Skript zur Vorlesung Analysis 3

Transkript

1 Skript zur Vorlesung Analysis 3 Herbstsemester 204 Prof. Benjamin Schlein Inhaltsverzeichnis Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Differentialgleichungen erster Ordnung, elementare Lösungsmethoden Existenz und Eindeutigkeit

2 Gewöhnliche Differentialgleichungen Differentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Unbekannten Funktionen sind. Die Differentialgleichung definiert eine Beziehung zwischen den gesuchten Funktionen und ihren Ableitungen. Gewöhnliche Differentialgleichugen (auf Englisch ordinary differential equations oder einfach ODEs) sind Differentialgleichungen, wo die unbekannten Funktionen einer einzelnen reellen Variablen sind. Bei partiellen Differentialgleichungen sind dagegen die unbekannten Funktionen von mehreren Variablen. Hier werden wir nur gewöhnliche Differentialgleichungen betrachten (partielle Differentialgleichungen werden erst im vierten Semester untersucht). Differentialgleichungen haben sehr viele Anwendungen. Die ganze Physik wird z.b. durch Differentialgleichungen formuliert: Die Newtonsche Gleichung der klassischen Mechanik, die Maxwell Gleichungen der Elektrodynamik, die Schrödingergleichung der Quantenmechanik, die Einsteingleichung der allgemeinen Relativitätstheorie sind alle Beispiele von Differentialgleichungen. Dabei ist nur die Newtonsche Gleichung eine gewöhnliche Differentialgleichung, die anderen sind partielle Differentialgleichungen. Die Newtonsche Gleichung beschreibt die Bewegung von Teilchen und Körpern unter der Wirkung von Kräften. Seien x(t) = (x (t), x 2 (t), x 3 (t)) R 3 die Koordinaten eines Teilchens mit Masse m zur Zeit t. Sei F (x) = (F (x), F 2 (x), F 3 (x)) ein Kraftfeld. D.h. F (x) ist die Kraft, die im Punkt x auf das Teilchen wirkt. Dann besagt die Newtonsche Gleichung, dass die Beschleunigung des Teilchens, die aus der zweiten Ableitung x (t) gegeben ist, proportional zur wirkenden Kraft ist. Genauer, mx (t) = F (x(t)) () Die Ableitung der vektorwertigen Funktion x(t) ist komponentenweise zu verstehen; d.h. x (t) = (x (t), x 2 (t), x 3 (t)). Um die Trajektorie der Teilchen zu bestimmen, muss man also eine Funktion x(t) finden, so dass, für alle t, () erfüllt ist. Z.B., die Erde bewegt sich unter der Wirkung des Gravitationsfelds der Sonne. In einem Koordinatensystem, wo die Sonne an der Stelle x = 0 liegt, ist die Gravitationkraft, die die Sonne auf einem Körper der Masse m ausübt aus F (x) = Gm x x 3 gegeben, für eine geeignete Konstante G. Bezeichnet also x(t) die Position der Erde zur Zeit t, so muss x(t) die Gleichung mx (t) = Gm x x 3 x (t) = G x x 3 (2) erfüllen. Diese Differentialgleichung hat mehrere Lösungen. Die Lösung kann eindeutig festgestellt werden, falls man geeignete Anfangsbedingungen spezifiziert. Schon Kepler hat herausgefunden, dass Lösungen von (2) immer auf einer Ebene bleiben und Ellypsen, Hyperbeln oder Parabeln beschreiben (für die Erde ist die Lösung eine Ellypse). Gewöhnliche Differentialgleichungen werden nach ihrer Ordnung klassifiziert; die Ordnung der Differentialgleichung ist die Ordnung der höchsten Ableitung in der Gleichung. Eine Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Differentialgleichung der Form 2

