8 Gewöhnliche Di erentialgleichungen

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1 8 Gewöhnliche Di erentialgleichungen Di erentialgleichungen sind Gleichungen für Funktionen, die sowohl die Funktion selbst als auch Ableitungen der Funktion beinhalten. Beispielsweise ist für f : R! R die Gleichung f = f (8.) eine Di erentialgleichung. Hier ist gemeint, dass f und f als Funktionen gleich sind, also f (x) = f(x) für alle x 2 R gilt. Jede Funktion f 2 C (R), die die Gleichung (8.) erfüllt, heißt dann Lösung der Di erentialgleichung. Eine Lösung von (8.) ist die Exponentialfunktion, f(x) =e x. Gibt es noch andere Lösungen? Ein weiteres Beispiel ist die = xg, (8.2) die sogenannte Wärmeleitungsgleichung. Dies ist eine Gleichung für Funktionen g : R R n! R, (t, x) 7! g(t, x). Di erentialgleichungen für Funktionen die nur von einer reellen Variable abhängen nennt man gewöhnliche Di erentialgleichungen (beispielsweise (8.)), während Di erentialgleichungen für Funktionen auf dem R n partielle Di erentialgleichungen heißen (beispielsweise (8.2)). Wir beschäftigen uns in dieser Vorlesung nur mit gewöhnlichen Di erentialgleichungen. Für diese existiert eine sehr allgemeine und übersichtliche Lösungstheorie. Wie wir sehen werden kann man eine sehr große Klasse von gewöhnlichen Di erentialgleichungen auf eine Standardform bringen, die eine natürliche geometrische bzw. dynamische Interpretation erlaubt. 8. Definition. Autonome Di erentialgleichung erster Ordnung Sei G R n o en, v : G! R n ein stetiges Vektorfeld und I R ein o enes Intervall. Eine di erenzierbare Kurve : I! G heißt Lösung der autonomen Di erentialgleichung erster Ordnung = v( ), (oder äquivalent = v ) (8.3) falls für alle t 2 I gilt, dass (t) =v( (t)). Falls 2 I ist, so heißt eine Lösung zum Anfangswert x 2 G falls () = x ist. In Komponenten lautet (8.3) (t) = v ( (t),, n(t)). n(t) = v n ( (t),..., n(t)), weshalb man auch von einem System autonomer gewöhnlicher Di erentialgleichungen für die n Funktionen,..., n : R! R spricht. 8.2 Bemerkung. Zur Terminologie: Wie schon zuvor erklärt bedeutet gewöhnlich hier, dass nur Ableitungen bezüglich einer reellen Variable auftauchen. Erste Ordnung bedeutet, dass nur die erste Ableitung von eingeht. Autonom bezeichnet schließlich die Eigenschaft, dass das 6

2 8 Gewöhnliche Di erentialgleichungen Vektorfeld v nicht explizit von der Zeit t abhängt. Die Notation statt für die Ableitung ist aus der Physik übernommen, wo der Punkt üblicherweise eine Zeitableitung symbolisiert. Man hat also die Vorstellung, dass sich der Punkt (t) 2 G R n mit der Geschwindigkeit (t) entlang der Kurve bewegt, wobei er zum Zeitpunkt t = im Anfangswert x = () startet. Die Di erentialgleichung gibt dann also vor, dass eine Lösung am Ort x 2 G die Geschwindigkeit v(x) haben muss. 8.3 Bemerkung. Phasendiagramm Man verdeutlicht sich das Vektorfeld v : G! R n oft durch das sogenannte Phasendiagramm, wobei man im Phasenraum G sowohl das Vektorfeld v als auch einige Lösungskurven skizziert. Sei beispielsweise v : R 2! R 2,(x,x 2 ) 7! ( x 2,x ), die zugehörige DGL also 2 = v( )=. Die Lösungskurven (t) sindüberall