1.3 Flüsse. Y (t) = f(y(t))

Transkript

1 18 Kapitel 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen 1.3 Flüsse Sei jetzt F:D R n R n ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann erfüllt F die Voraussetzungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes. Das bedeutet, dass die zugehörige Differentialgleichung Y (t) = F(Y(t)) zu jeder Anfangsbedingung Y(t 0 ) = Y 0 eine eindeutig bestimmte maximale Lösung hat. In dieser Situation hängt die rechte Seite der Differentialgleichung nicht explizit, sondern nur implizit von der Variablen t ab. Eine solche Differentialgleichung bezeichnet man als autonom. Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind gerade die Integralkurven des Vektorfeldes F. Das heisst, an jeder Stelle einer solchen Kurve stimmt der Geschwindigkeitsvektor mit dem an dieser Stelle durch das Vektorfeld vorgegebenen Vektor überein. Ist zum Beispiel f:d R n R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion in n Variablen, so ist das Gradientenvektorfeld f:d R n einmal stetig differenzierbar. Also hat die Differentialgleichung Y (t) = f(y(t)) zu jeder Anfangsbedingung eine eindeutig bestimmte maximale Lösung. Die Gesamtheit dieser Lösungen bildet den sogenannten Gradientenfluss Definition Allgemeiner versteht man unter dem Fluss eines stetig differenzierbaren Vektorfeldes F:D R n die Abbildung ϕ:g R D R n, die einem Paar (t,x) die Lösung der Differentialgleichung Y (t) = F(Y(t)) zur Anfangsbedingung Y(0) = X, ausgewertet bei t, zuordnet. Dabei ist die Teilmenge G R D so gross gewählt wie möglich. Das heisst, ein Paar (t,x) R D liegt in G, wenn die maximale Lösung der Differentialgleichung zur Anfangsbedingung Y(0) = X bei t definiert ist. Der Fluss entspricht also der allgemeinen Lösung der durch F gegebenen Differentialgleichung. Bezeichnen wir mit (ω (X),ω + (X)) das Definitionsintervall der maximalen Lösung der Differentialgleichung Y = F(Y) zur Anfangsbedingung Y(0) = X. (Es kann also auch vorkommen, dass die Intervallgrenzen minus oder plus unendlich sind). Dann können wir den Definitionsbereich des Flusses so schreiben: G = {(t,x) X D,t (ω (X),ω + (X))} Beispiele Ist A eine fest gewählte n n-matrix und F(X) = A X (X R n ), so lautet die Lösung der Differentialgleichung Y (t) = A Y(t) zur Anfangsbedingung Y(0) = X, wie schon erwähnt, t e ta X, t R. Also ist der Fluss des durch A definierten Vektorfeldes gegeben durch ϕ(t,x) = e ta X für alle t R, X R n. In diesem Fall ist also G = R R n.

