E. Brommundt G. Sachs. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage

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1 E. Brommundt G. Sachs Technische Mechanik Eine Einführung 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage Mit 393 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork London Paris Tokyo HongKong Barcelona Budapest

2 1 Statik des starren Körpers 1 Grundüberlegungen zu Kräften und Gleichgewicht Allgemeine Grundüberlegungen Kraft, Schnittprinzip Schnittbilder Einteilung und Benennung von Kräften Angriffspunkt, Wirkungslinie Zusammenfassung: Kraft Dimension, Einheit Zur Vektorrechnung Operationen Betrag, Einheitsvektor Schreibweise mit Einheitsvektor und Maßzahl Axiome der Statik Zur Ausdrucksweise der Statik Grund-Gesetze und Axiome Die zehn Axiome der elementaren Statik Kräfte und Gleichgewicht an einem Punkt in vektoriell-zeichnerischer Behandlung Resultierende mehrerer Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt Gleichgewicht am Punkt Anwendungsbeispiel und Vorgehensweise Kräfte und Gleichgewicht an einem Punkt in vektoriell-rechnerischer Behandlung Komponenten einer Kraft in einem kartesischen Koordinatensystem Resultierende mehrerer Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt. 20

3 VIII Gleichgewicht am Punkt Vorgehensweise bei einer Gleichgewichtsuntersuchung; Beispiel.. 21 Zusammenfassen und Vereinfachen von Kräftesystemen Die Resultierende eines ebenen Kräftesystems Allgemeine Lage der Kräfte Zusammenfassen paralleler Kräfte Sonderfall gleich großer, antiparalleler Kräfte Kräftepaar und Moment Grundüberlegungen zum Kräftepaar Moment Moment einer Einzelkraft bezogen auf einen vorgegebenen Punkt Das Arbeiten mit Momenten Resultierendes Moment, Momentengleichgewicht Der Momentensatz für das ebene Kräftesystem Anwendungsbeispiele für den ebenen Fall Räumliche Kräftesysteme Vektorform des Moments, Moment um einen Punkt Zusammenfassen eines räumlichen Kräftesystems 34 Statisches Gleichgewicht von Körpern Gleichgewichtsbedingungen für einen starren Korper Gleichgewichtsbedingungen bei einem ebenen Kräftesystem Das Arbeiten mit den Gleichgewichtsbedingungen Gleichgewichtsbedingungen im Raum Koordinaten und Bindungen Der Freiheitsgrad Bindungen Statisch bestimmte Lagerung starrer Körper (Scheiben) Statisch unbestimmte Systeme Beispiele zur Bestimmung von Lagerkräften (Lagerreaktionen) Kragträger Mit Stäben gestütztes System Räumliches System Mehrteilige Körper (Systeme) in der Ebene Abzählen der Unbekannten und der Gleichungen Beispiel "Gerberträger" Schnitte an einem Gelenk mit Last 58

4 IX 1.14 Überlagerung von Lösungen (Superpositionsprinzip) Aufgabenstellung Beispiel Dreigelenkbogen 59 Schwerpunkt und Massenmittelpunkt Definitionen und Erklärungen Schwerefeld Dichte, spezifisches Gewicht Statische Momente, Schwerpunkt, Massenmittelpunkt Praktische Schwerpunktbestimmung Körper mit Symmetrieebenen oder Symmetrieachsen Mittellinien Schwerpunktbestimmung durch Zerlegung Schwerpunktbestimmung durch Integration 70 Innere Kräfte und Momente bei Balken Normalkraft, Querkraft, Biegemoment bei Balken Grundgedanke: Aufschneiden des Balkens Bestimmen der Schnittgrössen Streckenlasten (kontinuierlich verteilte Lasten) Schnittgrößen bei Streckenlasten Differentialbeziehungen zwischen Streckenlasten, Querkräften und Biegemomenten 79 Haftung und Reibung Vorgänge bei Haftung und Reibung Haftung Beispiel einer Haftungsaufgabe Die Coulombsche Haftungsbedingung Haftung bei starren, statisch unbestimmten Systemen Reibung Das Coulombsche Reibungsgesetz Beispiele Das Prinzip der virtuellen Verrückungen Definition der Arbeit Virtuelle Verrückungen Virtuelle Arbeit 94

