6.1 Zerlegungen Ober- und Unterintegrale Existenz des Integrals

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1 Kapitel 6 Das Riemann-Integral In diesem Abschnitt wollen wir einen Integralbegriff einführen. Dieser Integralbegriff geht auf Riemann 1 zurück und beruht auf einer naheliegenden Anschauung. Es wird sich zeigen, dass dieser Begriff für wichtige Anwendungen nicht ausreichend ist und wir werden später einer weitergehenden Begriff kennenlernen. Wir beginnen mit dem Begriff der Zerlegung eines Intervalls, eine naheliegende Konstruktion, die zur Definition des Integrals benötigt wird. Die Entwicklung des Integralbegriffes nimmt einige Konzepte, die meist erst bei der Darstellung des Lebesgue-Integrales eine Rolle spielen, vorweg. Damit ist unsere Darstellung etwas abstrakter, als es in der Literatur üblich ist, andererseits treten auch bei der Darstellung, wie sie normalerweise gegeben wird, einige Probleme auf, die dort nicht explizit behandelt werden, deren sachgemäße Lösung auf unseren Formalismus führt, der konsequent aus dem Funktionsbegriff hervorgeht. Inhaltsangabe 6.1 Zerlegungen Ober- und Unterintegrale Existenz des Integrals Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Integration von Funktionenfolgen Integrationsregeln Ausblick und π Georg Friedrich Bernhard Riemann ( ) gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker, seine wichtigsten Beiträge galten der Analysis, und der Differentialgeometrie. 127

2 128 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL 6.1 Zerlegungen Definition (Zerlegung) Es sei [a, b] R ein kompaktes Intervall. Eine geordnete Teilmenge Z = ζ i i = 0,..., n mit a = ζ 0 < ζ 1 < < ζ n = b heißt eine Zerlegung von [a, b]. Das Maximum (Z) = max ζ i+1 ζ i i = 0,..., n 1 nennt man die Feinheit der Zerlegung. Wir wollen nun zwei Zerlegungen vergleichen. Definition (Feinheit einer Zerlegung) 1. Eine Zerlegung Z 1 des Intervalls [a, b] nennt man feiner als eine Zerlegung Z 2 des Intervalls [a, b], falls (Z 1 ) (Z 2 ). 2. Eine Zerlegung Z 1 des Intervalls [a, b] wird als Verfeinerung der Zerlegung Z 2 bezeichnet, wenn Z 2 Z 1. Bemerkung (Verfeinerung ist feiner) Ist Z 1 eine Verfeinerung von Z 2, so ist d.h. Z 1 ist feiner als Z 2. (Z 1 ) (Z 2 ), Lemma (Existenz der gemeinsamen Verfeinerung) Ist [a, b] ein kompaktes Intervall in R und sind Z 1, Z 2 zwei Zerlegungen von [a, b], so gibt es eine Zerlegung Z 3, so dass Z 3 sowohl eine Verfeinerung von Z 1, wie auch eine Verfeinerung von Z 2 ist.

3 6.2. OBER- UND UNTERINTEGRALE 129 Definition (Gemeinsame Verfeinerung) Jede Zerlegung Z 3 mit dieser Eigenschaft wird als gemeinsame Verfeinerung von Z 1 und Z 2 bezeichnet. Das obige Lemma kann man also knapp so zusammenfassen: zu je zwei Zerlegungen eines kompakten Intervalls gibt es eine gemeinsame Verfeinerung. Beweis von Lemma Betrachte Z 3 = Z 1 Z 2 und ordne Z 3 entsprechend der natürlichen Anordnung in R. Definition (Treppenfunktion) Ist [a, b] R ein kompaktes Intervall, Z eine Zerlegung von [a, b] und ϕ i R, i = 0,..., n 1 eine Folge von n reellen Zahlen, dann nennt man eine Funktion ϕ : [a, b] R, D(ϕ) [a, b] \ Z mit Treppenfunktion auf [a, b]. ϕ(x) = ϕ i falls x (ζ i, ζ i+1 ) Eine Treppenfunktion wird durch eine Zerlegung und eine (endliche) Folge reeller Zahlen definiert. Man beachte, dass die Werte der Treppenfunktion ϕ an den Stellen ζ i bei der Definition keine Rolle spielen. Wir gehen sogar noch einen Schritt weiter und verlangen nicht einmal, dass ϕ an diesen Stellen definiert ist. Lemma (Algebraische Eigenschaften von Treppenfunktionen) 1. Sind ϕ, ψ Treppenfunktionen auf [a, b], so ist ϕ + ψ mit D(ϕ + ψ) = D(ϕ) D(ψ) mit (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x), x D(ϕ) D(ψ) eine Treppenfunktion. 2. Ist λ R und ϕ eine Treppenfunktion auf [a, b], so ist λϕ eine Treppenfunktion. Beweis. Siehe Übungen. Definition (Raum von Treppenfunktionen) Den Menge der Treppenfunktionen auf [a, b] bezeichnen wir mit T ([a, b]). 6.2 Ober- und Unterintegrale Wir beginnen hier mit den anschaulichen Begriffen von Ober- und Untersumme und zeigen, wie der Integralbegriff, der auf diesen einfachen Begriffen basiert

