Inhaltsverzeichnis. 1 Einleitung 1

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Mathematische Grundlagen Koordinatensystem Koordinatentransformation Indexschreibweise Tensoren Tensoroperationen Ableitungen eines Tensorfeldes Divergenztheorem Taylorreihenentwicklung Grundlagen der Elastizitätstheorie Kinematische Beziehungen Verschiebungs- und Verzerrungszustand Linearisierter Verzerrungstensor Starrkörperbewegung bei kleinen Verschiebungsableitungen Transformation der Komponenten des Verzerrungstensors Hauptverzerrungen und Verzerrungshauptrichtungen Volumen- und gestaltändernder Anteil des Verzerrungstensors bei kleinen Verzerrungen Kompatibilitätsbedingungen für die Komponenten des linearisierten Verzerrungstensors Ebener Verzerrungszustand Kinematische Beziehungen in Zylinderkoordinaten Linearisierte kinematische Beziehungen bei Rotationssymmetrie des Verzerrungszustandes Kinetische Beziehungen Grundgesetz der Dynamik Spannungsvektor Cauchy scher Spannungstensor Cauchy sche Bewegungsgleichungen Cauchy sche Formeln Transformation der Komponenten des Spannungstensors Hauptspannungen und Spannungshauptrichtungen Hauptschubspannungen Mohr sche Spannungskreise Hydrostatischer und deviatorischer Anteil des Spannungstensors Ebener Spannungszustand... 54

2 X Inhaltsverzeichnis Cauchy sche Bewegungsgleichungen in Zylinderkoordinaten Cauchy sche Bewegungsgleichungen bei Rotationssymmetrie des Spannungszustandes Erster und zweiter Piola-Kirchhoff scher Spannungstensor Bewegungsgleichungen in Lagrange schen Koordinaten Konstitutive Beziehungen Einleitung Spannungs-Dehnungsdiagramme aus einaxialen Versuchen Charakteristische Werkstoffkenngrößen und ihre Bemessungswerte Wahre Spannung und wahre Dehnung Querdehnung Verallgemeinertes Hooke sches Gesetz Verallgemeinertes Hooke sches Gesetz bei Berücksichtigung von Wärmedehnungen Verallgemeinertes Hooke sches Gesetz für den ebenen Spannungszustand Verallgemeinertes Hooke sches Gesetz für den ebenen Verzerrungszustand Verallgemeinertes Hooke sches Gesetz für Rotationssymmetrie Zusammenfassung der grundlegenden Gleichungen Verschiebungs- und Spannungsformulierung in linearer Elastizitätstheorie Beispiel zur Anwendung der linearen Elastizitätstheorie Saint-Venant sches Prinzip Prinzipien der virtuellen Arbeiten Einleitung Prinzip der virtuellen Verschiebungen Virtuelle Verschiebung Prinzip der virtuellen Verschiebungen in der Euler schen Fassung Prinzip der virtuellen Verschiebungen in der Lagrange schen Fassung Inkrementelle Form des Prinzips der virtuellen Verschiebungen in der Lagrange schenfassung Prinzip der virtuellen Kräfte Virtuelle Kräfte bei statischer Beanspruchung Prinzip der virtuellen Kräfte bei statischer Beanspruchung und kleinen Verschiebungen Reziprozitätssätze Energieprinzipien Mechanische Energie Satz von der Erhaltung der mechanischen Energie Verzerrungsenergie, Ergänzungsenergie Eindeutigkeitssatz von Kirchhoff Stationäritätsprinzipien MinimalprinzipienMinimalprinzip

3 Inhaltsverzeichnis XI 6 Lineare Stabtheorie Allgemeines Spannungen und Schnittgrößen Kinematische Hypothese Normalspannungen Ermittlung der Flächenmomente eines Querschnitts Axiale Beanspruchung Reine Biegung um eine Hauptachse des Querschnitts Reine Biegung um eine beliebige Querschnittsachse Beanspruchung durch Normalkraft und Biegemoment Kern des Querschnitts Berücksichtigung von Wärmedehnungen Normalspannungen in Verbundstäben Schubspannungen Allgemeines Beziehungen zwischen Belastung und Querkraft bzw. zwischen Querkraft und Biegemoment Querkraftschubspannungen in dünnwandigen offenen Querschnitten Querkraftschubspannungen in Vollquerschnitten Schubspannungen zufolge reiner Torsion in Vollquerschnitten Schubspannungen zufolge reiner Torsion in schmalen Rechteckquerschnitten Schubspannungen zufolge reiner Torsion in allgemeinen dünnwandigen offenen Querschnitten Schubspannungen zufolge reiner Torsion in dünnwandigen einzelligen Hohlquerschnitten Schubspannungen zufolge reiner Torsion in dünnwandigen mehrzelligen Hohlquerschnitten Querkraftschubspannungen in dünnwandigen geschlossenen Querschnitten Schubmittelpunkt Wölbkrafttorsion Zusammengesetzte Beanspruchung Biegelinie Differentialgleichung der Biegelinie Lösung der Differentialgleichung der Biegelinie Lösung der Differentialgleichung der Biegelinie mittels singulärer Funktionen Differentialgleichung der Biegelinie für elastisch gebettete Stäbe Erregte ungedämpfte Schwingungen eines Biegestabes Einfluss der Querkraft auf die Durchbiegung Prinzipien der virtuellen Arbeiten in der linearen Stabtheorie Prinzip der virtuellen Verschiebungen Allgemeines Prinzip der virtuellen Verschiebungen für axiale Beanspruchung

