Lehrbuch der Technischen Mechanik Elastostatik

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1 Lehrbuch der Technischen Mechanik Elastostatik

2 Rolf Mahnken Lehrbuch der Technischen Mechanik Elastostatik Mit einer Einführung in Hybridstrukturen

3 Rolf Mahnken Universität Paderborn Fakultät für Maschinenbau Lehrstuhl für Technische Mechanik Paderborn, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Vieweg Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Berlin Heidelberg ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (

4 Vorwort Dieser Band zur Elastostatik erscheint in Ergänzung zu den Bänden über Statik und Dynamik in der Reihe Lehrbuch der Technischen Mechanik. Auch dieses Buch richtet sich vorrangig an Studentinnen und Studenten verschiedener Ingenieurstudiengänge sowie an Ingenieure in der beruflichen Praxis. Zum Verständnis des Buches werden Kenntnisse über die Starrkörperstatik vorausgesetzt. Das Buch ist in zehn Kapitel gegliedert, welche die Themen der Elastostatik in einem Grundstudium an deutschen Universitäten und Fachhochschulen umfassend abdecken. Dazu werden für die vier Grundlastfälle des Stabes - Zug/Druck, Biegung, Torsion und Schub - in einem methodisch einheitlichen Vorgehen die Grundgleichungen hergeleitet. Deren Auswertungen führen auf Berechnungsformeln, die in Lösungsschritten tabellarisch aufbereitet werden. Damit können typische Ingenieuraufgaben (z.b. Spannungs- und Verformungsnachweise für statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme) praxisnah bearbeitet werden. Neuartig gegenüber vergleichbaren Lehrbüchern ist in dem Kapitel über mehrdimensionale Spannungs- und Verzerrungszustände die Berücksichtigung chemischer Verzerrungen,wofür das Schwinden von Beton oder die Alterung von Kunststoffen typische Beispiele sind. Besonderes Gewicht hat der Autor in dem Kapitel über Energiemethoden auf zwei zueinander komplementäre, d.h. sich ergänzende, Ansätze gelegt. Auf der Grundlage eines kraftgesteuerten Ansatzes erhält man den Satz von Engesser (bzw. im linearen Fall den 1. Satz von Castigliano) und das Prinzip der virtuellen Kräfte. Diese Verfahren spielen für Handrechnungen in der Ingenieurpraxis eine unverzichtbare Rolle. Dazu komplementär erhält man auf der Grundlage eines verschiebungsgesteuerten Ansatzes den 2. Satz von Castigliano und das Prinzip der virtuellen Verschiebungen. Diese beiden Verfahren haben ihre Berechtigung als Grundlage für numerische Methoden. Zum besseren Verständnis wird eine Einführung in die Finite-Elemente-Methode am Beispiel des Balkens gegeben, obwohl das Thema im Allgemeinen nicht Bestandteil des Grundstudiums ist. Häufig erlangen Konstruktionen oder Bauteile des Bauwesens und Maschinenbaus erst durch das Zusammenwirken verschiedener Materialien verbesserte Eigenschaften, z.b. bezüglich Gewicht, Festigkeit oder Umweltverträglichkeit. Gleichzeitig führen steigende Forderungen nach Ressourcenschonung von Materialien und Energie zu steigenden Anforderungen an die Berechnungsverfahren, was in einem eigenen Kapitel über Hybridstrukturen zum Ausdruck kommt. Besonders bedanken möchte ich mich bei den Mitarbeitern des Lehrstuhls für Technische Mechanik, Universität Paderborn, Christian Dammann und Martin Düsing für die Unterstützung bei der Erstellung der Übungsaufgaben. Des Weiteren sei den Hilfsassistenten Daniel Weiner und Carlo Oberkönig für die Bearbeitung der Übungsaufgaben gedankt. Dem Hilfsassistenten Julius Berse danke ich für die sorgfältige Anfertigung zahlreicher anschaulicher Abbildungen. Dem Springer Verlag, insbesondere Frau Eva Hestermann-Beyerle und Frau Kollmar, möchte ich für die gute Zusammenarbeit danken. Paderborn, im Januar 2015 Rolf Mahnken

