Fibonacci Zahlen: 3. Hamiltonsche Systeme. 3.1 Hamilton Dynamik. Teilverhältnis beim `goldenen Schnitt : definiert als. mit

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1 Fibonacci Zahlen: definiert als Bemerkungen: (1) ist das Teilverhältnis beim `goldenen Schnitt : mit A T B und (2) Alle Zahlen, deren Darstellung als Kettenbruch auf endet, heißen `noble Zahlen. (3) Entwicklung der Theorie der Kettenbrüche hauptsächlich im 17. und 18. Jahrhundert (Konstruktion von mechanischen Planetarien beste rationale Approximation irrationaler Frequenzverhältnisse - Zahnräder!) Chaotische Dynamik Kap2, Seite 17 Chaotische Dynamik Kap2, Seite Hamilton Dynamik 3. Hamiltonsche Systeme Phasenraum ( dimensional) generalisierte Koordinaten und Impulse; Freiheitsgrade Hamilton Funktion Lösung mit Anfangsbedingungen Hamiltonsche Bewegungsgleichungen Hamiltonscher Fluss: Phasenbahn (Phasenbahnen können sich nicht schneiden) Das System `lösen heißt, sich einen quantitativen Überblick über den gesamten Fluss zu verschaffen. (Nicht nur einzelne Bahnen!) Beispiel: Harmonischer Oszillator (eindimensional) Bahn (eindeutig) Chaotische Dynamik Kap3, Seite 1 Chaotische Dynamik Kap3, Seite 2 1

2 Beweis von (2): Schar ähnlicher Ellipsen Liouvillesche Integralinvarianten: (1) ist invariant unter (wie eine inkompressible Flüssigkeit). (2) ist invariant Bewegungsgleichung für : ist invariant Chaotische Dynamik Kap3, Seite 3 Poisson-Klammer Chaotische Dynamik Kap3, Seite 4 Kanonische Transformationen: Kanonische Transformationen führen die kanonischen Bewegungsgleichungen in kanonische Gleichungen über: Mit falls die Transformation nicht explizit von der Zeit abhängt. Erzeugende einer solchen Transformation ist z.b. mit ist Lösung der Hamilton-Jacobi-Gleichung (partielle Dgl für ). Chaotische Dynamik Kap3, Seite Integrable Systeme und Invariante Tori (nicht explizit zeitabhängig) mit heißt Erhaltungsgröße. (H selbst ist immer Erhaltungsgröße, wenn H nicht explizit zeitabhängig.) Def.: Ein hamiltonsches System mit N Freiheitsgraden heißt integrabel, falls N unabhängige Erhaltungsgrößen existieren mit (`in Involution ). Beispiel: Punktmasse in dreidim. rotationssymm. Potential. Energie und Drehimpuls sind erhalten. Man wählt Chaotische Dynamik Kap3, Seite 6 2

3 Satz: Durch die N Bedingungen wird die Phasenbahn eingeschränkt auf eine N-dimensionale Untermannigfaltigkeit des 2N-dimensionalen Phasenraums. ist ein N-dimensionaler Torus. Beweis: Man definiert die Felder auf. Sie sind unabhängig (wie die ) und parallel zu : Wirkungs-Winkel-Variable: Kanonische Transformation auf Variable, bei denen die neuen Impulse konstant sind. Eine Möglichkeit ist die Wahl oder auch irgendwelche anderen Funktionen der Erhaltungsgrößen. Besonders geeignet sind die so genannten Wirkungs- und Winkel-Variablen mit den Wirkungen als neue (zeitlich konstante) Impulse und den Winkeln als neue Koordinaten. Also lässt sich auf verschiedenen Arten glatt kämmen. ist ein N-dim. Torus (`hairy ball theorem ) Chaotische Dynamik Kap3, Seite 7 Chaotische Dynamik Kap3, Seite 8 Auf dem -Torus existieren irreduzible Wege. Wirkungsvariable Bahn ist quasiperiodisch; periodisch wenn alle Frequenzen kommensurabel sind, d.h. oder. Periode: Winkelvariable (zyklisch) mit Bahn: ein -dim. Gittervektor (Fourier-Entwicklung da periodisch in den Winkeln) Chaotische Dynamik Kap3, Seite 9 quasiperiodisch periodisch Die quasiperiodische Bewegung is der Regelfall. Die periodischen Tori sind abzählbar und liegen im Phasenraum dicht. Es gibt Systeme bei denen alle Bahnen periodisch sind, z.b. Kepler-Problem (selten!) Chaotische Dynamik Kap3, Seite 10 3