tangential an v und heißen oft auch Integralkurven an das Vektorfeld v. BeimLösen einer Di erentialgleichung spricht man manchmal vom Integrieren der Gleichung. Für dieses Beispiel findet man leicht explizit, dass (t) :=(r cos(t +'),rsin(t +')) die eindeutige Lösung zum Anfangswert x =(rcos ', r sin ') ist. 8.4 Definition. Autonome Di erentialgleichung m-ter Ordnung Sei m 2 N. Eine autonome gewöhnliche Di erentialgleichung m-ter Ordnung auf einem Gebiet D R n ist gegeben durch eine stetige Funktion und die Gleichung f : D R n R {z n }! R n (m ) mal (m) = f,,..., (m ). (8.4) Unter einer Lösung von (8.4) versteht man eine m-mal stetig di erenzierbare Kurve : I! D, I R ein o enes Intervall, so dass für alle t 2 I gilt (m) (m (t) =f (t), (t),..., ) (t). Falls 2 I ist, so heißt : I! D Lösung zum Anfangswert (x,y,...,y m ) falls () = x und (j) () = y j für j =,...,m. 8.5 Bemerkung. Reduktion auf ein System erster Ordnung Man kann eine autonome DGL m-ter Ordnung auf einem Gebiet D R n, (m) = f(,,..., (m ) ), (8.5) immer auf eine autonome DGL erster Ordnung auf dem Gebiet G := D R n(m ) R nm zurückführen. Man definiert dazu das Vektorfeld v : G! R nm durch y v(x, y,...,y m y 2 )= B. y m A f(x, y...,y m ) 62

3 und betrachtet für : I! G die Di erentialgleichung erster Ordnung Ist nun : I! D, t 7! (t) einelösung von (8.5), so ist = v( ). (8.6) : I! G, t7! (t) :=( (t), (t),..., (m ) (t)), Lösung von (8.6). Ist umgekehrt : I! G, (t) =( (t),..., m (t)) mit j (t) 2 R n,lösung von (8.6), so ist : I! D, t7! (t) := (t), Lösung von (8.5). 8.6 Definition. Autonome und nicht-autonome Systeme Sei I R ein o enes Intervall. Ein stetiges zeitabhängiges Vektorfeld f auf einem Gebiet D R n ist eine stetige Abbildung f : I D! R n, (t, x) 7! f(t, x). Man nennt dann die gewöhnliche Di erentialgleichung = f(t, ) (8.7) nicht-autonom, wennf explizit von t 2 I abhängt. Ist f (wie bisher) unabhängig von t, so heißt = f( ) autonom. SeiJ I ein Teilintervall. Eine stetig di erenzierbare Kurve : J! D heißt Lösung von (8.7), wenn für alle t 2 J gilt (t) =f(t, (t)). Für t 2 J heißt Lösung zum Anfangswert x = (t ) zur Anfangszeit t. 8.7 Bemerkung. Reduktion auf ein autonomes System Man kann jedes nicht-autonome System = f(t, ) auf einem Gebiet D R n auf ein autonomes System auf G := I D R n+ wie folgt zurückführen: Sei v : G! R +n, v(s, y) =(,f(s, y)), und sei : Ĩ! G, t7! (t) =:( (t), (t)) eine Lösung von = v( ) zum Anfangswert () = (t,x ). Dann ist : {t 2 R t t 2 Ĩ}!Rn, t 7! (t) := (t t ) eine Lösung von = f(t, ) zum Anfangswert x zur Anfangszeit t :Esist (t )= () = x und es gilt (t) = (t t )=f( (t t ), {z } (t t )) = f(t, (t)). = t Hier haben wir verwendet, dass die Di erentialgleichung = zum Anfangswert () = t löst, welche die eindeutige Lösung (t) =t + t hat. 63