3 y (x) = f(x, y(x)) für die n unbekannten Funktionen y(x) = (y (x),..., y n (x)) einer reellen Variable x R. Eine Differentialgleichung m-ter Ordnung hat die Form y (m) (x) = f(x, y(x), y (x),..., y (m ) (x)). Die Lösung einer Differentialgleichung ist normalerweise nicht eindeutig. Sie wird aber oft eindeutig durch Spezifizierung von geeigneten Anfangsbedingungen. Z.B. eine Gleichung erster Ordnung für die n unbekannten Funktionen y(x) = (y (x),..., y n (x)) wird oft eindeutig, falls wir die Bedingung y( ) = (y (0),..., y(0) n ) für ein R und für einen Vektor (y (0),..., y(0) n ) R n verlangen. Gleichungen höherer Ordnung brauchen natürlich mehr Anfangsbedingungen. Eine Gleichung m-ter Ordnung wird oft eindeutig, falls wir Anfangsbedingungen für y, y,..., y (m ) verlangen. Eine Differentialgleichung mit Anfangsbedingungen wird als ein Anfangswertproblem oder ein Cauchy-Problem bezeichnet. Bei der Untersuchung von gewöhnlichen Differentialgleichungen werden für uns die folgenden Fragen eine wichtige Rolle spielen: Existiert eine Lösung der Differentialgleichung? Ist die Lösung unter Berücksichtigung von geeigneten Anfangsbedingungen eindeutig (d.h. ist die Lösung des Anfangswertproblems eindeutig)? Ist es möglich die Lösung explizit zu finden? Welche Methoden können verwendet werden, um die Lösung einer Differentialgleichung zu finden? Wie hängt die Lösung von den Anfangsbedingungen ab (Stabilitätstheorie für Differentialgleichungen)? Wir werden sehen, es ist nur selten möglich die Lösung einer Differentialgleichung explizit zu schreiben. Dagegen können Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen unter allgemeinen Voraussetzungen gezeigt werden.. Differentialgleichungen erster Ordnung, elementare Lösungsmethoden Wir betrachten hier gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung. Definition.. Sei n, U R n+, f C(U; R n ). Dann ist y (x) = f(x, y(x)) (3) eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung. Eine Lösung dieser Differentialgleichung auf einem Intervall I R ist eine Funktion y C (I; R n ) so, dass (x, y(x)) U und (3) erfüllt für alle x I ist. Für R, y 0 R n mit (, y 0 ) U heisst { y (x) = f(x, y(x)) y( ) = y 0 (4) ein Anfangswertproblem oder ein Cauchy-Problem. Eine Lösung des Anfangswertproblems (4) ist eine Lösung der Differentialgleichung (3), die auch die Anfangsbedingung y( ) = y 0 erfüllt (insbesondere muss I sein). Ist n =, so heisst die Differentialgleichung skalar (die gesuchte Funktion hat Werten in R). Ist dagegen n >, so heisst die Differentialgleichung vektoriell (man spricht in diesem Fall von einem System von Diferentialgleichungen). Wir betrachten ein paar Beispiele von Differentialgleichungen, wo die Lösungen explizit berechnet werden können (der Einfachheit halber betrachten wir hier Beispiele von skalaren Gleichungen; wir werden einige Beispiele von vektoriellen Gleichungen später betrachten, wenn wir lineare Differentialgleichungen untersuchen werden). 3

