Differentialgleichungen 2. Differentialgleichungen und Dynamische Systeme. Peter Szmolyan

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1 Differentialgleichungen 2 Differentialgleichungen und Dynamische Systeme Peter Szmolyan Institut für Analysis und Scientific Computing TU-Wien 1

2 The theory of dynamical systems is one of the domains of mathematics whose development in the 20th century has been most revolutionary, creating new and unexpected paradigms. It lies on the crossroad of the ways connecting the most applied parts of mathematics (like oscillation theory, celestial mechanics, ecology, and statistical physics) with such pure parts as topology, differential geometry, Lie groups and number theory. V. Arnold in: Dynamical systems. Development of mathematics , (2000). 2

3 Was versteht man unter einem Dynamischen System (DS)? 1) Ein DS ist konkretes oder konkret vorstellbares Gebilde, welches ein beobachtbares Verhalten zeigt, wobei dieses Verhalten als Ergebnis des Zusammenwirkens seiner Teile angesehen werden kann. 2) In Naturwissenschaft, Technik und Mathematik ist ein DS ein mathematisches Modell eines zeitabhängigen Prozesses, das sehr oft die Form einer Differentialgleichung (DG) hat. 3) Phasenraum M, z.b. R n, Vektorraum, Mannigfaltigkeit zeitliche Entwicklung: Fluss ϕ : R M M, differenzierbar, Gruppeneigenschaft: ϕ(s + t,.) = ϕ(s,.) ϕ(t,.), s, t R Ziele: Vorhersagen, Verstehen, Kontrolle quantitativ und qualitativ 3

4 DS = Geometrische Theorie von DG Differentialgleichung ẋ = f(x), AWP: x(0) = ξ R n Zustand x R n Phasenraum, Lösungen x(t, ξ), t R Zeit Existenz von Lösungen, Fluss x(t, ξ), Berechnung und Verhalten der Lösungen? Geometrie aller Lösungskurven = Phasenporträt 4

5 Stromlinien: Phasenporträt des Pazifischen Ozeans 5

6 Dynamische Systeme in klassischer Mechanik, Himmelsmechanik fundamental für: Entwicklung der Physik und Mathematik allgemein insbesondere für Entwicklung der Differentialrechnung, Theorie der Differentialgleichungen und Theorie dynamischer Systeme 6

7 J. Kepler ( ) Planetenbahnen, Ellipsen, I. Newton ( ) Bewegungsgesetze, n Körper Position x(t) R 3n, Zeit t R Geschwindigkeit v(t) := ẋ(t) Kraft F (x), Masse m ẋ = v, x(0) = x 0 m v = F (x), v(0) = v 0 Newtonsche Gesetze + Anfangszustand determinieren Verhalten Zweikörperproblem (Sonne + Planet): analytisch lösbar periodisches Verhalten Mehrkörperproblem: nicht analytisch lösbar, gegenseitige Beeinflussung der Planeten? Langzeitstabilität des Sonnensystems? 7

8 Dreikörperproblem z.b. Sonne - Erde - Mond, Vereinfachungen: alle Orbits in einer Ebene, Mondmasse vernachlässigbar klein, dennoch irreguläre Bahnen des Mondes möglich! Newton, Euler, Laplace, Poisson, Poincare: analytische Lösungsmethoden (Störungsrechnung, Reihenentwicklungen) Problem: Resonanzen, Reihenentwicklungen divergieren Poincare (1890): geometrische und topologische Methoden Existenz chaotischer Lösungen, Geburtsstunde der Theorie DS 8

9 Hamiltonsche Systeme Hamilton Funktion H : R n R n R, differenzierbar C k, k 2 ẋ = H p (x, p) ṗ = H x (x, p) Beispiel: Gesamtenergie H(x, p) = p 2 /2+V (x), Position x, Impuls p, Potential V (x) H und oft auch weitere physikalische Größen bleiben erhalten, d.h. sind konstant entlang von Lösungen. 9

10 Pendel Θ = ω ω = sin Θ Θ S 1, ω R Hamilton Funktion H := 1 2 ω2 cos Θ konstant, integrabel Ruhelagen, periodische Orbits, Separatrix, heterokline Orbits; In der Nähe der Separatrix sensibles Verhalten bei (externen) Störungen 10

