Technische Mechanik. Jürgen Dankert Helga Dankert

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1 Jürgen Dankert Helga Dankert Technische Mechanik Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik 6., überarbeitete Auflage Mit 1102 Abbildungen, 128 Übungsaufgaben, zahlreichen Beispielen und weiteren Abbildungen und Aufgaben im Internet STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Statik Die Kraft Axiome der Statik Das Schnittprinzip 5 2 Das zentrale ebene Kraftsystem Äquivalenz Gleichgewicht Aufgaben 16 3 Das allgemeine ebene Kraftsystem (Äquivalenz) Grafische Ermittlung der Resultierenden Parallele Kräfte Kräftepaar und Moment Das Moment einer Kraft Äquivalenz Versetzungsmoment Analytische Ermittlung der Resultierenden Fazit zum Thema Äquivalenz 28 4 Schwerpunkte Schwerpunkte von Körpern Flächenschwerpunkte Linienschwerpunkte Experimentelle Schwerpunktermittlung Flächenschwerpunkte, Computer-Verfahren Eine durch einen Polygonzug begrenzte ebene Fläche Durch zwei Funktionen begrenzte Fläche Volumen-, Flächen- und Linienlasten Aufgaben 45 5 Gleichgewicht des ebenen Kraftsystems Die Gleichgewichtsbedingungen Lager und Lagerreaktionen in der Ebene Statisch bestimmte Lagerung Aufgaben 59

3 X Inhaltsverzeichnis 6 Ebene Systeme starrer Körper Statisch bestimmte Systeme Stäbe und Seile als Verbindungselemente Lineare Gleichungssysteme Fachwerke Statisch bestimmte Fachwerke Berechnungsverfahren Komplizierte Fachwerke, Computerrechnung Starrkörpersysteme als Fachwerke, Leichtbau Aufgaben 91 7 Schnittgrößen Definitionen Differenzielle Zusammenhänge Ergänzende Aussagen zu den Schnittgrößen Aufgaben Räumliche Probleme Zentrales Kraftsystem Räumliche Fachwerke Allgemeines Kraftsystem Momente Das Moment einer Kraft Äquivalenz und Gleichgewicht Schnittgrößen Aufgaben Haftung Coulombsches Haftungsgesetz Seilhaftung Aufgaben Elastische Lager Lineare Federn Gleichgewicht bei steifen Federn Gleichgewicht bei weichen Federn Beurteilung der Gleichgewichtslagen Aufgaben Seilstatik, Kettenlinien, Stützlinien Das Seil unter Eigengewicht Das Seil unter konstanter Linienlast 163

4 Inhaltsverzeichnis XI 12 Grundlagen der Festigkeitslehre Beanspruchungsarten Spannungen und Verzerrungen Der Zugversuch Hookesches Gesetz, Querkontraktion Festigkeitsnachweis Belastungsarten Dauerfestigkeit Gestaltfestigkeit Zeitfestigkeit Spannungskollektive Palmgren-Miner, Gaßner-Kurven Zug und Druck Spannung, Dehnung Statisch unbestimmte Probleme Temperatureinfluss, Fehlmaße Aufgaben Der Stab als finites Element Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Fluchtende Stabelemente Ebene Fachwerk-Elemente Temperaturdehnung, Anfangsdehnung Physikalische und mathematische Modelle, Nutzung von FEM-Programmen Aufgaben Biegung Biegemoment und Biegespannung Flächenträgheitsmomente Definitionen Einige wichtige Formeln Der Satz von Steiner ' Zusammengesetzte Flächen Hauptträgheitsmomente, Hauptzentralachsen Formalisierung der Berechnung Durch Polygonzüge begrenzte Flächen, beliebig berandete Flächen Gültigkeit der Biegespannungsformel, Widerstandsmomente, Beispiele Aufgaben 246

5 XII Inhaltsverzeichnis 17 Verformungen durch Biegemomente Differenzialgleichung der Biegelinie Integration der Differenzialgleichung Rand- und Übergangsbedingungen Einige einfache Biegelinien Statisch unbestimmte Systeme Superposition Aufgaben Computer-Verfahren für Biegeprobleme Das Differenzenverfahren : Differenzenformeln Biegelinie bei konstanter Biegesteifigkeit Biegelinie bei veränderlicher Biegesteifigkeit Vermeiden von Übergangsbedingungen Einige spezielle Randbedingungen Der Biegeträger als finites Element Element-Steifigkeitsmatrix für Biegeträger Element-Belastungen (Linienlasten) Exakte Lösungen, Näherungslösungen Biegesteife Rahmentragwerke Aufgaben Spezielle Biegeprobleme Schiefe Biegung Der elastisch gebettete Träger Differenzialgleichung für den elastisch gebetteten Träger Lösung der Differenzialgleichung der Biegelinie Lösung mit dem Differenzenverfahren Lösung mit der Finite-Elemente-Methode Der gekrümmte Träger Schnittgrößen Spannungen infolge Biegemoment und Normalkraft Verformungen des Kreisbogenträgers Numerische Berechnung der Verformungen Aufgaben Querkraftschub Ermittlung der Schubspannungen Dünnwandige offene Profile, Schubmittelpunkt Schubspannungen in Verbindungsmitteln Verformungen durch Querkräfte Aufgaben 360