4 Beispiele: Sei n =, I R ein offenes Intervall, U = I R, und f(x, y) = g(x) (unabhängig von y), für ein g C(I). Wir betrachten die Differentialgleichung ϕ (x) = g(x) Sei G C (I) eine Stammfunktion von g, mit G = g. Dann ist G eine Lösung der Differentialgleichung. Sei ϕ eine andere Lösung der Differentialgleichung. Dann gilt (ϕ G) (x) = 0 für alle x I. Das zeigt, dass jede Lösung die Form ϕ(x) = G(x)+c hat, für eine Konstante c R. Betrachten wir nun das Anfangswertproblem { ϕ (x) = g(x) ϕ( ) = y 0 für ein I und ein y 0 R. Die Lösung des Anfangswertproblems ist insbesondere die Lösung der Differentialgleichung und hat deswegen die Form Die Bedingung ϕ(x) = G(x) + c y 0 = ϕ( ) = G( ) + c c = y 0 G( ) bestimmt die Konstante c eindeutig. Die einzige Lösung des Anfangswertproblems ist aus ϕ(x) = G(x) G( ) + y 0 gegeben. Bemerke, dass die eindeutige Lösung auch als geschrieben werden kann. ϕ(x) = y 0 + g(t)dt Sei wieder n =, U = R 2, und f(x, y) = y. Die Differentialgleichung (3) nimmt dann die Form ϕ (x) = ϕ(x) (5) Die Funktion ϕ(x) = ce x erfüllt diese Differentialgleichung auf R, für beliebige c R. Wir behaupten jede Lösung auf R hat diese Form. Sei in der Tat ϕ eine Lösung von (5) auf R. Dann gilt d dx (ex ϕ(x)) = e x (ϕ(x) + ϕ (x)) = 0 für alle x R. Es existiert also eine Konstante c R mit e x ϕ(x) = c für alle x R, d.h. mit ϕ(x) = ce x für alle x R. Betrachten wir nun das Anfangswertproblem { ϕ (x) = ϕ(x) ϕ( ) = y 0 für, y 0 R. Die Lösung des Anfangswertproblem hat die Form y(x) = ce x. Die Anfangsbedingung y( ) = y 0 bestimmt die Konstante c R durch y 0 = y( ) = ce c = y 0 e Die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems ist also y(x) = y 0 exp( (x )). 4

5 Wir betrachten das Anfangswertproblem { ϕ (x) = a(ϕ(x) bϕ 2 (x)) ϕ(0) = y 0 (6) für a, b, y 0 > 0. Die Differentialgleichung in (6) heisst die logistische Gleichung oder die Differentialgleichung des beschränkten exponentiellen Wachstums, und hat z.b. Anwendungen in der Biologie (die Lösung beschreibt das Wachstum einer idealen Bakterienpopulation). Um die Gleichung zu lösen bemerken wir, dass ϕ(x) bϕ 2 (x) ϕ (x) = a Integration über x gibt ϕ(t) bϕ 2 (t) ϕ (t)dt = a Wir substituieren y = ϕ(t) und bekommen 0 ϕ(x) ϕ(0) 0 dy = ax y by2 dt = ax Aus y by 2 = y( by) = y + b by finden wir log ϕ(x)( by 0) y 0 ( bϕ(x)) = ax Nach leichter algebraischer Manipulationen bekommen wir die eindeutige Lösung des Anfangswertsproblems ϕ(x) = y 0 e ax + by 0 (e ax ) Im letzten Beispiel haben wir die Methode der Trennung der Variablen benutzt. Wir zeigen im nächsten Satz, dass diese Methode immer angewandt werden kann, falls die Funktion f(x, y) auf der rechten Seite von (3) das Produkt einer Funktion von x mit einer Funktion von y ist. Satz.2. Seien I, J R offene Intervalle, g C(I), h C(J), mit 0 h(j). Sei (, y 0 ) I J. Seien G(x) = g(t)dt, und H(y) = y y 0 h(t) dt Weiter, sei I I ein offenes Intervall mit G(I ) H(J) und I. Dann existiert genau eine Lösung ϕ C (I ) des Anfangswertproblems { ϕ (x) = g(x)h(ϕ(x)) ϕ( ) = y 0 (7) Ferner ist ϕ : I J die einzige Funktion mit H(ϕ(x)) = G(x) für alle x I. (8) 5