4 8 Gewöhnliche Di erentialgleichungen 8.8 Bemerkung. (a) Im allgemeinen hat man keine Chance, ein System gewöhnlicher Di erentialgleichungen = v( ) auf ein Gebiet G R n bei Vorgabe von v : G! R n zu integrieren, d.h. Lösungen explizit zu bestimmen. Man ist daher schon damit zufrieden, qualitative Aussagen über die Bahn t 7! (t) zu bekommen, wie z.b. Antworten auf die Fragen: (i) Existiert zu gegebenem Vektorfeld v und Anfangswert x 2 G eine Lösung und ist diese eindeutig? (ii) Konvergiert t 7! (t) für t!gegen eine Gleichgewichtslage x 2 G, also einen Punkt mit v(x ) =? (iii) Ist t 7! (t) periodisch, also (t + T )= (t) für ein T> und alle t 2 R? Man nennt das Studium dieser Fragen die Qualitative Theorie gewöhnlicher Di erentialgleichungen. (b) Hat man spezielle Informationen über v oder G, z.b. Symmetrieaussagen oder G R so kann man = v( ) in manchen Fällen doch explizit integrieren. 8.9 Proposition. Integration eindimensionaler Di erentialgleichungen Seien D R und I R o ene Intervalle und seien a : I! R und b : D! R stetige Funktionen. Dann ist v : I D! R, v(t, x) =a(t)b(x) ein stetiges zeitabhängiges Vektorfeld. Sei (t,x ) 2 I D mit v(t,x ) 6=. Dann existieren o ene Umgebungen U I von t und U 2 D von x so, dass die implizite Gleichung F (t, x) := t a(s)ds Z x x b(u) du! = eine eindeutige stetig di erenzierbare Lösung : U! U 2 hat, welche auch eine Lösungskurve von = v(t, ) zum Anfangswert x zur Anfangszeit t ist. Beweis. Es ist F auf hinreichend kleinen Umgebungen von t und x wohldefiniert und stetig di erenzierbar. Da F (t,x ) = x F (t, x) (t,x ) = b(x) x 6=, gibt es nach dem Satz über implizite Funktionen Umgebungen U und U 2 und eine stetige di erenzierbare Funktion : U! U 2 mit (t )=x, F (t, (t)) = und (t) x F (t, t F (t, (t)) = b( (t)) a(t) =v(t, (t)). 8. Bemerkung. Diese Aussage zeigt die Berechtigung der heuristischen Rechnung = v( ) ) d ( ) = a(t)b( ) ) Z Z dt b( ) d = a(t)dt ) t x b(x) dx = a(s)ds. t Den Schritt ( ) nennt man oft Trennung der Variablen. 8. Bemerkung. (a) Im Fall einer autonomen DGL erster Ordnung auf G R und t = erhält man gemäß Proposition 8.9 eine Lösung zum Anfangswert x 2 G, indem man Z t = x v(u) du nach auflöst. Da die rechte Seite eine monotone Funktion von ist, hat das Phasendiagramm einer solchen DGL folgende Form: 64

5 In den Nullstellen von v ruht das System. Dazwischen läuft es monoton von einer Nullstelle zur nächsten. Ist v an den Nullstellen di erenzierbar, so werden die Gleichgewichtslagen in endlicher Zeit nicht erreicht. An den Rändern des Intervalls G können die Lösungen in endlicher Zeit entweichen. (b) Ganz allgemein führen die Punkte x 2 G an denen ein gegebenes Vektorfeld v : G! R n verschwindet, also v(x ) = gilt, zu besonders einfachen Lösungen der Di erentialgleichung = v( ): Es ist dann : R! G, t 7! (t) x, eine globale Lösung von = v( ). Man nennt diese Punkte daher Gleichgewichtslagen oder stationäre Punkte. 8.2 Beispiele. (a) Sei c 2 R und v : R! R, v(x) =cx ein lineares Vektorfeld. Die Lösung von = v( ) auf G = R zum Anfangswert x > für c 6= ist nach Proposition 8.8 für x> gegeben durch Auflösen von t = Z ds = x cu du = c (ln ln x )= c ln x nach, also ln x = ct ) (t) =x e ct 8 t 2 R. Diese Formel liefert auch für x apple einelösung und somit ist zu jedem Anfangswert x 2 R die Funktion : R! R, t 7! (t) =e ct x eine globale Lösung. (b) Sei v : R! R, v(x) =+x 2 quadratisch in x. DieLösungskurve t! x =erhält man durch Auflösen von nach, also t = Z ds = du = arctan( ) +u2 (t) = tan(t). Somit ist das Existenzintervall der Lösung I() = ( Zeit nach Unendlich. (t) zum Anfangswert 2, 2 )undt7! (t) läuft in endlicher (c) Sei v : R! R gegeben durch v(x) = p x. Dann erreichen die Lösungen zu Startwerten x() < in endlicher Zeit die Ruhelage x =. Dort können Sie beliebig lange verweilen und dann nach rechts wieder aus der Ruhelage herauslaufen. Die Lösungen sind also nicht eindeutig. (vgl. Übungen). 