Theoretische Physik: Mechanik

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1 Eckhard flebhan Theoretische Physik: Mechanik ELSEVIER SPEKTRUM AKADEMISCHER VERLAG Spektrum L AKADEMISCHER VI k_/l AKADEMISCHER VEHLAG

2 Inhaltsverzeichnis Anmerkungen zur Theoretischen Physik 1 1 Vorbemerkungen zur Mechanik 6 2 Newtons Grundgesetze der Mechanik Grundannahmen und Vorbetrachtungen Absoluter Raum Absolute Zeit Wichtige Idealisierungen der klassischen Mechanik Kinematische Vorbetrachtungen Galilei-Transformation Bahncharakterisierung durch Differentialgleichungen Newtonsche Bewegungsgesetze Newtons vier Grundgesetze Diskussion der Grundgesetze Newtons Grundgesetze der Gravitation Schwerkraft und schwere Masse Schwerefeld und Newtonsches Gravitationsgesetz Newtonsche Feldgleichung fur das Schwerefeld Gravitationsfeld einer homogenen Kugel Aquivalenz von trager und schwerer Masse Schlussbemerkung und Ausblick 38 Aufgaben 39 3 Folgerungen aus den Grundgesetzen Einzelner Massenpunkt Arbeit Kinetische Energie und Energiesatz Potenzial und Energieerhaltung in konservativen Kraftfeldern Eigenschaften konservativer Kraftfelder Drehimpuls, Drehmoment und Drehimpulssatz Systeme freier Massenpunkte Definition von BewegungsgroBen Impulssatz und Impulserhaltung Drehimpulssatz und Drehimpulserhaltung Energiesatz und Energieerhaltung Konfigurationsraum Integrationsproblem fur N Punktmassen 58

3 lnhaltsverzeichnis 3.3 Newtonsche Mechanik in rotierenden Bezugsystemen Mathematische Beschreibung rotierender Systeme Transformation der Bewegungsgleichungen 62 Aufgaben 65 4 Anwendungen der Newtonschen Mechanik Einzelner Massenpunkt Eindimensionale Bewegung ohne Reibung Linear gedampfterharmonischeroszillator Erzwungene Schwingungen des gedampften harmonischen Oszillators Phasenebene der eindimensionalen Bewegung Bewegung eines Massenpunkts im Zentralfeld 85 Exkurs 4.1: Potenziale mit ausschlieblich geschlossenen Bahnen Kepler-Problem Rutherfordsche Streuformel 99 Exkurs 4.2: Inverses Streuproblem Systeme mehrerer Massenpunkte Zwei-Korper-Problem Restringiertes Drei-Korper-Problem Spezielle Losungen des Drei-Korper-Problems Losung des Drei-Korper-Problems durch Reihenentwicklung. 117 Aufgaben Lagrangesche Mechanik Zwangsbedingungen Klassifizierung der Zwangsbedingungen Dynamik von Massenpunkten unter Zwangsbedingungen Einzelner Massenpunkt System mehrerer Massenpunkte Virtuelle Verriickungen D'Alembertsches Prinzip Lagrange-Gleichungen erster Art fiir Systeme von Massenpunkten Arbeitsleistung der Zwangskrafte 148 Exkurs 5.1: Ableitung des d'alembertschenprinzips Prinzip der virtuellen Arbeit Generalisierte Koordinaten Ein Massenpunkt unter holonomen Zwangsbedingungen System von Massenpunkten unter holonomen Zwangsbedingungen D'Alembertsches Prinzip in generalisierten Koordinaten Bewegungsgleichungen in generalisierten Koordinaten Holonome Zwangsbedingungen und Lagrange-Gleichungen zweiterart Nachtragliche Berechnung der Zwangskrafte Lagrange-Gleichungen gemischten Typs 169

4 Inhaltsverzeichnis xi 5.9 Generalisierte Koordinaten fur starre Korper Einzelner starrer Korper Starre Korper unter auberen Zwangsbedingungen Reibungskrafte Beriihrungskrafte Reibungskrafte im Rahmen der Lagrangeschen Mechanik Integrationsproblem Lagrangescher Systeme Erhaltungssatze der Lagrangeschen Mechanik Erhaltungssatze bei zyklischen Variablen Verallgemeinerter Energiesatz Zusammenhang mit den Erhaltungssatzen der Newton-Mechanik Symmetrien und Erhaltungssatze Homogenitat und Isotropie in Raum und Zeit Noether-Theorem Zeitisotropie und mechanische Reversibilitat Mechanische Ahnlichkeit Virialsatz 191 Aufgaben Starre Korper Kinematik des freien starren Korpers Tragheitstensor, Tragheitsmoment und Tragheitsellipsoid Kinetische Energie Tragheitstensor Drehimpuls Hauptachsentransformation Tragheitsmomente Tragheitsellipsoid Rotation um den Schwerpunkt Kreisel Statik des starren Korpers Gleichgewichtsbedingungen Aquivalenz von Kraften Zwangskrafte Koordinatenfreie Form der Bewegungsgleichungen Eulersche Kreiselgleichungen und Winkel Berechnung des Rotationszustands Eulersche Winkel Lagrangesche Bewegungsgleichungen zweiter Art Freier starrer Korper In einem Punkt festgehaltener starrer Korper Integration der Bewegungsgleichungen in speziellen Fallen Kraftefreier Kreisel Kreisel unter Einwirkung auberer Krafte 234 Aufgaben 241

5 xii Inhaltsverzeichnis 7 Hamiltonsche Theorie, Hamiltonsche Bewegungsgleichungen Zyklische Variablen und Erhaltungssatze Variationsprinzipien Euler-Gleichungen der Variationsrechnung Hamiltonsches Prinzip Variationsprinzip der Hamiltonschen Gleichungen Variationsprinzip von Maupertuis Kanonische Transformationen Punkttransformationen Erzeugende Gleichung kanonischer Transformationen Spezielle erzeugende Funktionen und kanonische Transformationen Poisson-Klammern Pseudo-kanonische Transformationen 271 Exkurs 7.1: Symplektische Formulierung der Mechanik 273 Aufgaben Theorie von Hamilton und Jacobi Hamilton-Jacobi-Gleichung und Satz von Jacobi Reduzierte Hamilton-Jacobi-Gleichung Erweiterung und Reduktion des Phasenraums Erweiterung des Phasenraums Reduktion des Phasenraums Separation der Variablen Wirkungs- und Winkelvariablen Systeme mit einem Freiheitsgrad Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Satz von Liouville fiir integrable Systeme Phasenraumtrajektorien integrabler Systeme Adiabatische Invarianten 311 Aufgaben Nicht-integrable Hamiltonsche Systeme und deterministisches Chaos Klassische Storungsrechnung Stoning quasi-periodischer Trajektorien: KAM-Theorem Poincare-Abbildung Stoning periodischer Trajektorien Fixpunktsatz von Poincare und Birkhoff Stabilitat uberlebender Fixpunkte Hyperbolische Fixpunkte und homokline Punkte Melnikov-Funktion und Existenz homokliner Punkte Backer-Transformation, Bernoulli-Verschiebung und Chaos Hufeisen-Abbildung Hufeisenartige Abbildung im homoklinen Gewirr Liapunov-Exponenten 363

6 Inhaltsverzeichnis xiii 9.10 Chaos,und Nicht-Integrabilitat Zunehmendes Chaos am Beispiel der Schaukel Numerische Berechnungen chaotischer Orbits 374 Aufgaben 378 Sachregister 381 Symbolverzeichnis 389