6 Bemerkung: Die Aussage impliziert, dass Differentialgleichungen der Form (7) durch Trennung der Variablen gelöst werden können. Das bedeutet, dass (7) zunächst als h(ϕ(x)) ϕ (x) = g(x) umgeschrieben werden kann. Integration über x ergibt dann und damit und h(ϕ(t)) ϕ (t)dt = ϕ(x) ϕ( ) g(t)dt x h(y) dy = g(t)dt H(ϕ(x)) = G(x) Die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems kann dann durch Umkehrung der Funktion H bestimmt werden. Beweis: Da H C (J) mit H (y) = /h(y) 0 für alle y J ist H injektiv. Damit ist H : J H(J) bijektiv und also invertierbar. Sei T : H(J) J die Umkehrfunktion. Dann ist T C (H(J)) mit T (z) = /H (T (z)) = h(t (z)), für alle z H(J). Die Gleichung (8) definiert eindeutig eine Funktion ϕ = T G C (I ). Diese Funktion erfüllt ϕ (x) = h(t G(x))G (x) = h(ϕ(x))g(x) und ϕ( ) = T G( ) = T (0) = y 0. D.h. ϕ ist eine Lösung des Anfangswertsproblems. Das zeigt die Existenz der Lösung. Es bleibt die Eindeutigkeit zu zeigen. Sei dazu ϕ C (I ) eine andere Lösung des Anfangswertproblems. Es folgt, dass ϕ(i ) J. Sei ψ = H ϕ G. Dann gilt ψ = (H ϕ) ϕ G = h ϕ ϕ g = 0 auf I, Damit muss ψ konstant auf I sein. Da aber ψ( ) = H( ϕ( )) G( ) = 0, muss ψ(x) = 0 für alle x I. D.h. H ϕ = G auf I, und deswegen, ϕ = ϕ. Das zeigt die Eindeutigkeit der Lösung..2 Existenz und Eindeutigkeit In diesem Abschnitt möchten wir zeigen, dass unter geeigneten Voraussetzungen an der Funktion f, das Anfangswertproblem (4) eine eindeutige Lösung besitzt. Dazu werden wir den Banachschen Fixpunktsatz anwenden. Erinnere aus Analysis, dass ein metrischer Raum vollständig heisst, wenn jede Cauchy-Folge in M konvergiert. Wir haben in Analysis gezeigt, dass R n, versehen mit der Standardmetrik vollständig für alle n N ist. Satz.3 (Banachscher Fixpunktsatz). Sei M, versehen mit der Metrik d, ein vollständiger metrischer Raum. T : M M eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass es eine Konstante 0 < c < existiert, mit d(t (x ), T (x 2 )) c d(x, x 2 ) 6

7 für alle x, x 2 M (eine solche Abbildung heisst eine Kontraktion; Kontraktionen sind insbesondere stetig). Dann gibt es genau ein x M mit T (x) = x (ein solches x heisst ein Fixpunkt der Abbildung T ; der Satz besagt, dass jede Kontraktion auf einem vollständigen metrischen Raum genau einen Fixpunkt besitzt). Beweis: Wir zeigen zunächst die Eindeutigkeit. Nehme an, dass x, x 2 zwei Fixpunkte der Abbildung T sind. Dann gilt d(x, x 2 ) = d(t (x ), T (x 2 )) c d(x, x 2 ) Da aber c < ist diese Ungleichung nur möglich, falls d(x, x 2 ) = 0. Also x = x 2. Nun zeigen wir die Existenz eines Fixpunktes. Sei M beliebig. Dann definieren wir rekursiv eine Folge x n in M durch x = T ( ) und x n+ = T (x n ). Für n gilt dann d(x n+, x n ) = d(t (x n ), T (x n )) cd(x n, x n ) c n d(x, ) Es folgt, dass, für beliebige n > m, d(x n, x m ) d(x n, x n ) + d(x n, x n 2 ) + + d(x m+, x m ) n = d(x j, x j ) j=m+ d(x, ) d(x, ) n j=m+ j=m+ c j c j = d(x, ) c m+ 0 c für m. D.h. x n ist eine Cauchy-Folge auf M. Da M vollständig ist, muss x n konvergieren. Sei x = lim n x n. Da aber T stetig ist, muss Also, x ist ein Fixpunkt von T. T (x) = lim n T (x n) = lim n x n+ = x Bemerkung: Der Beweis besagt, dass für jede M, die Folge T T T ( ) gegen dem Fixpunkt konvergiert. In praktischen Situationen, ergibt dies ein Verfahren, um den Fixpunkt von T zu approximieren. Um die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung von Anfangswertprobleme zu beweisen, werden wir den Banach schen Fixpunktsatz auf dem Raum C(I, R n ) = {f : I R n stetig } anwenden. Hier ist I R ein kompaktes Intervall. Dieser Raum ist mit der Metrik d(f, g) = sup f(x) g(x) x I versehen. Wir haben in Analysis gezeigt, dass C(I, R n ) vollständig ist (siehe Proposition 6.25 und die Diskussion danach; bemerke, dass die Kompaktheit von I impliziert, wegen dem Satz von Maximum, dass jede stetige Funktion auf I auch beschränkt ist. Deswegen ist C(I; R n ) = C b (I; R n )). Das nächsten Lemma impliziert dann, dass jede abgeschlossene Teilmenge von C(I; R n ) vollständig ist. 7