8.3 Definition. Lipschitz-Stetigkeit Sei G R n o en und v : G! R n ein Vektorfeld. (a) Es heißt v Lipschitz-stetig, wenneseinl gibt, so dass für alle x, y 2 G gilt kv(x) v(y)k apple Lkx yk. Es heißt dann L eine Lipschitz-Konstante für v. (b) Es heißt v lokal-lipschitz-stetig, wennjedesx 2 G eine o ene Umgebung U G besitzt, so dass v U Lipschitz-stetig ist. 65

6 8 Gewöhnliche Di erentialgleichungen 8.4 Bemerkung. Di erenzierbar ) lokal Lipschitz Sei v : G! R n ein stetig di erenzierbares Vektorfeld auf einem Gebiet G R n. Dann ist v lokal Lipschitz-stetig. Beweis. Übungsaufgabe (Schrankensatz). 8.5 Proposition. Sei G R n ein Gebiet und v : G! R n ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld. Für jedes Kompaktum K G ist v K Lipschitz-stetig. Beweis. Übungsaufgabe (Kontraposition). 8.6 Theorem. Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf Sei G R n ein Gebiet, v : G! R n ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld und x 2 G. Dann existiert ein > und eine stetig di erenzierbare Kurve :(, )! G, die Lösung von = v( ) zum Anfangswert x ist, also = v und () = x (8.8) erfüllt. Ist I R ein Intervall mit 2 I und : I! G ebenfalls Lösung von (8.8), so gilt (t) = (t) für alle t 2 (, ) \ I. Beweis. Die Grundidee des Beweises ist die Folgende: Erfüllt :(, )! G die Gleichungen (8.8), so folgt durch Integration und den Hauptsatz (t) () = {z} = x (s)ds = v( (s)) ds, also (t) =x + v( (s)) ds. (8.9) Jede Lösung von (8.8) ist also Fixpunkt der Abbildung, die jeder Funktion ' die Funktion ['] zuordnet, gegeben durch ['](t) =x + v('(s)) ds. Ist umgekehrt Fixpunkt von und stetig, so liefert Di erentiation von (8.9), dass (8.8) erfüllt. Man muss nun lediglich den Funktionenraum auf dem operiert so definieren, dass er ein Banachraum stetiger Funktionen ist und eine Kontraktion darauf. Dann liefert der Banachsche Fixpunktsatz das Resultat. Nun zu den Details. Weil G o en ist, existiert ein r >, so dass K = B r (x ) G ist. Da K kompakt und v K : K! R n stetig ist, existiert ein M > so, dass für alle x 2 K gilt kv(x)k applem. Nach Proposition 8.5 existiert auch ein L>, sodass v K Lipschitz-stetig ist mit Lipschitz-Konstante L. Setze nun := min { L, r M } und sei < < beliebig. Wir betrachten den Vektorraum X = {' :[, ]! R n ' ist stetig} = C([, ], R n ) mit der Supremumsnorm k'k =sup t2[, ] k'(t)k. 66