5 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Aufgaben der Elastostatik Einige Meilensteine in der Geschichte der Elastostatik Methodisches Vorgehen zur Erarbeitung der vier Grundlastfälle Inhalte des Buches und Hinweise zu den Übungsaufgaben Zug und Druck in Stäben Der homogene Zug/Druck-Stab Normal- und Schubspannungen Dehnungen Materialverhalten im Experiment Stoffgesetze Ingenieuraufgaben zur Gebrauchsfähigkeit Der homogene Zug/Druck-Stab: Voraussetzungen und Annahmen Praktische Berechnung von statisch bestimmten, homogenen Zug/Druck-Stäben Praktische Berechnung von statisch unbestimmten, homogenen Zug/Druck-Stäben Aufgaben zu Abschnitt Der inhomogene Zug/Druck-Stab Voraussetzungen und Annahmen Die Gleichgewichtsbedingung Inhomogene Spannungen längs der Stabachse Inhomogene Dehnungen längs der Stabachse Stoffgesetze Die Grundgleichungen des inhomogenen Zug/Druck-Stabes Auswertung der Grundgleichungen Praktische Berechnung von statisch bestimmten, inhomogenen Zug/Druck-Stäben Praktische Berechnung von statisch unbestimmten, inhomogenen Zug/Druck- Stäben

6 VIII Inhaltsverzeichnis Zusammenfassung zum Zug/Druck-Stab Aufgaben zu Abschnitt Das Kraftgrößenverfahren für statisch unbestimmte Zug/Druck-Stäbe Der Grundgedanke des Kraftgrößenverfahrens Lösungsschritte für das Kraftgrößenverfahren Aufgaben zu Abschnitt Flächenmomente 2. Ordnung Definitionen von Flächenmomenten 0., 1. und 2. Ordnung Praktische Auswertung der Flächenintegrale Parallelverschiebung der Koordinatenachsen: Der Satz von Steiner Flächenmomente 2. Ordnung für zusammengesetzte Querschnitte Flächenmomente 2. Ordnung bei Verdrehung der Koordinatenachsen Hauptträgheitsachsen Achsen der maximalen und minimalen Flächenträgheitsmomente Achsen des maximalen und minimalen Deviationsmomentes Aufgaben zu Kapitel Die technische Biegetheorie Grundlagen Begriffe zur Biegetheorie Einteilungen zur Biegung Voraussetzungen Die gerade Biegung Annahmen Die Kinematik infolge Biegung Äquivalenzbedingungen für Schnittgrößen und Normalspannungen Die Grundgleichungen der geraden Biegung Auswertung der Grundgleichungen Praktische Berechnung von statisch bestimmten Balkensystemen Praktische Berechnung von statisch unbestimmten Balkensystemen Gerade Biegung mit Normalkraft Symmetrie- und Antisymmetriebedingungen Aufgaben zu Abschnitt Schiefe Biegung mit Normalkraft Definitionen von gerader und schiefer Biegung Die Grundgleichungen der schiefen Biegung mit Normalkraft Auswertung der Grundgleichungen Sonderfall: Koordinatensystem im Schwerpunkt Sonderfall: Transformation auf Hauptachsen Sonderfall: Koordinatenachsen sind gleichzeitig Hauptachsen Sonderfall: Gerade Biegung ohne Normalkraft Aufgaben zu Abschnitt Die Kernfläche eines Querschnitts