8 Lemma.4. Sei M ein vollständiger metrischer Raum, und A M abgeschlossen. Dann ist A vollständig (bezüglich der von M induzierten Metrik). Beweis: Sei x n eine Cauchy-Folge in A. Dann ist x n auch eine Cauchy-Folge in M. Die Vollständigkeit von M impliziert, dass x n in M konvergent. Sei x M der Grenzwert von x n, als Folge in M. Da A abgeschlossen ist und x n A für alle n ist, muss dann aber x A sein. Damit ist x n auch in A konvergent. Ein anderer Begriff spielt bei der Untersuchung der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von Anfangswertproblemen eine wichtige Rolle. Das ist der Begriff der Lipschitz-Stetigkeit. Definition.5. Seien (M, d ), (M 2, d 2 ) zwei metrische Räume, A M. Eine Funktion f : A M 2 heisst Lipschitz-stetig falls eine Konstante L > 0 existiert, mit für alle x, y A. Bemerkungen: d M2 (f(x), f(y)) Ld M (x, y) Jede Lipschitz-stetige Funktion ist gleichmässig stetig und damit auch stetig. Nicht alle gleichmässig stetigen Funktionen sind Lipschitz-stetig. Z.B. f(x) = x auf [0; ] ist gleichmässig stetig, aber nicht Lipschitz-stetig. Tatsache (Übung): Eine differenzierbare Funktion f : (a; b) R ist genau dann Lipschitz-stetig, falls die Ableitung beschränkt ist. Wir sind nun bereit, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von Anfangswertprobleme der Form (4) zu zeigen. Wir bezeichnen im Folgenden mit. die euklidische Norm auf R n, die durch a 2 = n j= a j 2 für a = (a,..., a n ) R n definiert ist. Satz.6 (Picard-Lindelöf). Sei Ω R R n offen, (, y 0 ) Ω, f C(Ω; R n ) Lipschitzstetig in der zweiten Variablen. Das bedeutet, dass L > 0 mit f(x, y) f(x, y ) L y y für alle x R, y R n, y R n mit (x, y), (x, y ) Ω existiert. Dann gibt es ein ε > 0, so dass das Anfangswertproblem { ϕ (x) = f(x, ϕ(x)) ϕ( ) = y 0 (9) eine eindeutige Lösung ϕ C ([ ε; + ε]; R n ) besitzt. Bemerkung: Satz.6 zeigt nur die Existenz und Eindeutigkeit einer lokalen Lösung, in der Nähe vom Punkt, wo die Anfangsbedingung gegeben ist. Wir werden später sehen, unter welchen Bedingungen die Existenz und Eindeutigkeit einer globalen Lösung gezeigt werden kann. 8

