FINITE ELEMENT METHODE ZUSAMMENFASSUNG MOTIVATION/GRUNDGEDANKE: ALLGEMEINES ZU FEM: AUFBAU EINER FEM STRUKTUR. Finite Element Methode Zusammenfassung
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- Herbert Klein
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1 1 von 5 FINITE ELEMENT METHODE ZUSAMMENFASSUNG MOTIVATION/GRUNDGEDANKE: Mathematisch: Ein numerisches Verfahren zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen, welche in ein algebraisches Gleichungssystem überführt werden. Der Grundgedanke besteht darin, das Werkstück in viele endliche (finite) Elemente aufzuteilen, die an den Elementrändern verknüpft sind. Für die gesuchten Funktionen (Verschiebungen, Stress), werden Ansätze gewählt, die nur in den einzelnen Elementen definiert sind und der unbekannte Faktor die Verschiebung ist. FEM wird meist in der Vorentwicklung (Konzeptphase) eingesetzt um den Prototypen so gut als möglich zu generieren. Weiter können so Versuche vor der Prototypenherstellung bereits vollzogen werden und somit die Bauteile Belastungsgerecht ausgelegt werden. ALLGEMEINES ZU FEM: Ist eine Nährungslösung ( numerisch) Entscheidend sind die Verschiebung der einzelnen Knoten Verschiebung (DOF = Freiheitsgrad einschränken = Die Unbekannten) Algebraische Grundgleichung [K] * {u} = [F] K = Steifigkeitsmatrix; u = Verschiebungsfaktor, F = Kraftfaktor Gesetze, die bei jedem Körper gelten: Kräftegleichgewicht, Werkstoffgesetz, Kinematische Beziehung Diskontinuität = Material, Geometrie, Belastung ändert sich Alles zwischen den Knoten verhält sich linear Linear = linie mit 2 Knoten + wenig Gleichungen geringere Genauigkeit Quadratisch = Linie mit Mittelknoten + Höhere Genauigkeit mehr Gleichungen Dreiecke und Tetraeder ohne Mittelknoten sind nicht brauchbar Verschiebung eines Knoten um den Wert x erzeugt in diesem Punkt eine Reaktionskraft Erdanziehung (Eigengewicht) = immer 9.81m/s^2 (egal welche Einheiten verwendet werden) Gewichtskraft immer in der Gegenrichtung eingeben (Pfeil zeigt die Reaktionskraft) Statisch bestimmtes Kraftwerk kann sich immer ausdehnen ohne, dass Kräfte entstehen Superposition = Überlagerung der Belastungsfälle Immer ein Remashing vornehmen, Belastung kann noch ansteigen Singuläre Stelle = Numerischer Fehler weitere Untersuchung nötig Konvergenzkriterium = Angabe von Bedingungen unter denen eine Reihe einen Grenzwert besitzt. (Mathe. Definition) Querkräfte: 2, 8 Biegemoment: 6, 12 AUFBAU EINER FEM STRUKTUR Welche physikalischen Effekte müssen vom Original berücksichtigt werden? (Idealisierung) Lasten (Kräfte, Momente, Strukturlasten, Verformung) Versagensarten (Knicken, Beulen, Gewaltbruch) Einfluss der Zeit (Stösse, Kriechen) Nichtlinearität (Geometrisch, materiell, Randbedingungen) Umweltbedingungen (Temperatur, Korrosion, Strahlung) Systemgrenze (Symmetrie)
