Differenzialgleichungen

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1 Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 30. Januar 2008

2 (System von) Differenzialgleichung(en) Schwingungsgleichung Newtonsche Mechanik Populationsdynamik...DGLn höherer Ordnung auf Systeme 1. Ordung...auf autonome Gleichungen Satz von Picard und Lindelöf Folgerungen Michaelis-Menten-Kinetik

3 (System von) Differenzialgleichung(en) : Eine Differenzialgleichung (DGL) ist eine funktionale Beziehung zwischen einer Funktion x : R R d, t x(t), und ihren ersten k Ableitungen, d.h. d k ( x dt k (t) = f x(t), dx dt (t),..., dk 1 x dt k ) (t), t. ( ) Dabei heißt k die Ordnung der DGL, d die Dimension bzw. die Anzahl der Freiheitsgrade. ( ) heißt auch auch System von d gekoppelten Gleichungen (wenn man statt des Vektors x(t) R d die Komponenten x 1 (t),..., x d (t) R als abhängige Variablen auffaßt). Falls f nicht von t abhängt, so heißt die DGL autonom.

4 Schwingungsgleichung Newtonsche Mechanik Populationsdynamik Die Harmonische Schwingungsgleichung ( harmonischer Oszillator ) ẍ = ω 2 x ist autonom, in einem Freiheitsgrad und von zweiter Ordnung mit f(x, y, t) = ω 2 x und d = 1 und k = 2. Gilt u.a. für elastische Materialien, die nur in einer Richtung schwingen können (z.b. Federpendel) und für Fadenpendel bei kleiner Auslenkung. Allgemeine Lösung: x(t) = c sin(ωt + ϕ), mit c 0 und ϕ [0, 2π) beliebig (vgl. ÜA 58).

5 Schwingungsgleichung Newtonsche Mechanik Populationsdynamik Newtonsche Mechanik: Welt besteht aus n Teilchen besteht (vielleicht n = ), die sich im R 3 bewegen entlang von Bahnen r i (t) mit m i d 2 r i dt 2 und den Parametern = ( γµ i µ j q ) iq j rj r i 4πε 0 r j r i 3 j i µ i = schwere Masse, m i = träge Masse (empirisch µ i = m i ), γ = Newtonsche Gravitationskonstante, q i = elektrische Ladung, ε 0 = Dielektrizität des Vakuums. Merkregel: Kraft = Masse mal Beschleunigung. DGL: autonom, k = 2 und d = 3n.

6 Schwingungsgleichung Newtonsche Mechanik Populationsdynamik Population habe konstante Wachstumsrate mit g = Geburtenrate, s = (natürliche) Sterberate. w = g s Einfachstes Modell für Populationsgröße N(t) ist Ṅ = wn. autonome DGL erster Ordnung (k = 1) in einem Freiheitsgrad (d = 1) Allgemeinen Lösung (exponentielles Wachstum): N(t) = N 0 e wt.

7 Schwingungsgleichung Newtonsche Mechanik Populationsdynamik Entnimmt der Mensch (durch Ernten, Jagen, Fischen) die Menge E(t) dt im Zeitintervall [t, t + dt], so lautet die DGL Ṅ = wn E. Diese Gleichung ist nicht autonom, f(n, t) = wn E(t). Typische Fragestellungen: Funktion t E(t) explizit bekannt, z.b. E(t) = c sin(ωt): Bestimme Lösung N(t) (analytisch oder numerisch). Oft stellt man aber auch die Frage, wie man E wählen sollte, um ein bestimmtes Verhalten von N zu erhalten (z.b. keine dramatische Schrumpfung).

8 ...DGLn höherer Ordnung auf Systeme 1. Ordung...auf autonome Gleichungen Jede DGL ist äquivalent zu einer DGL erster Ordnung, indem man für die Ableitungen von x neue Variablen einführt. : Aus dem harmonischen Oszillator (k = 2, d = 1) machen wir ẋ = v, v = ω 2 x. DGL (System) erster Ordnung in 2 Freiheitsgraden (k = 1, d = 2) kd ändert sich nicht.

9 ...DGLn höherer Ordnung auf Systeme 1. Ordung...auf autonome Gleichungen Allgemein wird aus DGL der Ordnung k in d Freiheitsgraden eine DGL erster Ordnung in kd Freiheitsgraden: ẋ = y 1, ẏ 1 = y 2,..., ẏ k 1 = f(x, y 1,..., y k 1, t), wobei y i (t) R d. Der Raum R kd mit den Achsen x, y 1,..., y k 1 heißt Phasenraum. : (i) Harmonischen Oszillator Phasenraum: 2-dimensional Achsen: x und v (Ort und Geschwindigkeit) Allgemeine Lösung: Ellipsen x(t) = c sin(ωt + ϕ), v(t) = ωc cos(ωt + ϕ), (ii) Newtonsche Mechanik: Phasenraum 6n-dimensional.