5 X Inhalt Verzeichnis 2 Elastostatik 96 Spannungen und Verzerrungen Spannungen Normal- und Tangentialspannungen Abhängigkeit der Spannungen von der Schnittrichtung Zweiachsiger Spannungszustand Bemerkungen zum dreiachsigen Spannungszustand Verzerrungen Dehnung und Querkontraktion Schubverformung Kleine Verzerrungen in der Ebene Stoff-Gesetze Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm Das Hookesche Gesetz für die einfache Zugspannung Das Hookesche Gesetz für den zweiachsigen Spannungszustand Das Hookesche Gesetz für Schubverformungen Verzerrungen beim allgemeinen ebenen Spannungszustand Stabwerke und Federverbände Verformung von Stabwerken Verformung eines Einzelstabes Verformung eines Stabwerkes Statisch unbestimmte Stabwerke Aufgabenstellung und Lösungsschema Lösung für das Beispiel Federverbände Federn als elastische Elemente Federschaltungen Beispiele Wärmedehnungen und Wärmespannungen Wärmedehnungen Wärmespannungen 127 Biegung von Balken mit symmetrischen Querschnitten Gleichungen der Balkenbiegung Aufgabenstellung Verformung des Balkenelementes Spannungen Gleichgewichtsbeziehungen 132

6 XI 2.9 Flächenmomente zweiten Grades Allgemeine Definitionen und Beziehungen Flächenmomente zweiten Grades für einige Querschnitte Der Satz von Steiner Zusammengesetzte Querschnitte Biegespannungen Spannungen bei reiner Biegung Überlagerung von Normalkraft- und Biegespannungen Biegelinien von Balken Differentialgleichung der Biegelinie Allgemeine Bemerkungen zur Integration (Lösung) der Differentialgleichung der Biegelinie Anwendungsbeispiele Allgemeinere Randbedingungen Aneinanderstückeln von Biegelinien Überlagerung (Superposition) von Lösungen Biegedifferentialgleichung vierter Ordnung Statisch unbestimmt gelagerte Balken Lösung durch Integration der Biegelinie Lösung durch Superposition (Beispiel) Statisch unbestimmtes System mit elastischer Lagerung 154 Torsion von Stäben Stäbe mit kreis- oder kreisringförmigem Querschnitt Allgemeine Überlegungen Herleitung der Gleichungen Drehwinkel, Drehfedern Beispiele 160 Arbeitsaussagen der Elastostatik Energieüberlegungen Arbeit der äußeren Kräfte und Momente Arbeit der inneren Kräfte und Momente Die Sätze von Castigliano 166 Stabilität Einführende Überlegungen zur Stabilität 170

7 XII Inhaltverzeichnis 2.16 Statische Stabilität eines Feder-Stab-Systems Stabilitätsuntersuchung Zwei allgemeine Schlüsse aus dem Beispiel Knicken bei Biegestäben (Euler) Aufgabenstellung und Differentialgleichung Lösen der Differentialgleichung Kinematik und Kinetik 176 Kinematik eines Punktes Ort, Bewegung, Koordinaten Ort, Bewegung Kartesische Koordinaten Polar- und Zylinderkoordinaten Koordinatendrehung Spezielle Bewegungen Geschwindigkeit Geschwindigkeit längs Bahn (z.b. Gerade, Kreis) Winkelgeschwindigkeit Geschwindigkeitsvektor Geschwindigkeitsvektor in kartesischen Koordinaten Geschwindigkeitsvektor in Zylinderkoordinaten Beschleunigung Beschleunigung längs Bahn (z.b. Gerade, Kreis) Winkelbeschleunigung Beschleunigungsvektor Beschleunigungsvektor in kartesischen Koordinaten Beschleunigungsvektor in Zylinderkoordinaten Berechnen der Beschleunigung aus wegabhängig vorgegebener Geschwindigkeit Berechnung von Geschwindigkeit und Weg aus vorgegebener Beschleunigung Beschleunigung a{t) gegeben, v(t) und s(t) gesucht Beschleunigung a(s) gegeben, v(t) und s[t) gesucht Kinematik harmonischer Schwingungen 199 Kinetik des Massenpunktes Der freie Fall und die kinetischen Grundgleichungen Der freie Fall Die kinetischen Grundgesetze nach Newton Maßsysteme 205