7 Es ist dann (X, k k ) ein Banachraum und der Teilraum A = {' 2 X '() = x und '([, ]) K} X ist abgeschlossen. Für ' 2 A sei nun ['] :[, ]! R n gegeben durch ['](t) :=x + v('(s)) ds. Es ist dann ['] wiederina, denn ['] ist stetig (sogar stetig di erenzierbar), [']() = x und ['](t) 2 K für alle t 2 [, ]. Letzteres folgt aus k ['](t) x k = v('(s)) ds apple k v('(s) ) k ds apple {z} M< r M M = r. 2K {z } applem Damit ist eine Abbildung von A nach A, : A! A. Schließlich ist eine Kontraktion mit Kontraktionskonstante < <, := L.Dennfür alle ', 2 A gilt k ['] [ ]k = sup v('(s)) v( (s)) ds apple sup v('(s)) v( (s)) ds t apple t apple apple sup t apple Z Lk'(s) (s)k ds apple L k' k = k' k mit = L<, weil < L ist. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz existiert also genau ein ' 2 A mit ['] ='. Setze nun :(, )! G, (t) ='(t), wobei für t 2 (, )erstein t < < gewählt sei und ' dann der eindeutige Fixpunkt von = sei. Da jeder Fixpunkt von auch Fixpunkt von mit apple ist, hängt diese Definition nicht von der Wahl von ab. Es folgt, dass stetig ist und für alle t 2 (, ) gilt: Also ist sogar stetig di erenzierbar mit d.h. ist Lösung von (8.8). (t) =x + v( (s))ds. (t) =v( (t)) und () = x, Die Eindeutigkeitsaussage folgt nun leicht: Es löst die Gleichung (8.8) also auch (8.9). Daher lösen sowohl (, )\I als auch (, )\I Gleichung (8.9). Nun ist aber auch auf à := {' 2 C([, ] \ I,G) '() = x und '([, ] \ I) K} eine Kontraktion und somit ihr Fixpunkt eindeutig, also (, )\I = (, )\I. 8.7 Bemerkung. (a) Man beachte, dass der Existenzsatz nur die Existenz einer Lösung von = v( ), () = x für kurze Zeiten liefert, :(, )! G. Man spricht daher von lokaler- bzw. Kurzzeitexistenz. (b) Der Beweis gibt auch eine untere Schranke für die Lebensdauer der Lösung (x )=min L(x ), r(x ), M(x ), nämlich wobei r(x ) so ist, dass K = B r (x ) G ist und M(x ) > eine Schranke für die Geschwindigkeit kvk auf K und L(x ) > eine Lipschitzkonstante (z.b. eine Schranke auf kdvk, falls v stetig di erenzierbar ist) auf K ist. 67

8 8 Gewöhnliche Di erentialgleichungen 8.8 Definition. Maximale Lösung Sei G R n ein Gebiet und v : G! R n ein stetiges Vektorfeld. Eine Lösung : I! G, I R ein o enes Intervall, von = v( ) auf G heißt maximal, wenn gilt: Ist Ĩ R ein Intervall mit Ĩ I und : Ĩ! G eine Lösung von = v( )mit I =, so gilt bereits Ĩ = I und somit =. Man sagt auch, eine maximale Lösung kann nicht fortgesetzt werden. 8.9 Proposition. Sei G R n ein Gebiet und v : G! R n ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld. Seien I,J 2 R o ene Intervalle mit 2 I \ J und : I! G und : J! G Lösungen der Di erentialgleichung = v( ) mit Anfangswert () = () = x 2 G. Dann gilt für alle t 2 I \ J, dass (t) = (t). Beweis. Sei A = {t 2 I \ J (t) = (t)}. Wir zeigen, dass A = I \ J ist. Sei dazu I =(t,t + ) und J =(s,s + ) und o.b.d.a. t + apple s + und t := sup{ 2 (,t + ) (t) = (t) 8 apple t< }. Nach dem Eindeutigkeitssatz existiert ein x >, sodass (t) = (t) für alle apple t < x. Also ist < x apple t apple t +. Angenommen t <t +. Die Stetigkeit von und liefert dann (t )= (t )=: x. Wiederum nach Picard-Lindelöf existiert dann aber ein x > so, dass (t) = (t) für alle t 2 (t x,t + x ), was im Widerspruch zur Definition vor t steht. Also ist t = t + und mit einem analogen Argument für die andere Intervallgrenze ergibt sich A = I \ J. 8.2 Satz. Existenz und Eindeutigkeit der maximalen Lösung Sei G R n ein Gebiet und v : G! R n ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld. Dann existiert zu jedem