7 Inhaltsverzeichnis IX Grundlagen Praktische Berechnung von Kernflächen Aufgaben zu Abschnitt Das Kraftgrößenverfahren für statisch unbestimmte Balkensysteme Der Grundgedanke des Kraftgrößenverfahrens Praktische Berechnung mit dem Kraftgrößenverfahren Die gerade Biegung mit Normalkraft und Temperaturänderung Herleitung der Grundgleichungen Auswertung der Grundgleichungen Aufgaben zu den Abschnitten 4.5 und Das Weggrößenverfahren für statisch unbestimmte Balkensysteme Der Grundgedanke des Weggrößenverfahrens Praktische Berechnung mit dem Weggrößenverfahren Aufgaben zu den Abschnitten Mehrdimensionale Spannungs- und Verzerrungszustände Der räumliche Spannungszustand Grundlagen Gleichgewichtsbedingungen Die Äquivalenzbedingungen für den Stab Der räumliche Verschiebungs- und Verzerrungszustand Verschiebungen Der räumliche Verzerrungszustand Die Volumendehnung Stoffgesetze Das Hookesche Gesetz für dreidimensionales elastisches Materialverhalten Zusammenhang zwischen E,G und ν Das Elastizitätsgesetz für die Volumendehnung Thermische Dehnungen Chemische Dehnungen Das verallgemeinerte Hookesche Gesetz Die Grundgleichungen des Thermo-Chemo-Elastizitätsproblems Der ebene Spannungszustand Definition des ebenen Spannungszustandes Drehung des Koordinatensystems Hauptnormalspannungen Hauptschubspannungen Der Mohrsche Spannungskreis Materialgleichungen für den ebenen Spannungszustand Der ebene Verzerrungszustand Definition des ebenen Verzerrungszustandes Verzerrungen in gedrehten Koordinatensystemen Materialgleichungen für den ebenen Verzerrungszustand

8 X Inhaltsverzeichnis 5.6 Der rotationssymmetrische Spannungs- und Verzerrungszustand Definition zur Rotationssymmetrie Stoffgesetze für Rotationssymmetrie Grundlagen der Festigkeitslehre für mehrachsige Spannungszustände Einfluss der Materialeigenschaft Einfluss des Spannungszustandes: Die Vergleichsspannungshypothese Hauptnormalspannungshypothese nach Rankine Schubspannungshypothese nach Tresca Deviatorspannungshypothese nach (Huber, Hencky) von Mises Aufgaben zu Kapitel Schubspannungen in Biegebalken Definitionen zur Schubspannung Schubspannungen infolge Querkraft in dickwandigen Querschnitten Voraussetzungen und Annahmen Herleitung der Schubspannungsformel aus Gleichgewicht Schubspannungen infolge Querkraft in dünnwandigen Querschnitten Voraussetzungen und Annahmen Herleitung der Schubspannungsformel aus Gleichgewicht Praktische Berechnung von Schubspannungen Der Schubmittelpunkt von dünnwandigen Querschnitten Grundlagen Praktische Berechnung des Schubmittelpunktes Der schubweiche Balken nach Tymoschenko Grundlagen Voraussetzungen und Annahmen Herleitung der Grundgleichungen Auswertung der Grundgleichungen Aufgaben zu Kapitel Die technische Torsionstheorie Grundlagen Begriffe zur technischen Torsionstheorie Einteilungen zur Torsion Voraussetzungen Die Gleichgewichtsbedingung Torsion von Kreis- und Kreisringquerschnitten Voraussetzungen und Annahmen Herleitung der Grundgleichungen Auswertung der Grundgleichungen Dimensionierung von Wellen Schraubenfedern: Schubspannungen und Steifigkeiten St.-Venantsche Torsion dünnwandiger geschlossener Querschnitte Voraussetzungen und Annahmen

9 Inhaltsverzeichnis XI Herleitung der Grundgleichungen Auswertung der Grundgleichungen Berechnung der Verwölbung St.-Venantsche Torsion dünnwandiger offener Querschnitte Voraussetzungen und Annahmen Dünnwandige Rechteckquerschnitte Zusammengesetzte dünnwandige offene geradlinige Querschnitte Zusammengesetzte dünnwandige offene Querschnitte St.-Venantsche Torsion beliebiger Querschnitte Voraussetzungen und Annahmen Herleitung der Grundgleichungen Auswertung der Grundgleichungen mit der Torsionsfunktion Analogien zur Torsion beliebiger Querschnitte Kombinierte Beanspruchung von Stabsystemen Aufgaben zu Kapitel Energiemethoden der Elastostatik Äußere Arbeit und komplementäre Arbeit Die Arbeitssätze von Betti und Maxwell Zwei Arbeitssätze der Elastostatik Der homogene Zug/Druck-Stab Der dreidimensionale Körper unter mechanischer Belastung Komplementäre Formänderungsenergien des Einzelstabes Der Arbeitssatz für Stabsysteme Die Methode der Hilfskräfte Der Balken unter mechanischer Belastung Der Stab unter thermo-mechanischer Belastung Die Überlagerungstabellen Das Kraftgrößenverfahren für statisch unbestimmte Systeme Der Reduktionssatz Aufgaben zu den Abschnitten 8.3 und Die Sätze von Engesser, Castigliano und Menabrea Der Satz von Engesser und 1. Satz von Castigliano Der Satz von Menabrea Der 2. Satz von Castigliano Aufgaben zu Abschnitt Zwei virtuelle Arbeitsprinzipien der Elastostatik Virtuelle Verformungs- und Kraftgrößen Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen Das Prinzip der virtuellen Kräfte Aufgaben zu Abschnitt Die Finite-Elemente-Methode für den Balken Diskretisierung, Prinzip der virtuellen Verschiebungen, N- und B-Matrizen