8 XIII Koordinatenschreibweise des Newtonschen Gesetzes Anwendungsbeispiele für das Newtonsche Gesetz Krummlinige Bewegung eines Massenpunktes im Raum unter konstanter Kraft 209 Prinzip von d'alembert. Reine Translation und reine Rotation eines starren Körpers Das Prinzip von d'alembert Allgemeine Überlegungen Ausdeutung des Ergebnisses x Translationsbewegungen eines starren Körpers Kinematik der Translation Kinetik der Translation Rotationsbewegung eines starren Körpers Kinematik der Rotation Kinetik der Rotation Trägheitsmomente homogener zylindrischer Körper Prinzip von d'alembert für Drehbewegungen Beispiele 221 Arbeit und Leistung, Energiesatz Arbeit und Leistung, Potential Arbeit Leistung Potential..., Die kinetische Energie Kinetische Energie des Massenpunktes Kinetische Energie bei Drehung um eine feste Achse Der Energiesatz Erste Form des Energiesatzes (allgemeine Form) Zweite Form des Energiesatzes (gilt nur für konservative Systeme) Dritte Form des Energiesatzes (gilt für beliebige Systeme) Der Energiesatz für zusammengesetzte Systeme; Beispiel Das Aufstellen von Bewegungsgleichungen für Systeme mit einem Freiheitsgrad über den Energiesatz 239 Impulssatz und Drallsatz für den Masenpunkt " Der Impulssatz Herleitung Veranschaulichung des Impulssatzes im eindimensionalen Fall.. 242

9 XIV Inhaltverzeichnis Plastischer Stoß Elastischer Stoß Hinweis auf reale Stöße; Stoßzahl Der Drallsatz (Impulsmomentensatz) Herleitung Beispiel Der Flächensatz (2. Keplersches Gesetz) 248 Kinetik des Punkthaufens Annahmen, Schwerpunktsatz, Impulssatz Annahmen Schwerpunktsatz Impulssatz Der Drallsatz (Drehimpulssatz) für den Punkthaufen Drallsatz bezogen auf einen festen Punkt Drallsatz bezogen auf den Schwerpunkt 254 Kinematik und Kinetik des starren Körpers in der Ebene Kinematik des parallel zu einer Ebene bewegten starren Körpers Referenzkoordinaten, Lagekoordinaten Geschwindigkeit Beschleunigung Kinetik des parallel zu einer Ebene bewegten starren Körpers i Schwerpunktbewegung (Translation)... : Drehung um den Schwerpunkt (Rotation) { Bewegung in der Ebene: Zusammenfassung und Beispiele Zusammenfassung Beispiele Die Dralländerung tangential zur Ebene; Deviationsmomente Der Energiesatz bei ebenen Bewegungen Potentielle Energie des Gewichts Kinetische Energie des starren Körpers in der Ebene Beispiel für den Energiesatz Vermischte Aufgaben und Probleme Innere Kräfte infolge Bewegung Drall- und Kreiseleffekte Kreisel 273

10 XV Schwingungen Freie Schwingungen Feder-Masse-Schwinger ohne Gewicht Feder-Masse-Schwinger mit Gewicht Mathematisches Pendel Drehschwinger Freie gedämpfte Schwingungen Dämpferelement Bewegungsgleichung für einen linear gedämpften Schwinger Lösung der Bewegungsgleichung mit dem e**-ansatz Aperiodische Bewegungen Erzwungene gedämpfte Schwingungen Bewegungsgleichung eines fußpunkterregten Schwingers Superposition (Überlagerung) von Lösungen Komplexe Behandlung der erzwungenen Schwingungen Einschwingvorgang Freie ungedämpfte Schwingungen mit dem Freiheitsgrad zwei Bewegungsgleichungen für einen ungedämpften Schwinger vom Freiheitsgrad zwei Lösen der Bewegungsgleichung mit dem e At -Ansatz Ausdeuten der Lösung; Eigenschwingungen; Umformen der Lösung; Anpassen an Anfangsbedingungen Erzwungene ungedämpfte Schwingungen mit dem Freiheitsgrad zwei Bewegungsgleichungen Superposition (Überlagerung) von Lösungen Berechnen der erzwungenen Schwingungen 305 Personenverzeichnis 312 Sachverzeichnis 313 Lösungsschema für Aufgaben aus Statik und Kinetik 323