Chaos & Quantenchaos SS 2009

Transkript

1 Chaos & Quantenchaos SS 2009 H. J. Korsch FB Physik Technische Universität Kaiserslautern Einleitung Mathematisches Vorspiel : Hamiltonsche Systeme alternativ Dissipative Systeme Wege ins Chaos Quantenchaos 1. Einleitung Beispiel: Billards (1) nichtlineare Dynamik Chaos Anzahl der Publikationen zu Chaos & Physik: Program Billiard: reibungsfreie Bewegung einer Punktmasse auf einer Ebene innerhalb einer harten Randkurve (konvex) elastische Reflexion am Rand 20 Jahre mit exponentiellem Wachstum (Verdopplungszeit 1.8 Jahre) zweckmäßige Koordinaten: Bahn = Folge Kap1, Seite 1 Kap1, Seite 2 1

2 Billards (2) Billards (3) Numerik: starte eine Bahn bei bestimme den nächsten Schnittpunkt der Bahn (gerade Linie) mit der Randkurve (eindeutig da konvex) zeichne die Bahn bzw. den Punkt Phasenraum Theorie: Abbildung flächentreu; Fixpunkte; Stabilität; Bifurkationen; etc im Kap1, Seite 3 Kreisbillard integrables System; Drehimpulserhaltung elliptisches Billard integrables System; Erhaltung des Produktes der Drehmipulse bzgl. der Brennpunkte Stadion Billard ergodisches System integrable und ergodische Billiards sind selten typische Systeme??? Beispiel Kap1, Seite 4 Billards (4) Billards (5) Kap1, Seite 5 Kap1, Seite 6 2

3 Billards (6) Kap1, Seite 7 wichtige Punkte: Nichtlineare Dynamik Kausalität und Determinismus: Gleiche Ursachen haben gleiche Wirkungen impliziert nicht Ähnliche Ursachen haben ähnliche Wirkungen! Kolmogoroff-Arnold-Moser (KAM) Theorem Chaos Ordnung typische Systeme sind chaotisch quantitatives Maße der Chaotizität (Lyapunov Exponent) Attraktoren & fremdartige Attraktoren (`strange ) Übergang ins Chaos: charakteristische Szenarien Selbstähnlichkeit und fraktale Strukturen Kap1, Seite 11 Chaos & Quantenchaos - Inhalt Chaos & Quantenchaos - Inhalt Einleitung Mathematisches Vorspiel Cantor Mengen Fraktale Kettenbrüche Bifurkationen : Hamiltonsche Systeme Quantenchaos Semiklassische Quantisierung: Gutzwiller Theorie Kap1, Seite 12 Einleitung Mathematisches Vorspiel : Hamiltonsche Systeme Dynamik im Phasenraum - integrable Systeme und invariante Tori - das KAM-Theorem Billiard Systeme, Henon Heiles-System, Doppelpendel und Beispiele aus der Astronomie Der Lyapunov Exponent (1) Fixpunktsatz von Poincaré und Birkhoff Das hyperbolische Gewirr Stark chaotische Systeme Quantenchaos Semiklassische Quantisierung: Gutzwiller Theorie Kap1, Seite 13 3

4 Chaos & Quantenchaos - Inhalt Chaos & Quantenchaos - Inhalt Quantenchaos: Eine Warnung! Einleitung Mathematisches Vorspiel Hamiltonsche Systeme Quantenchaos Klassische Dynamik & Quantendynamik Zufallsmatrizen und Eigenwertstatistik Modellstudien: Periodisch getriebene Quantensysteme Das H-Atom im starken Magnetfeld Angetriebene Wannier-Stark Systeme Semiklassische Quantisierung: Gutzwiller Theorie Anyone who uses the words quantum and chaos in the same sentence should be hung by his thumbs on a tree in the park behind the Niels Bohr institute. (Joseph Ford) Kap1, Seite 16 Kap1, Seite 17 Chaos & Quantenchaos - Literatur 2. Mathematisches Vorspiel H. G. Schuster, Deterministisches Chaos (VCH 1994) H. J. Korsch, H.-J. Jodl, T. Hartmann: Chaos A Program Collection for the PC (Springer 2008) F. Haake: Quantum signatures of Chaos (Springer 2001) H.-J. Stöckmann}: ``Quantum Chaos'' (Cambridge University Press 1999) In diesem Abschnitt werden wir einige mathematische Begriffe kennen lernen, die für die chaotische Dynamik wichtig sind, aber (für Physiker) nicht zum standardmäßigen Mathematik-Repertoire zählen. 2.1 Cantor Mengen sei ein metrischer Raum (also gibt es ein Maß, offene Mengen, zusammenhängende Mengen, etc). Def.: Eine Teilmenge heißt nirgends dicht, falls für alle Punkte und alle Umgebungen gilt: Es gibt eine offene Menge mit. (Oder auch ganz kurz: der offene Kern des Abschlusses vom ist leer.) Kap1, Seite 18 Kap2, Seite 1 4