2 1.3. Flüsse Sei jetzt konkret A =. Das entsprechende Vektorfeld ist gegeben 0 1 x x durch F =. Als Definitionsbereich wählen wir diesmal D := y y {v R 2 v < 1}. Die Lösung der zugehörigen Differentialgleichung zum Anfangspunkt v = 0ist konstant gleich Null undfür allezeitent R definiert. Die Lösung zur Anfangsbedingung γ(0) = v (für v 0) lautet γ(t) = e t v und ist nur definiert für t > ln( v ). Geht man noch weiter zurück in die Vergangenheit, wird der zulässige Bereich D R 2 verlassen. Also haben wir hier ω (v) = ln( v ) und ω + (v) = +. Der Fluss des Vektorfeldes ist also gegeben durch ϕ(t,v) = e t v und er ist definiert auf dem Gebiet G = {(t,0) t R} {(t,v) v R 2,t > ln( v )}. x Betrachten wir nun das Vektorfeld, definiert durch F = y lautet das zugehörige Differentialgleichungssystem ẋ(t) = 0, ẏ(t) = y 2. ( x0 0 y 2. Hier ) Die Lösung hiervon zur Anfangsbedingung γ(0) = ist gegeben durch y 0 x0 γ(t) = y 0, und zwar für t > 1 y 0, falls y 0 < 0, und t < 1 y 0, falls y 0 > 0. ( 1 y 0 ) t x0 Für v = mit y 0 < 0 ist also ω = 1 y 0 und ω + = +. Falls y 0 > 0, haben y 0 wir eine obere Schranke für die Zeit ω + = 1 y 0 und ω =. Der entsprechende Fluss ist gegeben durch und definiert auf dem Bereich ϕ(t,x,y) = ( x y 1 yt G = {(t,x,y) y > 0,t < 1 y } {(t,x,y) y < 0,t > 1 } {(t,x,0) t,x R}. y ) 1.20 Definition Man bezeichnet den Definitionsbereich D R n des Vektorfeldes auch als Phasenraum. Jede Lösung der Differentialgleichung Y = F(Y) beschreibt eine parametrisierte Kurve im Phasenraum, und die Anfangsbedingung gibt den Punkt vor, durch den diese Kurve für t = 0 geht. Zeichnet man diese Kurven in den Phasenraum ein, erhält man das Phasenbild.

3 20 Kapitel 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen 1.21 Beispiel Sei A = 1 0. Diese Matrix definiert das folgende Differential- 0 1 gleichungssystem: ẋ(t) = x(t), ẏ(t) = y(t). Der dazugehörige Fluss ϕ:r R 2 R 2 ist gegeben durch c1 c1 e ϕ(t, ) = t c1 c 2 e t, t R, R 2. c 2 Der Phasenraum ist hier die Ebene R 2, und die Lösungskurve durch einen Punkt (c 1,c 2 ) R 2 hat die Form ( c1 e { t x(t) c 2 e t t R} { y(t) c 2 ) x(t)y(t) = c 1 c 2 für alle t.}. Ist c 1 = c 2 = 0, besteht die zugehörige Lösungskurve nur aus dem Nullpunkt. Ist c 1 = 0 oder c 2 = 0, aber nicht beide gleichzeitig, so besteht die Lösungskurve aus einem Halbstrahl der y-achse bzw. der x-achse. Ist c 1 0 c 2, so bildet die Lösungskurve einen Ast einer Hyperbel. Das Phasenbild ist also eine Vereinigung von Hyperbelästen mit dem Achsenkreuz, zerlegt in vier Teile, sowie dem Nullpunkt. Und hier noch ein konkretes Beispiel für einen Gradientenfluss: 1.22 Beispiel Sei f(x,y) = x 2 y 3 und F(x,y) = gradf(x,y) = (2x, 3y 2 ) für x, y R. Die entsprechende Differentialgleichung lautet: (ẋ(t) ) 2x(t) γ(t) = = ẏ(t) 3y 2. (t) Es handelt sich also eigentlich um ein System von zwei nicht gekoppelte Differentialgleichungen, nämlich ẋ(t) = 2x(t) und ẏ(t) = 3y 2 (t). Die allgemeine Lösung der ersten Gleichung lautet x(t) = x 0 e 2t (für t R). Um die zweite Gleichung zu lösen, trennen wir zunächst die Variablen und erhalten (falls y 0): dy y = 3 dt = 3t+c. 2 Daraus folgt 1 y = 3t+c und schliesslich y(t) = 1 3t c. Setzen wir hier t = 0 ein, ergibt sich y(0) = y 0 = 1 c. Die Konstante c hat also die Bedeutung c = 1 y 0, und passt nur zu Anfangswerten y 0 0. Falls y 0 = 0, ist

4 1.3. Flüsse 21 die Nullfunktion die entsprechende Lösung. Die maximale Lösung zur Anfangsbedingung y(0) = y 0 lautet also: 0 für t R falls y 0 = 0 1 y(t) = = y 3t y y 0 für t > 1 t+1 3y 0 falls y 0 > 0 0 y 0 3y 0 für t < 1 t+1 3y 0 falls y 0 < 0 Nun können wir den Gradientenfluss von f angeben: xe 2t ϕ(t,x,y) = y 3yt+1 ),definiert für t > 1 1, falls y > 0, bzw. für t <, falls y < 0. 3y 3y Die Gradientenlinien stehen überall senkrecht auf den Niveaulinien von f.

