Seltsame Attraktoren

Transkript

1 1 Seltsame Attraktoren Proseminar: Theoretische Physik Jonas Haferkamp 9. Juli 2014

2 Abbildung: Poincaré-Schnitt der Duffing-Gleichungen 2

3 3 Gliederung 1 Motivation 2 Was ist ein (seltsamer) Attraktor? 3 Teig Abbildung/Bäcker Abbildung 4 Hénon Abbildung 5 Rössler-Attraktor 6 Seltsame Attraktoren in der Chemie? 7 Zusammenfassung

4 4 Motivation Reduktion komplexer Dynamik auf die Untersuchung des Langzeitverhaltens.

5 5 Motivation Reduktion komplexer Dynamik auf die Untersuchung des Langzeitverhaltens. Bei vielen Systemen nur für das Langzeitverhalten qualitative Aussagen möglich.

6 6 Motivation Reduktion komplexer Dynamik auf die Untersuchung des Langzeitverhaltens. Bei vielen Systemen nur für das Langzeitverhalten qualitative Aussagen möglich. Erforschung von seltsamen Attraktoren erfüllt Selbstzweck.

7 7 Gliederung 1 Motivation 2 Was ist ein (seltsamer) Attraktor? 3 Teig Abbildung/Bäcker Abbildung 4 Hénon Abbildung 5 Rössler-Attraktor 6 Seltsame Attraktoren in der Chemie? 7 Zusammenfassung

8 8 Attraktoren Definition: Eine abgeschlossene Menge Λ im Phasenraum eines dynamischen Systems nennen wir Attraktor dieses Systems, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt: Invariante Menge: Der Orbit eines beliebigen Punktes des Attraktors bleibt für alle Zeiten im Attraktor. Attraktiv: Es existiert eine Umgebung von Λ, so dass alle Orbits von Punkten dieser Umgebung für t gegen den Attraktor streben. Minimal: Es gibt keine Untermenge von Λ, die die Eigenschaften 1. und 2. erfüllt.

9 9 Beispiel Abbildung: Beispiel zur Minimalität

10 10 Rückblick: Lorenz-Attraktor Trajektorien im Lorenz-System

11 Abbildung: Trajektorien im Lorenz Attraktor 11

12 12 Abbildung: Trajektorien im Lorenz Attraktor Definition: Wir nennen einen Attraktor seltsam, wenn er sensible Abhängigkeit von Anfangsbedingungen zeigt. Es existiert also ein positiver Lyapunov-Exponent.

13 13 Chaotisch und Fraktal Historisch wurden seltsame Attraktoren seltsam genannt,da sie oft fraktale Mengen sind.

14 14 Chaotisch und Fraktal Historisch wurden seltsame Attraktoren seltsam genannt,da sie oft fraktale Mengen sind. Um zu unterscheiden ob wir uns auf den geometrischen, oder dynamischen Aspekt konzentrieren nutzt man die Begriffe fraktaler und chaotischer Attraktor.

15 15 Gliederung 1 Motivation 2 Was ist ein (seltsamer) Attraktor? 3 Teig Abbildung/Bäcker Abbildung 4 Hénon Abbildung 5 Rössler-Attraktor 6 Seltsame Attraktoren in der Chemie? 7 Zusammenfassung

16 16 Strecken und Falten Seltsame Attraktoren zeigen kontraintuitives Verhalten: Exponentielle Trennung von Trajektorien mit benachbarten Anfangsbedingungen. Beschränkung durch den Attraktor.

17 17 Strecken und Falten Seltsame Attraktoren zeigen kontraintuitives Verhalten: Exponentielle Trennung von Trajektorien mit benachbarten Anfangsbedingungen. Beschränkung durch den Attraktor. Um dieses Verhalten mit der Vorstellung zu vereinbaren nutzt man Faltung und Streckung:

18 18 Strecken und Falten Seltsame Attraktoren zeigen kontraintuitives Verhalten: Exponentielle Trennung von Trajektorien mit benachbarten Anfangsbedingungen. Beschränkung durch den Attraktor. Um dieses Verhalten mit der Vorstellung zu vereinbaren nutzt man Faltung und Streckung: Abbildung: Strecken und Falten eines Würfels im Phasenraum

19 19 Teig kneten Abbildung: Teigabbildung

20 20 Bäcker Abbildung Abbildung: Bäcker Abbildung anhand von Smiley

21 21 Bäcker Abbildung Abbildung: Attraktor der Bäker-Abbildung

22 22 Gliederung 1 Motivation 2 Was ist ein (seltsamer) Attraktor? 3 Teig Abbildung/Bäcker Abbildung 4 Hénon Abbildung 5 Rössler-Attraktor 6 Seltsame Attraktoren in der Chemie? 7 Zusammenfassung

23 23 Hénon Abbildung Die Abbildung Die Hénon Abbildung, nach Michel Hénon (1976), ist gegeben durch die Rekursion: x n+1 = y n + 1 ax 2 n (1) y n+1 = bx n (2) Wahl der Parameter Für die Werte a=1.4 und b=0.3 hat Hénon gezeigt, dass dieses System einen seltsamen Attraktor hat.

