A. Maß- und Integrationstheorie

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1 A. Maß- und Integrationstheorie Im folgenden sind einige Ergebnisse aus der Maß- und Integrationstheorie zusammengestellt, die wir im Laufe der Vorlesung brauchen werden. Für die Beweise der Sätze sei auf die zahlreichen Lehrbücher bzw. Skripten zum Thema verwiesen, z.b. N. Henze: Skriptum zur Vorlesung Stochastik II. J. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 3., erweiterte Aufl., Springer F. Jones: Lebesgue integration on Euclidean space, Jones and Bartlett Publishers Zur Motivation erinnern wir uns zunächst an die Idee des iemann-integrals, benannt nach B. iemann ( ). Wir betrachten eine beschränkte Funktion f : [a, b] [0, ). Für jede Zerlegung Z des Intervalls [a, b] in endlich viele Teilintervalle I k bilden wir die Unter- und Obersummen U (f, Z) = k λ(i k ) inf x I k f(x), O (f, Z) = k λ(i k ) sup x I k f(x). Hierbei bezeichne λ(i k ) die Länge des Intervalls I k. Ist sup Z U (f, Z) = inf Z O (f, Z), dann heißt f iemann-integrierbar und man definiert das iemann-integral b a f(x)dx durch sup Z U (f, Z). Die Konstruktion des iemann-integrals ist einfach und anschaulich. Allerdings hat dieser Integralbegriff (mindestens) einen entscheidenden Nachteil: Die Kriterien für die Vertauschung von Limes und Integral sind unbefriedigend. Deshalb verwenden wir das etwas allgemeinere Lebesgue-Integral. Es ist nach H. Lebesgue ( ) benannt. Die Grundidee des Lebesgue schen Integralbegriffs besteht darin, den Bildbereich der Funktion f in Teilintervalle zu zerlegen. Sei hierzu n N und J n,k = [ k n, k+1 n ) für k = 0, 1, 2,.... Nun betrachten wir die Urbildmengen der Intervalle J n,k unter f, also die Mengen E n,k = f 1 (J n,k ) = {x [a, b] : k k+1 n f(x) < n }. Wenn wir nun die Länge von E k,n messen können, dann können wir die Lebesgue schen Unter- und Obersummen U L (f, n) = λ(e n,k ) k n, U L(f, n) = λ(e n,k ) k + 1 n k=0 hinschreiben. Da die Mengen E k,n im allgemeinen sehr kompliziert aussehen können, ist a priori nicht klar, wie man die Länge einer solchen Menge messen kann. Deshalb wenden wir uns zuerst dem Begriff der Messbarkeit von Mengen zu. k=0 c C. Kaiser 26. Oktober

2 A.1. Messbarkeit Als Motivation für den Begriff der Messbarkeit betrachten wir zunächst die Menge der rellen Zahlen. Ziel ist es, möglichst vielen Teilmengen von eine Länge zuzuordnen. Ist A eine solche messbare Teilmenge von, dann bezeichnen wir die Länge von A mit λ(a). Wir wollen folgende aus der Anschauung motivierte Forderungen an unseren Längenbegriff stellen: 1. Für ein Intervall [a, b] mit b a ist es einfach, seine Länge anzugeben: wir setzen λ([a, b]) = b a. (Insbesondere hat ein Punkt {a} die Länge 0.) 2. Sind A, B zwei disjunkte Teilmengen von, deren Längen wir schon kennen, dann soll λ(a B) = λ(a) + λ(b) sein. Etwas allgemeiner: Sind A 1, A 2,... abzählbar viele paarweise disjunkte Teilmengen von, deren Länge bekannt ist, dann soll λ( j=1 A j) = j=1 λ(a j) sein. Man sagt, die Länge soll σ-additiv sein. (Insbesondere hat dann jede abzählbare Teilmenge von Länge 0.) 3. Ist A B, dann fordern wir λ(b \ A) = λ(b) λ(a). 4. Die Länge einer Menge soll sich nicht ändern, wenn man die Menge verschiebt (Translationsinvarianz). Man kann zeigen, dass man nicht jeder Teilmenge von eine Länge zuordnen kann, so dass die genannten Forderungen erfüllt sind. Deshalb werden wir uns auf eine Teilmenge der Potenzmenge von zurückziehen, auf die nach E. Borel ( ) benannte Borel sche σ-algebra. Messbare Mengen Wir führen zunächst den Begriff der σ-algebra über einer Menge ein. A.1.1 Definition Sei eine Menge und A eine Teilmenge der Potenzmenge P() von mit (1) A, (2) A A \ A A, (3) A 1, A 2, A j N A j A. Dann heißt A σ-algebra über. Jede Menge in A heißt A-messbar. Die einfachsten Beispiele von σ-algebren über einer Menge sind {, } und P(). Zu jeder Menge existiert also immer mindestens eine σ-algebra. Weiter ist der Schnitt von σ-algebren über stets wieder eine σ-algebra über (Beweis?). Als wichtiges Beispiel betrachten wir die schon oben erwähnte Borel sche σ-algebra B über. Sie c C. Kaiser 26. Oktober