10 XII Inhaltsverzeichnis Virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte: Herleitung der Elementlastmatrix Virtuelle Formänderungsarbeit: Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix Vier Eigenschaften der Elementsteifigkeitsmatrix Herleitung des Finite-Elemente-Gleichungssystems durch Assemblierung Lösung des Finite-Elemente-Gleichungssystems Berechnung von Lagerreaktionen und Schnittgrößen durch Rückrechnung Aufgaben zu Abschnitt Potenzialfunktionen Eigenschaften von Potenzialkräften Der Satz vom stationären Wert des Gesamtpotenzials Aufgaben zu Abschnitt Zusammenfassung zu Energiemethoden Stabilität elastischer Stäbe Einführung Kritische Lasten nach Theorie 2. Ordnung Der Eulersche Knickstab (der 2. Euler-Fall) Elastische Stäbe mit beliebigen Randbedingungen Praktische Berechnung von kritischen Lasten elastischer Stabsysteme Die vier Eulerschen Knickfälle Statische Ersatzsysteme mit Hilfe von Ersatzfedersteifigkeiten Näherungslösungen von Eigenwertgleichungen für Druckstäbe mit einer Feder Die Euler-Hyperbel Energiemethoden zur Stabilität Energetische Eigenschaften von Gleichgewichtslagen Das Gesamtpotenzial des elastischen Biegestabes Praktische Berechnung zur energetischen Untersuchung der Stabilität Energetisches Näherungsverfahren: Der Rayleigh-Quotient Biegeknicken elastischer Stäbe Aufgaben zu Kapitel Einführung in Hybridstrukturen Grundlagen Ideelle Querschnittswerte für Hybridquerschnitte Definitionen von ideellen Querschnittswerten Ideelle Flächenmomente 2. Ordnung bei Verschiebung der Koordinatenachsen Ideelle Flächenmomente 2. Ordnung bei Verdrehung der Koordinatenachsen Schiefe Biegung mit Normalkraft von Hybridbalken

11 Inhaltsverzeichnis XIII Voraussetzungen und Annahmen Die Grundgleichungen der schiefen Biegung des Hybridbalkens Auswertung der Grundgleichungen Sonderfall: Koordinatensystem im ideellen Schwerpunkt Sonderfall: Transformation auf ideelle Hauptachsen Sonderfall: Koordinatenachsen sind gleichzeitig ideelle Hauptachsen Sonderfall: Gerade Biegung ohne Normalkraft Schubspannungen infolge Querkraft in Hybridquerschnitten Der ideelle Schubmittelpunkt von dünnwandigen Hybridquerschnitten Torsion von Hybridstäben Stabilität elastischer Hybridstäbe Aufgaben zu Kapitel A Anhang A Das Boltzmannsche Superpositionsprinzip B Lineare Näherungen von nichtlinearen Funktionen C Unbestimmte Integrale, siehe z.b. [4] D Trigonometrische Beziehungen, siehe z.b. [4] E Beweise zu zwei virtuellen Arbeitsprinzipien im dreidimensionalen Fall E.1 Grundlagen E.2 Die statische Randbedingung E.3 Beweis zum Prinzip der virtuellen Verschiebungen (P.d.v.V.) E.4 Beweis zum Prinzip der virtuellen Kräfte (P.d.v.K.) F Das Prinzip der virtuellen Kräfte für Stabsysteme G Die Methode der Hilfskräfte für thermo-mechanische Belastung H Lösungen zu den Übungsaufgaben Literaturverzeichnis Index