24 24 Iteration des Hénon Attraktors Abbildung: 1 Iteration

25 25 Iteration des Hénon Attraktors Abbildung: 2 Iteration

26 26 Iteration des Hénon Attraktors Abbildung: 3 Iteration

27 27 Iteration des Hénon Attraktors Abbildung: 4 Iteration

28 28 Iteration des Hénon Attraktors Abbildung: 5 Iteration

29 29 Iteration des Hénon Attraktors Abbildung: 6 Iteration

30 30 Iteration des Hénon Attraktors Abbildung: 9 Iteration

31 31 Iteration des Hénon Attraktors Abbildung: 100 Iteration

32 32 Iteration des Hénon Attraktors Abbildung: Iteration

33 33 Zoom in den Hénon Attraktor Abbildung: Vergrößerung eines Zweiges

34 34 Eigenschaften des Hénon Attraktor Wenn wir einen Ausschnitt beliebig weit vergrößern,können wir stets weitere Bahnen beobachten.

35 35 Eigenschaften des Hénon Attraktor Wenn wir einen Ausschnitt beliebig weit vergrößern,können wir stets weitere Bahnen beobachten. Der Attraktor ist lokal das Produkt einer glatten Kurve und einer Cantormenge.

36 36 Eigenschaften des Hénon Attraktor Wenn wir einen Ausschnitt beliebig weit vergrößern,können wir stets weitere Bahnen beobachten. Der Attraktor ist lokal das Produkt einer glatten Kurve und einer Cantormenge. Ist der Abschluss eines Zweigs der instabilen Mannigfaltigkeit eines Sattelpunktes.

37 37 Gliederung 1 Motivation 2 Was ist ein (seltsamer) Attraktor? 3 Teig Abbildung/Bäcker Abbildung 4 Hénon Abbildung 5 Rössler-Attraktor 6 Seltsame Attraktoren in der Chemie? 7 Zusammenfassung

38 38 Rössler-Attraktor Die Abbildung Das Rössler System ist gegeben durch die Differentialgleichungen: ẋ = y z (3) ẏ = x + ay (4) ż = b + z(x c) (5)

39 39 Iteration des Rössler Attraktors Abbildung: Iteration mit a=b=0.2 und c=5.7 bis t=50

40 40 Iteration des Rössler Attraktors Abbildung: Iteration mit a=b=0.2 und c=5.7 bis t=60

41 41 Iteration des Rössler Attraktors Abbildung: Iteration mit a=b=0.2 und c=5.7 bis t=61.5

42 42 Iteration des Rössler Attraktors Abbildung: Iteration mit a=b=0.2 und c=5.7 bis t=65

43 43 Iteration des Rössler Attraktors Abbildung: Iteration mit a=b=0.2 und c=5.7 bis t=79.5

44 44 Iteration des Rössler Attraktors Abbildung: Iteration mit a=b=0.2 und c=5.7 bis t=120

45 Abbildung: Iteration mit a=b=0.2 und c=5.7 bis t= Iteration des Rössler Attraktors

46 46 Verhalten des Rössler-Attraktors Abbildung: Rössler-Attraktor als Ergebnis von Faltung und Streckung

47 47 Eigenschaften des Rössler-Systems Es handelt sich um einen seltsamen Attraktor.

48 48 Eigenschaften des Rössler-Systems Es handelt sich um einen seltsamen Attraktor. Der Attraktor ist lokal das Produkt einer glatten Fläche und einer Cantormenge.

49 49 Eigenschaften des Rössler-Systems Es handelt sich um einen seltsamen Attraktor. Der Attraktor ist lokal das Produkt einer glatten Fläche und einer Cantormenge. Effektiv verhält sich der Fluss wie die Teig-Abbildung und erzeugt durch simultanes Strecken und Falten unendlich dicht aneinanderliegende Oberflächen.

50 50 Wann haben wir Chaos? Für unterschiedliche Parameter a und b zeigt der Attraktor qualitativ sehr unterschiedliches Verhalten.

51 51 Wann haben wir Chaos? Für unterschiedliche Parameter a und b zeigt der Attraktor qualitativ sehr unterschiedliches Verhalten. Rössler-Attraktor für verschiedene Paramter.

52 52 Wann haben wir Chaos? Für unterschiedliche Parameter a und b zeigt der Attraktor qualitativ sehr unterschiedliches Verhalten. Rössler-Attraktor für verschiedene Paramter. Bei der Variation von a können wir abwechselnd seltsame Attraktoren und einfache Grenzzykel beobachten. Das Auftauchen von Chaos ist dabei praktisch unberechenbar.

53 53 Gliederung 1 Motivation 2 Was ist ein (seltsamer) Attraktor? 3 Teig Abbildung/Bäcker Abbildung 4 Hénon Abbildung 5 Rössler-Attraktor 6 Seltsame Attraktoren in der Chemie? 7 Zusammenfassung

54 54 Der Versuch von Roux et al. Grundlage ist die Belousov-Zhabotinsky Reaktion.