9 Der Beweis benutzt die Tatsache, dass eine Funktion ϕ C([ ε; + ε], R n ) genau dann eine Lösung des Anfangswertproblem (9) ist, wenn ϕ(x) = y 0 + f(t, ϕ(t))dt (0) Aus (0) folgt in der Tat sofort, dass ϕ( ) = y 0 ist. Ferner, aus der Stetigkeit von ϕ und von f, und aus dem Hauptsatz der Integralrechnung folgt auch, dass ϕ C ([ ε; + ε]; R n ) mit ϕ (x) = f(x, ϕ(x)) gilt. Anderseits, falls ϕ C ([ ε; + ε], R n ) eine Lösung von (9) ist, dann folgt ϕ(x) = ϕ( ) + ϕ (t)dt = y 0 + f(t, ϕ(t))dt. Beweis: Sei δ > 0 so klein, dass K = [ δ; + δ] B δ (y 0 ) Ω. Da K R n+ kompakt und f stetig ist, folgt, dass M := sup{ f(x, y) : (x, y) K} < Wir wählen nun { 0 < ε min δ, δ 2L, und wir setzen I = [ ε; + ε]. Wir definieren } δ 2M () A = {g C(I; R n ) : g(x) y 0 δ für alle x I} A ist dann eine abgeschlossene Teilmenge von C(I; R n ), versehen mit der Metrik d(f, g) = sup x I f(x) g(x) (Beweis: Übung). Es folgt aus Lemma.4, dass A ein vollständiger metrischer Raum ist. Wir definieren nun die Abbildung T : A C(I; R n ) durch (T φ)(x) = y 0 + f(t, φ(t))dt. Offenbar ist T φ C(I; R n ), für alle φ A (d.h. die Abbildung ist wohldefiniert). Weiter gilt, für alle x I und alle φ A, (T φ)(x) y 0 = f(t, φ(t))dt ε sup{ f(t, φ(t)) : t I} ε sup{ f(x, y) : x I, y B δ (y 0 )} ε sup{ f(x, y) : (x, y) K} = εm δ/2 aus der Wahl (). Damit gilt T φ A, für alle φ A. Weiter, für φ, ψ A, finden wir d(t φ, T ψ) = sup x I ε sup t I (T φ)(x) (T ψ)(x) = sup x I (f(t, φ(t)) f(t, ψ(t))) dt f(t, φ(t)) f(t, ψ(t)) Lε sup φ(t) ψ(t) = εld(φ, ψ) d(φ, ψ) t I 2 Damit ist T : A A eine Kontraktion. Es folgt aus Satz.3, dass ϕ A mit T (ϕ) = ϕ. Da ϕ C(I; R n ) ist t f(t, ϕ(t)) stetig, und damit ϕ = T ϕ C ([ ε; + ε]; R n ) 9

10 existiert. Ferner gilt ϕ( ) = (T ϕ)( ) = y 0 und, aus dem Hauptsatz der Integralrechnung, ϕ (x) = f(x, ϕ(x)) Damit ist ϕ eine Lösung des Anfangswertproblems (9) auf I (wir haben hier das Argument unten (0) wiederholt). Das zeigt die Existenz einer Lösung. Wir zeigen nun die Eindeutigkeit. Sei dazu ψ C ([ ε; + ε]; R n ) eine andere Lösung von (9). Ist ψ A, so muss T ψ = ψ, weil ψ eine Lösung von (9) ist. Dann muss aber ψ = ϕ, weil ϕ der einzelne Fixpunkt von T ist. Ist ψ A, dann muss es ein x I geben, mit ψ(x) y 0 > δ. O.B.d.A. nehmen wir an, es existiert x I, x > mit ψ(x) y 0 > δ. Wir setzen dann x = inf{x I, x > : ψ(x) y 0 > δ} Aus Stetigkeit von ψ muss dann ψ(x ) y 0 = δ sein. Also δ = ψ(x ) y 0 = f(t, ψ(t))dt ε sup{ f(x, y) : (x, y) K} δ/2 was ein Widerspruch ist. Bemerkungen: Die Lipschitz-Bedingung ist tatsächlich für die Existenz der Lösung nicht notwendig (Stetigkeit von f ist für die Existenz hinreichend). Dagegen ist die Lipschitz- Bedingung für die Eindeutigkeit der Lösung wichtig. Betrachte in der Tat das Anfangswertproblem { ϕ (x) = ϕ(x) ϕ(0) = 0 In diesem Fall ist f(x, y) = y stetig, aber nicht Lipschitz-stetig in der Nähe von y = 0. Für ein beliebiges a 0 ist dann die Funktion { 0 falls x < a ϕ(x) = 4 (x a)2 falls x a eine Lösung. Ferner ist auch ϕ(x) = 0 eine Lösung. Es existieren also unendlich viele Lösungen dieses Anfangswertproblems. Satz.6 besagt die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung auf einem genügend kleinen Intervall um. Im Allgemeinen existieren keine globalen Lösungen. Betrachte in der Tat das Anfangswertproblem { ϕ (x) = 2xϕ 2 (x) (2) ϕ(0) = Durch Trennung der Variablen finden wir die eindeutige Lösung ϕ(x) = x 2 auf dem Intervall ( ; ). Auf dem Intervall [a; b] existiert also keine Lösung, falls a oder b (insbesondere existiert keine Lösung auf R. 0