2 2 von 5 Wie kann die idealisierte Physik mit der FE Methode beschrieben werden? (Modellbildung) Analysetyp (linear, nichtlinear, gekoppelt) Elementauswahl (Elementklassen, Elementtypen, Elementgrösse, Netzgenerierung) Modellierung der Struktur (direkt, indirekt, Vereinfachungen) Diskontinuität (Material, Geometrie, Randbedingungen, Belastung) Randbedingungen (Lasteinleitung, Lagerung) Werkstoffverhalten (Linear elastisch, nichtlinear) ELEMENTE: Stab Element: Link1 2 Freiheitsgrade am Knoten: Verschiebung ux, uy Geometrie: 2 Dimensional, geeignet für schlanke, langgestreckte Bauteile Mindesteingabe: Elastizitätsmodul, Querschnittsfläche Typische Anwendung: Stabtragwerk mit vorherrschender Normalkraft. Elemente können nur in Stabrichtung belastet werden (Pendelstütze) Fachwerk 3 D: Link8 (3 Freiheitsgrade) Balken Element: Beam3 3 Freiheitsgrade am Knoten: 2 Verschiebungen (ux, uy), 1 Rotation (ROTz) Geometrie: 2 Dimensional, geeignet für schlanke, langgestreckte Bauteile Beanspruchung: Längs bzw. Normalspannungen, Schubspannungen, Biegespannung Mindesteingabe: Elastizitätsmodul, Querschnittsfläche, Trägheitsmoment, Höhe Typische Anwendung: Stabtragwerk mit Biegespannungen. Elemente können längs und quer belastet werden. Balkenelement im Raum: Beam4 (3 Verschiebungen, 3 Rotationen) Scheiben Element: 2 Freiheitsgrade am Knoten: 2 Verschiebungen (ux,uy) Geometrie: 2 Dimensional, geeignet für Bauteile, deren Form und Belastung nicht von z Richtung abhängig ist Beanspruchung: Normal und Schubspannungen in der xy Ebene (keine Spannung in z Richtung, Dehnungen in x, y, z) Typische Anwendungen: Dünne Flächentragwerke, belastet nur in der Ebene Ebener Verformungszustand (EVZ) [plain strain] 3 D Problem wird zum 2 D Problem, da über die ganze Struktur der gleiche Spannungszustand herrscht. Rotationssymetrisches Element: 2 Freiheitsgrade am Knoten: 2 Verschiebungen (ux,uy) Geometrie: 2 Dimensional, geeignet für Bauteile, deren Form und Belastung nicht von der Umfangsposition (Winkel) um die Rotationsachse abhängt (Querschnitte und lasten an jedem Querschnitt gleich) Beanspruchung: Normal und Schubspannungen in der xy Ebene und Normalspannugen in Umfangsrichtung, Dehnungen in der xy Ebene und in z Richtung) Mindesteingabe: Elastizitätsmodul, Querkontraktionszahl Typische Anwendungen: Gerades Rohr unter Innendruck. Wellen unter Fliehkraftbeanspruchung. Modelliert werden muss nur die rechte Hälfte einer Schnittebene xy durch die Rotationsachse y
3 3 von 5 Schalen Element SHELL63 6 Freiheitsgrade am Knoten. 3 Verschiebungen (ux, uy, uz), 3 Rotationen (ROTx, ROTy, ROTz) Geometrie: 3 Dimensional, geeignet für flächige Bauteile (Veränderliche Dicke möglich) Beanspruchung: Membran, Biege und Schubspannung im Element (linearer Verlauf zwischen Oberund Unterseite) Typische Anwendung: Ebene Flächentragwerke wo Biege und Normalspannungen auftreten. Belastung kann quer und parallel zur Fläche aufgenommen werden. Achtung: Wo treten die Spannungen auf? Unter oder Oberseite Platten Element SHELL63 3 Freiheitsgrade am Knoten. 1 Verschiebungen (uz), 2 Rotationen (ROTx, ROTy) Geometrie: 3 Dimensional, geeignet für flächige Bauteile Beanspruchung: Biegespannungen im Element (linearer Verlauf zwischen Ober und Unterseite) Typische Anwendung: Ebene Flächentragwerk mit vorherrschender Biegebeanspruchung. Belastung darf nur senkrecht zur Fläche sein. Volumen Element SOLID45 3 Freiheitsgrade am Knoten: 3 Verschiebungen (u,v,w) Geometrie: 3 Dimensional, geeignet für allgemeine, voluminöse Bauteile Beanspruchung: Normal und Schubspannungen in alle 3 Raumrichtungen, Dehnungen ebenso Mindesteingabe: Elastizitätsmodul, Querkontraktionszahl Typische Anwendungen: Bauteile mit vergleichsweise grossen Abmessungen in allen 3 Richtungen STRESS (SPANNUNGSARTEN): First prinzipal stress = Hauptspannung Von Mises stress = Wichtige Vergleichsspannung / gilt gut für alle metallischen Werkstoffe / Basierend auf der Gestaltänderungshypotese / für duktile Spannungen DARSTELLEN VON SPANNUNGEN: Aus der Verschiebung wird die Dehnung berechnet Bei Spannungsberechnung zwischen den Elementen wird mittels Interpolation erzeugt Gefährlich Wenn das Ausschalten der Interpolation zu mehreren Farbänderungen zwischen den Elementen führt Netz verfeinern Ausschalten der Interpolation: GP_Element table_stress SX_Plot Results_Element table SCHNITTSTELLEN: Native Schnittstelle : Systemgebunden z.b. Parasolid Normierte Schnittstelle : IGES, STEP, DXF, FS FEHLERARTEN: Numerischer Fehler Diskretisierungsfehler (Gravierend; kann nicht durch feineres Netz behoben werden) Gesamtfehler
4 4 von 5 ELEMENTQUALITÄTEN: Verzerrungsprüfung (Diagonalverhältnis) Seitenverhältnisprüfung (Seitenverhältnis) Spitzenwinkeligkeitsprüfung (Winkelrstirktion alpha>10 ) Überkrümmungsprüfung (Winkelretriktion alpha grenz =45 ) BERECHNUNGSGENAUIGKEIT: Ansatzfunktion höherer Ordnung Elementform möglichst regelmässig Elementgrösse der Belastung entsprechend Je mehr Knoten, desto genauer Je feiner das Netz desto genauer Idealisierung der Realität entsprechend Numerischer Fehler, Diskretisierungsfehler Kompetenz des Anwenders 2D IDEALISIERUNGSANSÄTZE: ESZ Ebener Spannungszustand keine Spannungen in z Richtung, jedoch Verformung in z Richtung möglich EVZ Ebener Verformungszustand keine Dehnungen in z Richtung, jedoch Spannungen in z Richtung möglich KONVERGENZANALYSE: Verfeinern des Netzes, bis die Spannungen nicht mehr ansteigen (Endwert erreichen). VERGLEICHSSPANNUNGEN: 1., 2. Hauptspannungen (werden bei nicht duktilen Werkstoffen als Vergleichsspannungen herangezogen) von Mises Spannung (wird bei duktilen Werkstoffen als Vergleichspannung verwendet) Vergleichsspannung = Resultierende Spannung aus den 6 Spannungskomponenten um eine der Realität entsprechende Spannung darzustellen. CAD IMPORT Geometrie für die Berechnung idealerweise im CAD System aufbereiten Wenn möglich direkte (prt.), native Formate verwenden Bei direkt importierten Modellen kann in der Regel au die Parameter zurückgegriffen werden Importierte Modelle über neutrale Formate müssen häufig nachbearbeitet werden Toleranzen beachten; Geometriekontrolle (mm oder m) Verfahren: Direkte (Sparse, Frontal) + Genauigkeit + Schnell für kleine Gleichungssysteme Hoher Speicherbedarf für grosse Gleichungssysteme Geschwindigkeit bei grossen Modellen
5 5 von 5 Iterative (CG, JCG, PCG) +Speicherbedarf bei grossen Modellen + Plattenplatz bei grossen Modellen Startlösung notwendig Konvergenzkriterium VORGEHEN BEI DER VALIDIERUNG [AUSWERTUNG] Numerisches Verfahren keine Exakte Wissenschaft Plausibilitätskontrolle (Gleichgewichtskräfte Lagerreaktionen, Verformung) Beträchtliche Spannungskomponenten an theoretisch Spannungsfreien Oberflächen? Auffällige Unstetigkeiten der Spannungen an den benachbarten Elementen Überprüfen der Berechnungen mit Überschlagsberechnung Vergleichsrechnung mit anderen FE Programmen Konvergenzanalyse mit einem anderen Modell berechnen Berechnung mit unterschiedlichen Lasten Vergleiche mit praktischen Messungen
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