10 ...DGLn höherer Ordnung auf Systeme 1. Ordung...auf autonome Gleichungen Reduktion auf autonome Gleichungen. Jede DGL (erster Ordnung) ist äquivalent zu einer autonomen DGL, indem man eine weitere Variable x d+1 (die Zeit) einführt und die zusätzliche Gleichung ẋ d+1 = 1, d.h. aus ẋ 1 = f 1 (x 1,..., x d, t). ẋ d = f d (x 1,..., x d, t) wird ẋ 1 = f 1 (x 1,..., x d, x d+1 ). ẋ d = f d (x 1,..., x d, x d+1 ) ẋ d+1 = 1.

11 Satz von Picard und Lindelöf Folgerungen Satz von Picard und Lindelöf (1890): Sei D R d und f ein Vektorfeld auf D, f : D R d. Wir betrachten die autonome DGL erster Ordnung als Anfangswertproblem dx dt = f(x), x(t 0) = x 0. ( ) Unter technischen Bedingungen an D und f (D eine offene Menge, f ist dehnungs-beschränkt (Lipschitz-Bedingung)) gilt: Für jedes x 0 D existiert genau eine Lösungsfunktion t x(t) von ( ). Sie ist definiert auf einem Intervall (T Anfang, T Ende ), das t 0 enthält, wobei T Anfang = und/oder T Ende = sein kann, aber nicht sein muss.

12 Folgerungen: Satz von Picard und Lindelöf Folgerungen Zwei Lösungskurven können sich nie schneiden (im Phasenraum), denn ġ = f(g) und ḣ = f(h) und g(t 0 ) = h(t 0 ) g(t) = h(t) für alle t. Bei einer DGL der Ordnung k in d Freiheitsgraden kann man kd Anfangswerte wählen (z.b. 6n in der Newtonschen Mechanik). Eine Lösung kann nach endlicher Zeit aufhören zu existieren, indem x(t) den Rand des sbereiches D erreicht. : x reell und positiv: D = [0, ). Sinkt x(t) auf Null, so kann es nicht mehr weiter sinken. sie in endlicher Zeit ins Unendliche wächst (Singularität).

13 Michaelis-Menten-Kinetik Michaelis-Menten-Kinetik (1913): Reaktion unter Einfluss eines Enzyms, S + E k 1 SE, SE k 2 P + E. k 1 S Substrat E Enzym SE Komplex P Produkt k 1, k 1 und k 2 Ratenkonstanten (Parameter); legen Reaktionsraten (Reaktionsgeschwindigkeiten) fest. Massenwirkungsgesetz: Reaktionsrate ist proportional ist zum Produkt der Konzentrationen der Reaktanten, s = [S], e = [E], c = [SE], p = [P ].

14 Michaelis-Menten-Kinetik Massenwirkungsgesetz liefert DGL-System: ds dt = k 1es + k 1 c, de dt = k 1es + (k 1 + k 2 )c dc dt = k 1es (k 1 + k 2 )c, Anfangsbedingungen: dp dt = k 2c. s(0) = s 0, e(0) = e 0, c(0) = 0, p(0) = 0. Die Lösung dieses Anfangswertproblems liefert uns die Konzentrationen als Funktion der Zeit.

15 Michaelis-Menten-Kinetik Vereinfachungen: Die letzte Gleichung ist entkoppelt (p taucht nur dort auf) t p(t) = k 2 c(u) du 0 p ist allein durch c bestimmt Enzym E ist Katalysator: Gesamtkonzentration (frei plus kombiniert) ist konstant, de dt + dc dt = 0 e(t) + c(t) = e 0. Erhaltungssatz (vgl. z.b. Energie-Erhaltungssatz in der Physik). Folgt aus DGL-System, indem man die zweite und die dritte Gleichung addiert.

16 Michaelis-Menten-Kinetik Wir erhalten somit das vereinfachte DGL-System ds dt = k 1e 0 s + (k 1 s + k 1 )c, dc dt = k 1e 0 s (k 1 s + k 1 + k 2 )c mit Anfangsbedingungen s(0) = s 0, c(0) = 0. Nicht analytisch lösbar, aber qualitatives Verhalten ablesbar: Bei t = 0 fällt s, während c steigt, von 0 beginnend solange c noch klein ist, muss s weiter fallen und c weiter steigen c steigt so lange bis dc dt = 0, d.h. c = k 1 e 0 s k 1 s+k 1 +k 2 ; an dieser Stelle gilt ds dt = k 2c, also fällt s immer noch.