11 Aus der letzten Bemerkung stellt sich die Frage, ob es möglich ist, unter stärkeren Annahmen an f, die Existenz und Eindeutigkeit einer globalen Lösung zu zeigen. Die Antwort ist ja: Eine Lösung auf einem vorgegebenen Intervall [a; b] existiert immer (und ist eindeutig), falls die Funktion f(x, y) in der Variablen y auf ganz R n die Lipschitz- Bedingung erfüllt (die Funktion f(x, y) = xy 2, die in (2) vorkommt, ist nur für y in einem kompakten Intervall Lipschitz-stetig). Das ist der Inhalt des nächsten Satzes. Satz.7 (Picard-Lindelöf, globale Version). Sei I = [a; b] R ein nicht-leeres kompaktes Intervall, I, f C(I R n, R n ) Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen. D.h. es existiere L > 0 mit f(x, y) f(x, y ) L y y für alle x I, y, y R n. Dann hat für jede y 0 R n das Anfangswertproblem { ϕ (x) = f(x, ϕ(x)) ϕ( ) = y 0 (3) eine eindeutige Lösung ϕ C (I; R n ). Bemerkung: Satz.7 kann auch benutzt werden, um die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen auf R zu zeigen. In der Tat eine Lösung auf R existiert und genau dann eindeutig ist, wenn sie auf dem Intervall [ m; m] existiert und ist eindeutig, für alle m N. Beweis: Für ϕ C(I; R n ), definieren wir ϕ L = sup e 2L x x0 ϕ(x) x [a;b] Es ist einfach zu überprüfen, dass. L eine Norm ist. Ferner, es gilt e 2L(b a) ϕ ϕ L ϕ (4) wobei ϕ = sup x [a;b] ϕ(x). Sei ϕ n eine Folge in C(I; R n ). Dann impliziert (4): ϕ n konvergiert bezüglich. L ϕ n konvergiert bezüglich., und ϕ n ist Cauchy-Folge bezüglich. L ϕ n ist Cauchy-Folge bezüglich.. (Man sagt, die zwei Normen. und. L sind äquivalent). Es folgt insbesondere, dass (C(I; R n ),. L ) ein vollständiger metrischer Raum ist. Auf C(I; R n ) definieren wir nun die Abbildung (T φ)(x) = y 0 + f(t, φ(t))dt Dann gilt, für beliebige x [a; b], x >, (T φ)(x) (T ψ)(x) = (f(t, φ(t)) f(t, ψ(t)))dt f(t, φ(t)) f(t, ψ(t)) dt L φ(t) ψ(t) dt = L L φ ψ L e 2L t e 2L t φ(t) ψ(t) dt e 2L(t ) dt 2 e2l x φ ψ L

12 Analog gilt auch für x [a; b] mit x <, Damit gilt für alle x [a; b] und also (T φ)(x) (T ψ)(x) 2 e2l x φ ψ L e 2L x (T φ)(x) (T ψ)(x) 2 φ ψ L T φ T ψ L 2 φ ψ L Es folgt, dass T eine Kontraktion ist. Das impliziert, dass es einen eindeutigen Fixpunkt ϕ C(I; R n ), mit T ϕ = ϕ gibt. Es ist dann einfach zu sehen, dass ϕ C (I; R n ) eine Lösung von (3) ist. Zur Eindeutigkeit: Ist ψ C (I; R n ) eine Lösung von (3), so ist insbesondere ψ C(I; R n ). Damit kann man T auf ψ anwenden. Da ψ eine Lösung des Anfangswertproblem ist, muss aber T ψ = ψ. Damit ist ψ = ϕ, weil T nur einen Fixpunkt haben kann. 2