gesetzes transformiert experimentelle Dehnungsdaten in Spannungsdaten.

7 Seite 7 von 8 Abbildung 1: Skizze zur Verdeutlichung freier Wärmeausdehnung, nicht-thermischer Spannungen und thermischer Spannungen im Hinblick auf die Ausgangssignale temperaturkompensierter DMS (STC-DMS, hier sorgt die STC-Eigenschaft für eine Kompensation der freien Wärmeausdehnung)

8 Seite 8 von 8 Anhang Die biaxiale Form des Hookeschen Gesetzes: Hierbei bedeuten: * Einige Worte zum Mises-Kriterium Eines der vielen spannungsbasierten Ausfallkriterien ist das sog. Mises-Kriterium, das am besten mit den beobachtbaren Ausfällen durch Überschreitung der Streckgrenze bei duktilen Materialien übereinstimmt. Das Mises-Kriterium berücksichtigt kombinierte Spannungen und qualifiziert Materialverformungen. So werden auch Ausfälle durch Scherbeanspruchung erfasst. Dies ist auch der Grund, warum es das beste Ausfallkriterium für duktile Materialien darstellt. In der Praxis wird die Mises-Spannung (ein rechnerischer Wert mit Spannungseinheiten) mit einem Grenzwert verglichen, der auch als Zugfestigkeit des Materials bezeichnet wird. Ein Mises-Spannungswert, der unter der Zugfestigkeit liegt, ist wünschenswert. Ein Mises-Spannungswert, der gleich dem Wert der Zugfestigkeit ist, zeigt einen drohenden Ausfall an. Wie bereits erwähnt berücksichtigt das Mises-Kriterium Scherspannungen. Sie können dies mit Hilfe der ingenieursmäßigen Faustregel überprüfen, die besagt, dass die Scherfestigkeit typischerweise ~60 % der Zugfestigkeit ist. Diese Faustregel wird durch bekannte Scher- bzw. Zugfestigkeiten duktiler Materialien bestätigt. Die biaxiale Form der Mises-Spannung ist: Nehmen wir eine reine Scherung an. Ein kurzer Blick auf den Mohrschen Spannungskreis für diese Konstellation zeigt, dass die Hauptspannungen gleich und entgegengesetzt gerichtet sind. Sie sind außerdem gleich dem Betrag der reinen Scherspannungen. Wir möchten nun die Hauptspannungen auf die zuvor erwähnten Zugfestigkeitsgrenzen normalisieren. Hierfür setzen wir σ P = 1 und σ Q = -1. Dies ergibt σ VM = = 1,73 was bedeutet, dass die Mises-Spannung die Zugfestigkeit um einen Faktor von 1,73 überschreitet, wenn der Betrag der Hauptspannungen gleich dem der Zugfestigkeit ist (das ist nicht gut). Das bedeutet, dass der Betrag der Hauptspannungen um den Faktor 1/1,73 oder um 58 % reduziert werden muss, wenn die Mises- Spannung gleich der Zugfestigkeit sein soll. Da der Betrag der Hauptspannungen gleich dem Betrag der reinen Scherspannung ist, ist die maximale Scherspannung gleich 58 % der maximalen Zugspannung. Somit wurde hier mit dem Mises-Kriterium noch einmal die Faustregel bestätigt. * Vgl. z. B. Technischer Hinweis Measurements Group TN-515 Strain Gage Rosettes-Selection, Application and Data Reduction