4 XII Inhaltsverzeichnis Prinzip der virtuellen Verschiebungen für ideale Fachwerke Prinzip der virtuellen Verschiebungen für reine Biegung um eine Querschnittshauptachse Prinzip der virtuellen Verschiebungen für zusammengesetzte Beanspruchung Prinzip der virtuellen Kräfte Allgemeines Prinzip der virtuellen Kräfte für axiale Beanspruchung Prinzip der virtuellen Kräfte für ideale Fachwerke Prinzip der virtuellen Kräfte für reine Biegung um eine Querschnittshauptachse Prinzip der virtuellen Kräfte für zusammengesetzte Beanspruchung Lineare Theorie ebener Flächentragwerke Einleitung Scheiben Grundlegende Gleichungen Spannungsformulierung in rechtwinkeligen kartesischen Koordinaten Spannungsformulierung in Polarkoordinaten Verschiebungsformulierung Kirchhoff sche Plattentheorie Plattengleichung Transformation und Extremwerte der Schnittgrößen Randbedingungen Stabilitätsprobleme Stabilitätsgrenze Verzweigungsprobleme Durchschlagprobleme Traglastprobleme Kriterium zur Bestimmung der Stabilitätsgrenze Biegeknicken Allgemeines Biegeknicken bei linear elastischem Materialverhalten Biegeknicken bei nichtlinearem Materialverhalten Große Ausbiegungen elastischer Stäbe beim Biegeknicken Exzentrisch gedrückter Stab Beulen Von Kármán sche Plattentheorie Anwendung der Von Kármán schen Plattentheorie Durch Membrankräfte und Querbelastung beanspruchte Platte Anstrengungshypothesen Allgemeines Geometrische Interpretation von Spannungszuständen Fließhypothesen mit einem Werkstoffkennwert Fließhypothese nach Tresca

5 Inhaltsverzeichnis XIII Fließhypothese nach von Mises Bruchhypothese mit einem Werkstoffkennwert Bruchhypothese nach Rankine Versagenshypothesen mit zwei Werkstoffkennwerten Versagenshypothese nach Mohr-Coulomb Versagenshypothese nach Drucker-Prager Nichtlinear elastisches und anelastisches Materialverhalten Allgemeines Nichtlinear elastisches Materialverhalten Anelastisches Materialverhalten Allgemeines Plastisches Materialverhalten bei einaxialem Spannungszustand Zeitabhängiges Materialverhalten bei einaxialem Spannungszustand Fließgelenktheorie I. Ordnung für Stäbe Allgemeines Axiale Beanspruchung und reine Biegung Axiale Beanspruchung Reine Biegung Schnittgrößen-Interaktionsbeziehungen Schnittgrößen-Interaktionsbeziehungen für Biegemoment und Normalkraft Schnittgrößen-Interaktionsbeziehungen für Biegemoment und Querkraft Schnittgrößen-Interaktionsbeziehungen für Normal- und Querkraft Schnittgrößen-Interaktionsbeziehungen für Biegemoment, Normalkraft und Querkraft Ermittlung der Traglast Beschränkungen bei der Ausnützung elasto-plastischen Materialverhaltens Grundlagen der Plastizitätstheorie Einleitung Elasto-plastische Werkstoffgesetze Fließfunktion Fließregel Verfestigungsgesetz Belastungs- und Entlastungsbedingungen Ermittlung des Konsistenzparameters und des elasto-plastischen Materialtensors Elasto-plastisches Werkstoffgesetz auf der Grundlage der Versagenshypothese nach Drucker-Prager Beispiel zur Anwendung der Plastizitätstheorie Ermittlung der Hauptnormalspannungen σ r und σ ϑ Ermittlung der Verschiebung

6 XIV Inhaltsverzeichnis Ermittlung der Hauptnormalspannung σ z Elasto-viskoplastische Werkstoffgesetze Traglastsätze der Plastizitätstheorie Allgemeines Statischer Traglastsatz Kinematischer Traglastsatz Beispiele zu den Traglastsätzen Beispiele aus der Stabtheorie Beispiel für einen ebenen Spannungszustand Beispiele aus der Geotechnik Näherungslösungen Allgemeines Verfahren von Ritz Verfahren von Galerkin Methode der finiten Elemente Motivation Finites Element zur Diskretisierung ebener konservativer linearer Systeme Diskretisierte ebene konservative lineare Systeme Diskretisierte nichtkonservative lineare Systeme Diskretisierte nichtlineare Systeme Wesentliche Gesichtspunkte bei praktischen Berechnungen Beispiel zur Anwendung der Methode der finiten Elemente Randelementemethode Motivation Grundlegende Gleichungen Diskretisierung Spannungsberechnung Experimentelle Methoden Allgemeines Elektrisches Messen mechanischer Größen Dehnungsmessstreifen Messwertaufnehmer auf DMS-Basis Potentiometeraufnehmer Induktive Aufnehmer Kapazitive Aufnehmer Schwingsaitenaufnehmer Piezoelektrische Aufnehmer Optische Messverfahren Spannungsoptik Moiréverfahren Speckle-Interferometrie Beispiel zur Anwendung der Speckle-Interferometrie Literaturverzeichnis 533

7 Inhaltsverzeichnis XV Namenverzeichnis 538 Sachverzeichnis 539

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