x 2 G genau eine maximale Lösung : I! G von = v( )mit () = x. Beweis. Ist : J! G eine Lösung von = v( )mit () = x und 2 J, so notieren wir diese mit (,J). Sei nun [ I := J R (,J) istlösung Dann ist I R ein o enes Intervall. Ist t 2 I beliebig, so wählen wir eine Lösung (,J) mit t 2 J und setzen (t) := (t). Wegen Proposition 8.9 ist dies unabhängig von der Wahl (,J). Es ist dann die so definierte Funktion : I! G eine Lösung von = v( )mit () = x. Nach Konstruktion ist x maximal und zwar die einzige maximale Lösung. 8.2 Bemerkung. (a) Wir schreiben für das Definitionsintervall I der maximalen Lösung von = v( ), () = x, I(x )=(t (x ),t + (x )), wobei t (x ) 2 [ (b) Wir setzen nun weiter, ] bzw. t + (x ) 2 [, ] die linke bzw. rechte Intervallgrenze bezeichnet. :={(t, x) 2 R G t 2 I(x)} und ' :! G, (t, x) 7! '(t, x) := (t), wobei I(x)! G, t 7! (t) die maximale Lösung von = v( ) zum Anfangswert x 2 G ist. Man nennt die Abbildung ' :! G den Fluss oder dieflussabbildung zum Vektorfeld v. Für festes t bildet ' t : t! G, x7! ' t (x) :='(t, x) also die Menge aller Anfangsdaten t := {x 2 G (t, x) 2 } deren maximales Existenzintervall t enthält auf die jeweilige Lösung zum Zeitpunkt t ab. 68

9 (c) Man kann nun zeigen, dass o en ist und ' :! G stetig ist. Man spricht von stetiger Abhängigkeit von den Anfangsdaten. Falls v : G! R n stetig di erenzierbar ist, so ist auch ' :! G stetig di erenzierbar. Wie schon gesagt, ist es im Allgemeinen nicht möglich, die Lösungen einer Di erentialgleichung explizit zu bestimmen. Meistens weiss man nicht einmal, ob bei gegebenem v : G! R n und x 2 G das Ende t + (x) 2 (, ] des Existenzintervalls endlich oder unendlich ist. Der folgende Satz besagt aber immerhin, dass die Bahnkurve t 7! (t) eines Anfangspunktes x 2 G mit t + (x) < jedes Kompaktum K in G verlassen muss, wenn t! t + (x) geht, d.h. (t) strebtfür t! t + (x) zum Rand von G oder nach Unendlich. Anders gesagt, t 7! (t) kann sich in endlicher Zeit nicht einfach in Luft auflösen Satz. Verhalten für t! t + (x) Sei G R n ein Gebiet, v : G! R n ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld und :(t (x),t + (x))! G die maximale Lösung von = v( ) zum Anfangswert x 2 G. Falls t + (x) <, so gibt es zu jedem Kompaktum K G ein < K <t + (x), sodass für alle t 2 ( K,t + (x)) gilt, dass (t) 62 K. Beweis. Da K kompakt ist, gibt es ein %>, so dass B % (x) G für alle x 2 K gilt. Denn die Distanzfunktion zum Rand von G, dist:r n! [, ), G) :=inf{kx yk y ist stetig und nimmt auf K ihr Minimum % an. Es ist %>, denn sonst wäre K 6= ;, also K 6 G. Seienweiterkv(x)k applem für x 2 B %/2 (K) undl eine Lipschitzkonstante für v auf B %/2 (K). Dann gilt für t 2 (,t + (x)) mit (t) 2 K, dass t + (x) =t + ( (t)) + t + t mit := min { L, 2M }. Für alle t 2 (,t +(x)) mit := t + (x) muss also (t) 62 K gelten Bemerkung. (a) Eine entsprechende Aussage gilt natürlich, wenn t (x) > ist. (b) Bleibt eine Lösungskurve t 7! (t) in einem Kompaktum, z.b. wenn lim t!t+ x(t) =p für ein p 2 G ist, so muss also t + (x) = sein. In diesem Fall muss dann p eine Gleichgewichtslage sein. 69

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