5 22 Kapitel 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen Der Fluss eines Vektorfeldes hat eine Reihe bemerkenswerter Eigenschaften Satz Der Fluss ϕ:g R D D R n ist stetig. Ist das Vektorfeld F p-mal stetig differenzierbar, so ist auch der zugehörige Fluss ϕ p-mal stetig differenzierbar. Ist F reell analytisch, so ist auch der Fluss ϕ analytisch. Beweis. Die erste (bzw. zweite) Aussage folgt daraus, dass die Lösung der Differentialgleichung Y = F(Y) stetig (bzw. differenzierbar) von der Anfangsbedingung abhängt. Auf den Beweis dieser Tatsache werden wir hier verzichten. q.e.d. Nun kommen wir zu der wichtigsten Eigenschaft, die dynamische Systeme auszeichnet: 1.24 Satz Für die durch den Fluss definierten Transformationen des Phasenraums D gilt: Ist (t,x) G und Y := ϕ(t,x), sowie (s,y) G, dann folgt (s+t,x) G und ϕ(s+t,x) = ϕ(s,ϕ(t,x)). Ausserdem ist ϕ(0,x) = X für alle X. Der Beweis dieser Aussage beruht auf der Beobachtung, dass die Lösungen einer autonomen Differentialgleichung invariant sind unter Translation der Zeit. Genauer: 1.25 Lemma Ist γ:[a,b] D eine Lösung der Differentialgleichung Y = F(Y), wobei F:D R n R n ein stetiges Vektorfeld ist, so ist für jedes t R auch γ:[a t,b t] D, definiert durch γ(s) := γ(s+t), eine Lösung derselben Differentialgleichung. Beweis. Aus der Kettenregel ergibt sich für alle s: q.e.d. γ (s) = d ds γ(s+t) = γ (s+t) = F(γ(s+t)) = F( γ(s)). Hier ein Beispiel einer nichtautonomen Differentialgleichung, für die die entsprechende Aussage nicht gilt: 1.26 Beispiel SeiF(t,x,y) = (2t,y)fürt R,(x,y) R 2.Durchdieszeitabhängige Vektorfeld wird folgende Differentialgleichung definiert: (ẋ(t) ) 2t =. ẏ(t) y(t) Die Lösung γ:r R 2 dieser Differentialgleichung zur Anfangsbedingung γ(0) = (x 0,y 0 ) lautet t γ(t) = 2 +x 0 y 0 e t.