5 Def.: Eine Cantor Menge ist kompakt, nirgends dicht und überabzählbar. Beispiel: Die populärste Cantor Menge erzeugt man, indem man aus dem Einheitsintervall mit Länge das mittlere Drittel herausschneidet: mit und so weiter für jedes neu gebildete Teilintervall. Das liefert Mengen mit (siehe Bild). Die Menge ist eine Cantor Menge mit Maß null ( ). Die Durchschnittsmenge ist kompakt (Durchschnitt kompakter Mengen), nirgends dicht (in jeder Umgebung eines ihrer Punkte gibt es ein herausgeschnittenes Intervall) und überabzählbar (zum Beweis stellt man die Zahlen aus dem Einheitsintervall in der triadischen Basis dar, und zeigt, dass genau die Zahlen mit und für durch den Konstruktionsprozess dieser Cantor Menge herausgeschnitten werden. Daher enthält die Menge die bijektiv auf die Zahlen des Einheitsintervalls in der Dualdarstellung abgebildet werden kann, ist überabzählbar. ) Damit ist eine Cantor Menge. Kap2, Seite 2 Kap2, Seite Fraktale Es gibt Linien, die keine Länge besitzen, oder genauer, deren Länge mit kleiner werdendem Maßstab anwächst (Beispiel: Länge der Küstenlinie von Großbritannien). Solchen Punktmengen kann man (manchmal!) eine nicht-ganzzahlige Dimension zuordnen. Def.: Sei und die Minimalzahl von n-dimensionalen Würfeln mit Kantenlänge, die überdecken. heißt dann die Hausdorff-Dimension (oder fraktale Dimension) von (falls dieser Grenzwert existiert). Def: Ein Fraktal ist eine Punktmenge mit nicht-ganzzahliger Hausdorff-Dimension. Bemerkungen: Für die üblichen Punktmengen (Linien, Flächen, Volumina,...) stimmt die Hausdorff-Dimension mit der normalen ganzzahligen überein. Wenn klein ist, gilt näherungsweise, also Plottet man als Funktion von in einem doppeltlog. Maßstab, so erhält man eine Gerade, aus deren Steigung man die Fraktaldimension bestimmen kann. Selbstähnliche Strukturen Skalierung, p = Verkleinerungsfaktor, k = Vervielfältigungsfaktor Die Menge S sei invariant unter dieser Skalierung. Kap2, Seite 4 Kap2, Seite 5 5

6 Beispiel: die Cantor 1/3-Menge (s.o.) hat k=2, p=1/3 Beispiele für Fraktale: Koch-Kurve Sierpinski-Dreieck Sierpinski-Schwamm Stoßkaskaden etc Cantor 1/3-Menge: Kap2, Seite 6 Kap2, Seite 7 Beispiele aus der Realwelt: Küstenlängen in Abhängigkeit von der Maßstabslänge Bemerkungen: Es gibt in der Realität keine Fraktale (aber auch keine `glatten Objekte). Fraktales Verhalten also nur auf einer bestimmten Skala. Aktivkohle: adsorbierte Gasmenge in Abhängigkeit von der Molekülfläche D=2.34 Weitere Literatur: B. B. Mandelbrot: `Fractals `The Fractal Geometry of Nature Kap2, Seite 8 Kap2, Seite 9 6

7 Exkurs: Zufällige Abbildungen (affin, ) Beispiel: Das Matlab-Programm fractal0w.m simuliert diesen Random Walker. 2-er Vektoren, 2x2-Matrix nach 10 Schritten ergibt sich folgendes Bild: Die Abbildung wird bei jedem Iterationsschritt zufällig ausgewählt (mit Wahrscheinlichkeit ). Beispiel: Drei Punkte werden in der Ebene ausgewählt. Ein Random Walker wandert jeweils in Richtung eines dieser Punkte (zufällig gewählt), und zwar bis zur Mitte der Verbindungsgeraden. Dann wird ein neuer Zielpunkt gesucht, usw. Was passiert? Oder: Welche Menge ist unter dem Prozess invariant? Iteration: Kap2, Seite 10 nach 233 Schritten: nach sehr vielen Schritten: Kap2, Seite 11 Zufällige Abbildungen Für den Random Walker ist, die Vektoren die drei Zielpunkte und die drei Matrizen sind gleich: 2.3 Kettenbrüche Lit.: A.Y. Khintchine, `Kettenbrüche, `Continued Fractions Jedes lässt sich beliebig gut durch eine rationale Zahl approximieren: Auf ähnliche Weise lassen sich auch komplexere Strukturen erzeugen, wie z.b. ( ) Beispiel: Dezimalapproximation mit (Annäherung monoton) Frage: Beste Approximation mit? Antwort: Kettenbruchentwicklung (`continued fraction ) Kap2, Seite 12 Kap2, Seite 13 7

8 Kettenbruchentwicklung: (eindeutig) Beispiel: Konstruktion: (Gauß Klammer) Satz: (ohne Beweis) Die Folge liefert die beste rationale Approximationen an x, d.h. es gibt kein mit und. Kap2, Seite 14 Kap2, Seite 15 außerdem gilt (Annäherung alternierend) Konvergenzbetrachtung: Die Folge der konvergiert schneller, wenn die schneller wachsen. Die langsamste Konvergenz findet man für ist die `irrationalste Zahl im Einheitsintervall, d.h. sie lässt sich am schlechtesten rational approximieren. Kap2, Seite 16 8