55 55 Der Versuch von Roux et al. Grundlage ist die Belousov-Zhabotinsky Reaktion. Roux, Simoyi, Wolf und Swinney haben den Versuchsaufbau modifiziert und mit konstanter Rate frische Chemikalien hinzugefügt.

56 56 Der Versuch von Roux et al. Grundlage ist die Belousov-Zhabotinsky Reaktion. Roux, Simoyi, Wolf und Swinney haben den Versuchsaufbau modifiziert und mit konstanter Rate frische Chemikalien hinzugefügt. Damit konnten sie langfristig ein chemisches Gleichgewicht verhindern.

57 57 Der Versuch von Roux et al. Grundlage ist die Belousov-Zhabotinsky Reaktion. Roux, Simoyi, Wolf und Swinney haben den Versuchsaufbau modifiziert und mit konstanter Rate frische Chemikalien hinzugefügt. Damit konnten sie langfristig ein chemisches Gleichgewicht verhindern. Dabei dient die Zuflussrate der frischen Chemikalien als Kontrollparameter.

58 58 Der Versuch von Roux et al. Grundlage ist die Belousov-Zhabotinsky Reaktion. Roux, Simoyi, Wolf und Swinney haben den Versuchsaufbau modifiziert und mit konstanter Rate frische Chemikalien hinzugefügt. Damit konnten sie langfristig ein chemisches Gleichgewicht verhindern. Dabei dient die Zuflussrate der frischen Chemikalien als Kontrollparameter. Gemessen wird die Konzentration der Bromidionen.

59 59 Die Messung Abbildung: Bromidionenkonzentration in der BZ Reaktion

60 60 Attraktorrekonstruktion Motivation: Möglicherweise liegt dem aperiodischen Verhalen des Systems die Bewegung auf einem seltsamen Attraktor zugrunde.

61 61 Attraktorrekonstruktion Motivation: Möglicherweise liegt dem aperiodischen Verhalen des Systems die Bewegung auf einem seltsamen Attraktor zugrunde. Roux et al. verwendeten die Analysetechnik der Attraktorrekonstruktion.

62 62 Attraktorrekonstruktion Motivation: Möglicherweise liegt dem aperiodischen Verhalen des Systems die Bewegung auf einem seltsamen Attraktor zugrunde. Roux et al. verwendeten die Analysetechnik der Attraktorrekonstruktion. Dabei definiert man eine zeitliche Verschiebung τ > 0 und betrachtet (für zwei Dimensionen) den Vektor: x(t) = (B(t), B(τ + t)) (6)

63 63 konstruierter Attraktor Abbildung: B(t) und B(τ + t) gegeneinander aufgetragen

64 64 Bemerkungen Man kann auch höhere Einbettungsdimensionen wählen. Z.B. für 3 Dimensionen: x(t) = (B(t), B(τ + t), B(2τ + t)) (7)

65 65 Bemerkungen Man kann auch höhere Einbettungsdimensionen wählen. Z.B. für 3 Dimensionen: x(t) = (B(t), B(τ + t), B(2τ + t)) (7) Erfolg der Rekonstruktion hängt stark von der Wahl der zeitlichen Verschiebung und der Einbettungsdimension. Für zu hohe und zu niedrige Einbettungsdimension bricht die Methode zusammen. Ebenso für zu hohe und zu niedrige zeitliche Verschiebungen.

66 66 Gliederung 1 Motivation 2 Was ist ein (seltsamer) Attraktor? 3 Teig Abbildung/Bäcker Abbildung 4 Hénon Abbildung 5 Rössler-Attraktor 6 Seltsame Attraktoren in der Chemie? 7 Zusammenfassung

67 67 Zusammenfassung Seltsame Attraktoren zeigen sensible Abhängigkeit von Anfangsbedingungen und damit chaotisches Verhalten.

68 68 Zusammenfassung Seltsame Attraktoren zeigen sensible Abhängigkeit von Anfangsbedingungen und damit chaotisches Verhalten. Die meisten bekannten seltsamen Attraktoren lassen sich durch Strecken und Falten im Phasenraum veranschaulichen.

69 69 Zusammenfassung Seltsame Attraktoren zeigen sensible Abhängigkeit von Anfangsbedingungen und damit chaotisches Verhalten. Die meisten bekannten seltsamen Attraktoren lassen sich durch Strecken und Falten im Phasenraum veranschaulichen. Aus Messdaten bestimmter chemischer Reaktionen (Zuerst für Belousov-Zhabotinsky Reaktion) lassen sich seltsame Attraktoren rekonstruieren.

70 Attraktoren, die es nicht in den Vortrag geschafft haben. 70 Abbildung: De Jong Attraktor

71 Attraktoren, die es nicht in den Vortrag geschafft haben. 71 Abbildung: Attraktor des chaotischen Pendels

72 Attraktoren, die es nicht in den Vortrag geschafft haben. 72 Abbildung: Poincaré Schnitt des Duffing Systems

73 73 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! 7:1 Quellen: John Guckenheimer, Philip Holmes: "Nonlinear Oscilattions, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields"; Strogatz:"Nonlinear Dynamics and Chaos" Wikipedia; chaos-math.org; youtube.com/watch?v=pnhtuiimgty