4 Zwei Freiheitsgrade (x,y): Poincaré-Schnitt: Schnittfläche im Phasenraum, z.b. bei. Fordert man zusätzlich noch Schnittebene die Bahn fest: Bahn periodisch wenn, dann legt jeder Punkt der Poincaré-Schnitt: jetzt n-ter Schnittpunkt der Schnittebene mit Diskrete Abbildung (Poincaré-Abbildung) Für periodische Bahnen ergibt sich eine endliche Anzahl von Punkten (Fixpunkte eines Vielfachen der Poincaré-Abbildung). Für quasiperiodische Bahnen füllen die Iterierten eine Kurve (Schnittmenge des Torus mit der Schnittebene des Poincaré-Schnittes). Die Poincaré-Abbildung ist flächentreu (vgl. Liouvillesche Integralinvariante (2)). Chaotische Dynamik Kap3, Seite 11 Chaotische Dynamik Kap3, Seite 12 Integrable Systeme sind sehr selten(!) aber deshalb nicht uninteressant (es gibt Bücher darüber). Ergodische Systeme: Fast jede Bahn kommt jedem (energetisch erlaubten) Punkt im Phasenraum beliebig nahe. Ergodische Systeme sind selten! Beispiele später. Typische Systeme??? 3.3 Das KAM-Theorem Störungstheorie integrabler Systeme. Sei die Hamiltonfunktione eines integrablen Systems mit Wirkungs- und Winkelvariablen. kanon. Transformation auf neue W-W-Variablen Erzeugende : Ansatz: Identität in erster Ordnung in : vernachlässigen Frequenz des ungestörten Systems Chaotische Dynamik Kap3, Seite 13 Chaotische Dynamik Kap3, Seite 14 4

5 bekannt Einsetzen und Vergleich der Fourier-Koeffizienten neue Hamiltonfunktion die Erzeugende jedoch... Chaotische Dynamik Kap3, Seite 15 Reihe divergiert für, also auf den periodischen Tori. Diese Tori liegen dicht! `Problem der kleinen Nenner (laut Poincaré das fundamentale Problem der klassischen Mechanik). Durchbruch 1954: Theorem von Kolmogorov; bewiesen 1962 von Moser (1962) und Arnold (1963). (Zum Beweis entwickelte man eine superkonvergente Störungstheorie mit einer Folge sukzessiver Approximationen, die sich nicht alle auf den selben Torus bezogen.) Satz (KAM-Theorem - hier für zwei Feiheitsgrade): Die Hamiltonfunktion H sei hinreichend oft differenzierbar (bei Moser 333 mal). Alle Tori mit hinreichend irrationalem Frequenzverhältnis für alle bleiben bei der Störung erhalten. Es gilt. Chaotische Dynamik Kap3, Seite Beispiel: Billard-Systeme Der Rest ist beschränkt: reibungsfreie Bewegung einer Punktmasse auf einer Ebene innerhalb einer harten Randkurve (konvex) elastische Reflexion am Rand konvergent und wird in der Regel zerstört. meist ist der letzte überlebende Torus für wachsende Störung der mit dem irrationalsten Frequenzverhältnis, also `vorletzte Tori sind die mit noblem Frequenzverhältnis. Koordinaten für die Bahn: Bogenlänge des Auftreffpunktes (normiert, sodass Umfang der Randkurve gleich eins) Winkel zwischen Bahn und Tangente Bahn = diskrete Folge von Punkten Chaotische Dynamik Kap3, Seite 17 Chaotische Dynamik Kap3, Seite 18 5

6 Numerik: starte eine Bahn bei bestimme den nächsten Schnittpunkt der Bahn (gerade Linie) mit der Randkurve (eindeutig da konvex) zeichne die Bahn bzw. den Punkt Phasenraum Theorie: Billard-Abbildung im Bahngerade: Winkel zwischen Bahngerade und x-achse nächster Auftreffpunkt : (numerisch) Winkel zwischen Radialstrahl und Tangente Billard-Abbildung Chaotische Dynamik Kap3, Seite 19 Chaotische Dynamik Kap3, Seite 20 Die linearisierte Billard-Abbildung: Jacobi-Matrix etwas Rechnerei mit usw.... mit dem Krümmungsradius der Bahnlänge zwischen den Punkten und erhält man nach `elementaren Umformungen mit Bemerkungen: (1) Die Abbildung ist flächentreu: Chaotische Dynamik Kap3, Seite 21 Chaotische Dynamik Kap3, Seite 22 6

7 (4) n-periodische Bahn = Fixpunkt von (2) Die Matrix ist symplektisch, d.h.: ist Linearisierung von um den Fixpunkt. (5) 2-periodische Bahnen: 0 1 0, z.b. Klar, da 2x2-Matrix mit Determinate gleich +1. (3) Iterierte Bahn: Chaotische Dynamik Kap3, Seite 23 Chaotische Dynamik Kap3, Seite 24 Phasenraumfluss Exkurs: Lineare Abbildungen (2x2) Eigenwerte: flächentreu hyperbolischer Fixpunkt Für hyperbolischer Fixpunkt mit Inversion instabil Fall I: Eigenvektoren: Stabilitätsexponent Bem.: hat dann einen hyperbolischen Fixpunkt ohne Inversion. Fall II: Stabilitätswinkel Chaotische Dynamik Kap3, Seite 25 Chaotische Dynamik Kap3, Seite 26 7

8 Eigenvektoren: Fall III: Lineare Transformation des Koordiantensystems parabolischer Fixpunkt neutral stabil Drehung um Winkel Eigenschaften linearer symplektischer 2x2-Abbildungen L: elliptischer Fixpunkt Die iterierten Punkte liegen auf einer Ellipse (stabil) bzw. Hyperbel (instabil). stabil Chaotische Dynamik Kap3, Seite 27 Chaotische Dynamik Kap3, Seite 28 8