4 130 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL äquivalent zu einer etwas abstrakteren Definition mittels Treppenfunktionen ist. Für alle praktischen Zwecke reicht die anschauliche Herleitung aus, das abstraktere Konzept gibt allerdings einen Ausblick und eine Vorbereitung auf die später zu definierende Verallgemeinerung des Integralbegriffes. Um gewisse technische Komplikationen auszuschließen, benötigen wir einige Einschränkungen an die von uns zu betrachtenden Funktionen. Definition (Raum der beschränkten Funktionen) Es sei [a, b] ein kompaktes Intervall in R, setze F ([a, b]; R) = f : [a, b] R D(f) = [a, b] \ Z, #(Z) N 0, f ist beschränkt. Mit einfachen Worten, F ([a, b]; R) ist die Menge aller beschränkten reellwertigen Funktionen, die an allen, bis auf endlich vielen Stellen, definiert sind. Definition (Ober-, Unter-, Riemannsumme) Es sei [a, b] R ein kompaktes Intervall. Es sei Z eine Zerlegung von [a, b]. Es sei f F ([a, b], R) mit D(f) [a, b] \ Z. Für i = 0,..., n 1 sei x i (ζ i, ζ i+1 ). Dann führen wir die folgenden Bezeichnungen ein: O(f, Z) = U(f, Z) = R(f, Z) = n 1 i=0 n 1 inf i=0 n 1 sup f(x) f(x) f(x i )(ζ i+1 ζ i ). i=0 x (ζ i, ζ i+1 ) (ζ i+1 ζ i ) x (ζ i, ζ i+1 ) (ζ i+1 ζ i ) O(f, Z) nennt man die Obersumme von f auf [a, b] zur Zerlegung Z, entsprechend U(f, Z) die Untersumme und R(f, Z) eine Riemannsumme zur Zerlegung Z. Bemerkung (Riemannsumme) Zu gegebener Zerlegung hängt der Wert einer Riemannsumme von der Auswahl der x i (ζ i, ζ i+1 ) ab. Allerdings gilt für jede solche Auswahl: U(f, Z) R(f, Z) O(f, Z). Man beachte, dass die Werte der Obersumme, Untersumme und Riemannsumme unabhängig sind von den Funktionswerten an den Zerlegungspunkten.

5 6.2. OBER- UND UNTERINTEGRALE 131 Lemma (Treppenfunktionen als beschränkte Funktionen) Es gilt T ([a, b]) F ([a, b]; R). Beweis. Folgt sofort aus der Definition. Definition (Äquivalenz beschränkter Funktionen) Auf F ([a, b]; R) definieren wir eine Relation durch f g genau dann Z [a, b], #Z N 0 x [a, b] \ Z gilt f(x) g(x) = 0. Aufgabe (Vektorräume von Klassen beschränkter Funktionen) 1. Man zeige: Die Relation f g ist eine Äquivalenzrelation auf F ([a, b]; R). 2. Für f F ([a, b]; R) sei [f] die Äquivalenzklasse mit f [f]. Man zeige F([a, b]; R) = [f] f F ([a, b], R) ist ein Vektorraum. 3. Es sei T([a, b]) = [f] f T ([a, b]). Man zeige: T([a, b]) ist ein Untervektorraum von F([a, b], R). 4. Man überlege sich (a) F ([a, b], R) ist kein Vektorraum, T ([a, b]) ist kein Vektorraum. (b) Man versuche eine Änderung der Definition von F ([a, b], R) und T ([a, b]), so dass Vektorräume entstehen. Vergewissern Sie sich, dass die oben gewählte Definition mittels Äquivalenzrelation eine einfache Lösung aller entstehenden Probleme ist. Wir wollen nun F ([a, b], R) mit einer Ordnung versehen. Definition (Ordnungsrelation für Klassen beschränkter Funktionen) Es sei [a, b] ein kompaktes Intervall in R und f, g F ([a, b], R). Wir definieren eine Ordnungsrelation durch: f g genau dann wenn Z [a, b], #(Z) N 0 mit D(f), D(g) [a, b] \ Z, für x / Z gilt f(x) g(x).

6 132 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Lemma (Ordnungsrelation) Die Relation definiert eine Ordnungsrelation im Sinne der Definition auf F([a, b], R). Beweis. Zu zeigen sind Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie. Ist f F ([a, b], R), so ist f f, denn für alle x D(f) gilt f(x) f(x), wobei das letzte für die Ordnungsrelation auf R steht. Ist f g, g h, dann gibt es eine Menge Z 1 mit f(x) g(x) außerhalb Z 1 und eine Menge Z 2 mit g(x) h(x) außerhalb Z 2. Sei Z = Z 1 Z 2. Dann ist Z endlich und für x / Z gilt f(x) g(x) und g(x) h(x), also f(x) h(x). Insbesondere haben wir gezeigt, aus [f] [g] und [g] [h] folgt [f] [h]. Die Antisymmetrie beruht auf einem sehr ähnlichen Argument: [f] [g], [g] [f] implizieren die Existenz von endlichen Teilmengen Z 1, Z 2 von [a, b] mit x [a, b]\ Z 1 impliziert f(x) g(x) und x [a, b] \ Z 2 impliziert g(x) f(x). Dann ist Z 1 Z 2 endlich und für x / Z 1 Z 2 gilt f(x) g(x) f(x). Damit ist [f] = [g]. Wir beginnen nun die Definition des Integrals. Definition (Integral für Klassen) Ist [a, b] ein kompaktes Intervall und ist ϕ eine Treppenfunktion, so dass bezüglich einer Zerlegung Z die Funktion ϕ auf jedem Intervall (ζ i, ζ i+1 ) konstant ist und dort den Wert c i wie in Definition annimmt. Wir setzen b a [ϕ(x)] dx = R(ϕ, Z). Lemma (Wohldefiniertheit) Für f T ([a, b]) ist b [f(x)] dx wohldefiniert. a Beweis. Ist Z 2 eine Verfeinerung von Z 1 = ζ 1 0 < < ζ 1 n und f Treppenfunktion auf [a, b], die auf (ζ i, ζ i+1 ), i = 0,..., n 1 jeweils konstant ist. Da Z 2 eine Verfeinerung von Z 1 ist, wird ein Intervall (ζ 1 i, ζ 1 i+1)