6 1.3. Flüsse 23 Sei jetzt t > 0 festgewählt und s R variabel. Die Funktion (s+t) γ(s) = γ(s+t) = 2 +x 0 y 0 e s+t ist keine Lösung der Differentialgleichung, denn 2(s+t) γ (s) = y 0 e s+t F(s, γ(s)) = 2s y 0 e s+t. Beweis des Satzes: Die Gleichung ϕ(0,x) = X (für alle X) ergibt sich sofort aus der Definition. Seien jetzt (t,x),(s,y) G, wobei Y := ϕ(t,x). Die Funktion s ϕ(s,ϕ(t,x)) = ϕ(s,y) ist nach Definition die eindeutig bestimmte Lösung der Differentialgleichung Y = F(Y) zum Startvektor Y für s = 0. Vergleichen wir jetzt mit der Zuordnung s ϕ(s+t,x). Wie im Lemma bemerkt, handelt es sich ebenfalls um eine Lösung der durch F definierten Differentialgleichung. Ausserdem nimmt die Zuordnung bei s = 0 den Wert ϕ(t,x) = Y an. Also stimmen beide Lösungen miteinander überein, und wir erhalten die Behauptung. q.e.d. Stellen wir uns die Variable t jetzt als Zeitparameter vor. Dann beschreibt t ϕ(t,x) eine Bewegung längs einer Bahnkurve ausgehend vom Punkt X. Die Abbildung ϕ gibt die Gesamtheit dieser Bewegungen an. Man spricht deshalb auch von einem dynamisches System. Ist G = R D, so liefert der Fluss zu jedem fest gewählten Zeitpunkt t R eine Transformation des Phasenraums ϕ t :D D, ϕ t (X) = ϕ(t,x). Es handelt sich sozusagen um eine Momentaufnahme zum Zeitpunkt t, die mit dem Anfangszustand in Beziehung gesetzt wird. Für den Fall, dass der Definitionsbereich des Flusses G = R R n ist, sind die Abbildungen ϕ t Transformationen des Raumes R n. Die dritte Aussage des Satzes können wir in diesem Fall so schreiben: Insbesondere folgt für s = t: ϕ 0 = id R n, ϕ s ϕ t = ϕ s+t für alle s,t R. ϕ t ϕ t = ϕ 0 = id. Das bedeutet, die Transformation ϕ t ist umkehrbar, und die Umkehrabbildung ϕ 1 t stimmt überein mit ϕ t (dabei läuft die Zeit sozusagen rückwärts). Betrachten wir die Zuordnung R umkehrbare Transformationen des R n, t ϕ t, stellenwirfest, dassdieadditionvonzahleninrgenauderkompositionvontransformationen entspricht. Eine solche Zuordnung wird als Gruppenhomomorphismus bezeichnet. Die Gruppenstruktur von R (durch Addition) wird durch die Zuordnung in die Gruppenstruktur der Transformationsgruppe des R n (durch Komposition) übertragen.

7 24 Kapitel 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen 1.27 Definition Unter der Bahn (oder Trajektorie) eines Punktes X D versteht man die Teilmenge {ϕ(t,x) t (ω (X),ω + (X))} des Phasenraums. Aus den Eigenschaften eines dynamischen Systems ergeben sich nun folgende Konsequenzen für das Aussehen der Bahnen Folgerung Sei D R n eine offene Teilmenge und F:D R n ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld. Für die Trajektorien des entsprechenden Flusses gilt folgendes: Durch jeden Punkt des Phasenraums geht genau eine Trajektorie. Die Bahn eines Punktes besteht nur aus einem Punkt genau dann, wenn dieser Punkt eine Nullstelle des Vektorfelds F ist. In diesem Fall wird der Punkt als stationäre Lösung oder als Gleichgewichtslage bezeichnet. Ist ein Punkt keine stationäre Lösung, so ist der Geschwindigkeitsvektor an jeder Stelle der Bahn ungleich Null. Eine Bahn, die nicht nur aus einem Punkt besteht, ist entweder eine offene Kurve ohne Selbstüberschneidungen, oder sie ist einfach geschlossen und es gibt eine Periode T > 0 mit ϕ(t,x) = ϕ(t+t,x) für alle t (ω (X),ω + (X)). Beweis. Nehmen wir an, ein Punkt X D liege nicht nur auf seiner eigenen Bahn, sondern auch auf der Bahn des Punktes Y D. Das heisst, X = ϕ(s,y) für ein s R. Daraus folgt ϕ t (X) = ϕ t (ϕ s (Y)) = ϕ t+s (Y) für alle t (ω (X),ω + (X)). Also gilt {ϕ(t,x) t (ω (X),ω + (X))} = {ϕ(t+s,y) t+s (ω (Y),ω + (Y))}. Das bedeutet, dass die Bahnen von X und Y bereits miteinander übereinstimmen. Die Beschreibungen dieser Bahnen unterscheidet sich nur durch eine Umparametrisierung der Zeit. Zur zweiten Aussage: Ein Punkt X 0 ist genau dann ein Gleichgewichtspunkt, wenn ϕ(t,x 0 ) = X 0 für alle t. Das bedeutet, die Lösung der Differentialgleichung Y = F(Y) zur Anfangsbedingung Y(0) = X 0 ist die konstante Funktion Y(t) = X 0 (für alle t). Dies ist genau dann der Fall, wenn Y (t) = F(X 0 ) = 0 ist. Die dritte Aussage ist nur eine Umformulierung der zweiten Aussage. Und nun zu den Möglichkeiten für eine eindimensionale Trajektorie: Angenommen ϕ(t 1,X) ϕ(t 2,X) für alle t 1 t 2, dann hat die Bahn von X offenbar keine Selbstüberschneidungen. Sie kann auch keine Randpunkte haben, weil nach Voraussetzung D offen ist. Denn durch jeden Punkt p in D gibt es nach dem Existenz-