6 Inhaltsverzeichnis XIII 21 Torsion Torsion von Kreis-und Kreisringquerschnitten St.-Venantsche Torsion beliebiger Querschnitte St.-Venantsche Torsion dünnwandiger Querschnitte Dünnwandige geschlossene Querschnitte Dünnwandige offene Querschnitte Formeln für die St.-Venantsche Torsion Numerische Lösungen Aufgaben Zusammengesetzte Beanspruchung Modelle der Festigkeitsberechnung Der einachsige Spannungszustand Der ebene Spannungszustand Der räumliche Spannungszustand Festigkeitshypothesen Normalspannungs- und Schubspannungshypothese Gestaltänderungshypothese Berechnung von Wellen Aufgaben Knickung Stabilitätsprobleme der Elastostatik Stab-Knickung Differenzialgleichung 4. Ordnung Numerische Lösung von Knickproblemen Aufgaben Formänderungsenergie Arbeitssatz Formänderungsenergie für Grundbeanspruchungen Satz von MAXWELL und BETTI Verfahren auf der Basis der Formänderungsenergie Statisch bestimmte Probleme Statisch unbestimmte Probleme Aufgaben Rotationssymmetrische Modelle Rotationssymmetrische Scheiben Spezielle Anwendungsbeispiele Dünnwandige Behälter (Membranspannungen) Aufgaben 456

7 XIV Inhaltsverzeichnis 26 Kinematik des Punktes Geradlinige Bewegung des Punktes Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung Kinematische Diagramme Allgemeine Bewegung des Punktes Allgemeine Bewegung in einer Ebene Beschleunigungsvektor, Bahn- und Normalbeschleunigung Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung Koppelgetriebe Darstellung der Bewegung mit Polarkoordinaten Allgemeine Bewegung im Raum Aufgaben Kinematik starrer Körper Die ebene Bewegung des starren Körpers Reine Rotation Translation und Rotation Der Momentanpol Geschwindigkeit und Beschleunigung Ebene Relativbewegung eines Punktes Bewegung des starren Körpers im Raum Reine Rotation Allgemeine Bewegung Relativbewegung eines Punktes Systeme starrer Körper Aufgaben Kinetik des Massenpunktes Dynamisches Grundgesetz Kräfte am Massenpunkt Geschwindigkeitsabhängige Bewegungswiderstände Massenkraft, das Prinzip von d'alembert Lösungen für Bewegungs-Differenzialgleichungen Problemstellung Numerische Integration von Anfangswertproblemen Schrittweiten, Fehler, Kontrollen Integration des dynamischen Grundgesetzes Arbeit, Energie, Leistung Der Impulssatz Der Energiesatz Aufgaben 539

8 Inhaltsverzeichnis XV 29 Kinetik starrer Körper Reine Translation Rotation um eine feste Achse Massenträgheitsmomente Massenträgheitsmomente einfacher Körper Der Satz von Steiner Deviationsmomente, Hauptachsen Beispiele zur Rotation um eine feste Achse Allgemeine Beispiele Auswuchten von Rotoren Ebene Bewegung starrer Körper Schwerpunktsatz, Drallsatz Das Prinzip von d'alembert Energiesatz Beispiele Räumliche Bewegung starrer Körper Schwerpunktsatz, Drallsatz Körperfeste Koordinaten, Eulersche Gleichungen, Kreiselbewegung Das Kreiselmoment Aufgaben Kinetik des Massenpunktsystems Schwerpunktsatz, Impulssatz, Drallsatz Stoß Der gerade zentrische Stoß Der schiefe zentrische Stoß Der exzentrische Stoß Aufgaben Schwingungen Harmonische Schwingungen Freie ungedämpfte Schwingungen Schwingungen mit kleinen Ausschlägen Elastische Systeme Nichtlineare Schwingungen Freie gedämpfte Schwingungen Erzwungene Schwingungen Schwingungen mit harmonischer Erregung der Masse Erregung über Feder und Dämpfer Unwuchterregung Biegekritische Drehzahlen Aufgaben 631

9 XVI Inhaltsverzeichnis 32 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Freie ungedämpfte Schwingungen Torsionsschwingungen Eigenschwingungen linear-elastischer Systeme Biegekritische Drehzahlen Zwangsschwingungen, Schwingungstilgung Kontinuierliche Massebelegung, unendlich viele Freiheitsgrade Biegeschwingungen gerader Träger Analytische Lösung für Träger mit konstantem Querschnitt Aufgaben Prinzipien der Mechanik Prinzip der virtuellen Arbeit Prinzip der virtuellen Arbeit für Potenzialkräfte, Stabilität des Gleichgewichts Prinzip von d'alembert in der Fassung von Lagrange Lagrangesche Bewegungsgleichungen Generalisierte Kräfte, Potenzialkräfte Virtuelle Arbeit der Massenkräfte Lagrangesche Gleichungen 2. Art Prinzip vom Minimum des elastischen Potenzials Das Verfahren von Ritz Randwertproblem und Variationsproblem Verfahren von Ritz mit bereichsweise geltenden Ansatzfunktionen Verfahren von Ritz und Finite-Elemente-Methode Aufgaben Methode der finiten Elemente Zugang zur Theorie Ein- bzw. zweidimensionale FEM-Modelle Elementauswahl, Vernetzung Reduktion der Elementlasten, Realisierung der Lagerung Die Element-Steifigkeitsmatrix Weitere Elementtypen, Testrechnungen Scheibenelement mit 16 Freiheitsgraden Konische Welle St.-Venantsche Torsion Aufgaben Verifizieren von Computerrechnungen Allgemeine Empfehlungen Beispiele 719 Sachwortverzeichnis 747