11 Doppelpendel zwei Freiheitsgrade, Energieerhaltung, Hamiltonsches System Mit wachsender Energie ist die Dynamik 1) regulär (periodisch oder quasiperiodisch) 2) gemischt regulär und chaotisch 3) voll chaotisch bzw. ergodisch (statistische Beschreibung) 11

12 Vorhersagen, Verstehen und Kontrolle? Stabilität Instabilität sensitive Abhängigkeit von Anfangswerten und Parametern bad news: Sonnensystem (vermutlich) (schwach) instabil good news: Design energiesparender Satellitenbahnen 12

13 Lagrange Punkte L 1 - L 5, relative Equilibria, instabil Interplanetary Transport Network, J. Marsden, S. Ross (2006) 13

14 Dynamische Systeme in Biologie, Chemie, Strömungslehre,... Energie und andere Größen werden verbraucht (dissipiert), z.b. Reibung, chemische Reaktionen dissipative Systeme Systeme von gewöhnlichen DG mit linearen und quadratischen Terme sind typisch für Modelle chemischer Reaktionen. 14

15 Rössler System: berühmtes (konstruiertes) Beispiel, Otto Rössler (1976) ẋ = y z ẏ = x + ay ż = b + z(x c) a = 0.2, b = 0.2, c = 5.7 Hier: nur ein einziger nichtlinearer (quadratischer) Term! zwei Ruhelagen p ±, Linearisierung an p + hat Eigenwerte λ 1,2 = i instabil (Spirale) λ 3 = stabil 15

16 Rössler System ẋ = y z ẏ = x + ay ż = b + z(x c) a = 0.2, b = 0.2, c = 5.7 dissipatives System, d.h. Volumen wird unter Fluss exponentiell kontrahiert Numerische Simulation zeigt seltsamen Attraktor Wissensstand: numerische Untersuchungen, gutes Verständnis der Phänomene, keine mathematischen Beweise 16

17 Bei Variation von c entstehen und verschwinden (stabile) periodische Lösungen und chaotische Attraktoren Verzweigungen von Ruhelagen, periodischen Orbits,... Bsp. der universalen Periodenverdopplungs-Route ins Chaos 17

18 geometrisches Modell stretch and fold Reduktion auf Iterieren einer Poincaré-Abbildung: Schnitt mit Ebene x = const., starke Kontraktion in z annähernd eindimensionale Abbildung f : I I, y n y n+1 18

19 Methoden und Fragen Typen von DS gewöhnliche DG, Abbildungen, partielle DG, stochastische DG Klassifikationsaufgaben strukturelle Stabilität: welche Pänomene sind robust unter Störung? Verhalten bei Änderung von Parametern, Verzweigungen generisches Verhalten: welche Phänomene treten typischerweise auf? Zugänge differenzierbare DS, topologische Dynamik, symbolische Dynamik, Ergodentheorie DS, zufällige DS, Computational Dynamics,... 19

20 Techniken: Linearisierung, invariante Mannigfaltigkeiten, Dimensionsreduktion, Verzweigungen, Störungsmethoden, Normalformentheorie, Symmetrien, (Fixpunktsatz von Banach, Satz über implizite Funktionen) the Good, the Bad, and... linear nichtlinear niederdimensional hochdimensional lokales Verhalten globales Verhalten transversale Lage tangentiale Lage hyperbolisches Verhalten nicht-hyperbolisches Verhalten konkrete Beispiele allgemeine Theorie allgemeine Theorie konkrete Beispiele hyperbolisch: exponentielles Wachstum e λt, Re λ 0 20

21 Literatur Die Vorlesung folgt dem Buch James D. Meiss, Differential Dynamical Systems (Monographs on Mathematical Modeling and Computation), SIAM (2007) andere sehr empfehlenswerte Bücher sind Vladimir I. Arnold, Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations, 2nd edition, Springer (1988) Carmen Chicone, Ordinary Differential Equations with Applications, 2nd edition, Springer (2006) 21

22 Freddy Dumortier, Jaume Llibre, and Joan C. Arts, Qualitative Theory of Planar Differential Systems, Springer (2006) Yuri Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, 3rd edition, Springer (2001) Lawrence Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, 3rd edition, Springer (2004) Stephen Smale, Morris W. Hirsch, and Robert L. Devaney Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 2nd edition, Elsevier (2004)

23 Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics And Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering, Perseus (1994) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Amer. Math. Soc. (2012) Stephen Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos 2nd edition., Springer (2003) Alle Bücher unter zu finden.