8 1.3. Flüsse 25 und Eindeutigkeitssatz eine Lösung der Differentialgleichung, die auf einem offenen Intervall ( ǫ,ǫ) definiert ist, und bei t = 0 durch p geht. Nehmen wir nun an, die Bahn habe eine Selbstüberschneidung, bestehe aber nicht nur aus einem Punkt. Das heisst, es gibt Werte t 1 t 2 mit ϕ(t 1,X) = ϕ(t 2,X) und daraus folgt ϕ(0,x) = X = ϕ t1 (ϕ(t 1,X)) = ϕ t1 (ϕ(t 2,X)) = ϕ(t 2 t 1,X). Weil X keine Gleichgewichtslage sein sollte, ist der Geschwindigkeitsvektor der Bahn an der Stelle X ungleich 0. Die Dreigliedentwicklung von ϕ(t, X) bezüglich t lautet ϕ(t,x) = ϕ(0,x)+tf(x)+tr(t), wobei lim t 0 R(t) = 0 ist. Daraus ergibt sich nun die Abschätzung: ϕ(0,x) ϕ(t,x) = t F(X)+R(t) > 0 falls 0 < t klein genug ist, so dass R(t) < F(X). Es gibt also eine Zeit t 0 > 0 mit ϕ(t,x) ϕ(0,x) für alle 0 < t t 0. Anders gesagt, es verstreicht ein Zeitintervall, bevor die Bahn zum Ausgangspunkt zurückkehren kann. Sei jetzt T > 0 die kleinste Zahl mit ϕ(0,x) = ϕ(t,x). Dann erhalten wir wie behauptet ϕ(t,x) = ϕ t (ϕ(0,x)) = ϕ(t+t,x) für alle t. Die Funktion t ϕ(t,x) ist also periodisch mit Periode T, und die entsprechende Bahn ist einfach geschlossen. q.e.d. Kehren wir zum Vergleich noch einmal zu dem oben genannten Beispiel einer nichtautonomen Differentialgleichung zurück Beispiel Die Lösungskurven der Differentialgleichung (ẋ(t) ) 2t = ẏ(t) y(t) lauten (für x 0,y 0 R): γ:r R 2, γ(t) = x(t) t = 2 +x 0 y(t) y 0 e t. Ist y 0 = 0, so haben wir γ(t) = (t 2 +x 0,0). Diese Kurve verläuft entlang der x-achse und hat an der Stelle x = x 0 einen Umkehrpunkt. Für je zwei verschiedene x 0 -Werte überlappen sich die Bilder der Kurven in R 2, ohne miteinander übereinzustimmen. Hier haben wir also Bahnen mit Randpunkten, die ineinanderlaufen. Ist y 0 0, so haben wir y(t) = y 0 e ± x(t) x 0 für alle t. Dieentsprechenden Kurven im Phasenraum R 2 verlaufen (je nach Vorzeichen von y 0 ) ganz in der oberen oder der unteren Halbebene, und haben jeweils an der Stelle (x 0,y 0 ) eine vertikale Tangente und einen Wendepunkt bei x = x 0 +1.