3 ist definiert der Schnitt über diejenigen σ-algebren, die alle endlichen Teilintervalle von enthalten. B wird auch die σ-algebra der Borelmengen genannt. A.1.2 Übungsaufgabe Sei eine Menge und A P() eine σ-algebra. Dann gilt: (a) A, (b) A, B A A \ B A, (c) A 1, A 2, A j N A j A. A.1.3 Übungsaufgabe Seien 1, 2 Mengen und f : 1 2 eine Funktion. (a) Ist A 2 eine σ-algebra über 2, dann ist f 1 (A 2 ) = {f 1 (A) : A A 2 } eine σ- Algebra über 1. (b) Ist A 1 eine σ-algebra über 1, dann ist {B P( 2 ) : f 1 (B) A 1 } eine σ-algebra über 2. Nun kommen wir zur Definition des Maßes. A.1.4 Definition Sei A eine σ-algebra über einer Menge und µ : A [0, ] mit (1) µ( ) = 0, (2) µ ist σ-additiv, d.h. A 1, A 2, A disjunkt µ( j N A j) = j N µ(a j). Dann heißt µ Maß auf A und (, A, µ) heißt Maßraum. A.1.5 Beispiel (a) Sei ein Menge und µ : P() [0, ] gegeben durch { A, falls A endlich, µ(a) =, sonst. Dann ist (, P(), µ) ein Maßraum. µ heißt Zählmaß auf. (b) Sei A eine σ-algebra über einer Menge und x. Sei δ x : A {0, 1} gegeben durch { 1, x A, δ x (A) = 0, x / A. Dann ist (, A, δ x ) ein Maßraum. δ x heißt Dirac-Maß. (c) Sei B die Borel sche σ-algebra über. dann existiert genau ein Maß β : B [0, ] mit den zusätzlichen Eigenschaften (3) β((a, b)) = β([a, b]) = b a, falls a < b, (4) β ist translationsinvariant, d.h. für alle x und alle A B ist β(x+a) = β(a). β heißt Lebesgue-Borel-Maß auf. Das Lebesgue-Borel-Maß erfüllt also alle vier in der Einleitung genannten Forderungen für einen Längenbegriff. Für den nicht ganz einfachen Beweis der Existenz und Eindeutigkeit von β verweisen wir auf die angegebene Literatur. Sei (, A, µ) eine Maßraum. Eine Menge N A heißt µ-nullmenge, falls µ(n) = 0 ist. Gibt es eine µ-nullmenge N, so dass eine gewisse Eigenschaft für alle ω \ N gilt, dann sagt man, diese Eigenschaft gilt für µ-fast alle ω. c C. Kaiser 26. Oktober

4 A.1.6 Übungsaufgabe (a) Die abzählbare Vereinigung von µ-nullmengen ist wieder eine µ-nullmenge. (b) Ist A abzählbar, dann ist A eine β-nullmenge. Nun könnte man erwarten, dass jede Teilmenge einer µ-nullmenge ebenfalls Maß 0 hat. Aber im Allgemeinen gehört nicht einmal jede solche Teilmenge zur dem Maß zugrundeliegenden σ-algebra. Ein Beispiel hierfür ist die Borel sche σ-algebra B. Deshalb führen wir die Definition eines vollständigen Maßraumes ein (nicht zu verwechseln mit einem vollständigen metrischen aum!): Ein Maßraum (, A, µ) heißt vollständig, falls jede Teilmenge einer µ-nullmenge zu A gehört. A.1.7 Satz und Definition Sei (, A, µ) ein Maßraum und N = {N A : A A, µ(a) = 0} die Menge aller Teilmenge von µ-nullmengen. Definiere à := {A N : A A, N N } und µ : A [0, ] mit µ(a N) = µ(a) für A A, N N. Dann ist à eine σ-algebra über, µ ist wohldefiniert und (, Ã, µ) ist ein vollständiger Maßraum, genannt die Vervollständigung von (, A, µ). Die Vervollständigung der Borel schen σ-algebra über heißt σ-algebra der Lebesguemessbaren Mengen über und wird mit L bezeichnet. Man kann zeigen, dass L eine echte Teilmenge von P() ist. Das zugehörige Maß β heißt Lebesgue-Maß und wird mit λ bezeichnet. Messbare Funktionen Wir kommen nun zum zentralen Begriff einer messbaren Funktion. A.1.8 Definition Sei eine Menge und A eine σ-algebra über. (a) Eine Funktion f : [, ] heißt A-messbar, falls f 1 ([a, b)) A für a < b. (b) Eine Funktion f : C heißt A-messbar, falls e f und Im f A-messbar sind. Statt B-messbar (L-messbar) sagen wir auch Borel-messbar (Lebesgue-messbar). Ist f : [, ] bzw. f : C Borel-messbar, dann ist f Lebesgue-messbar, da B eine Teilmenge von L ist. Ist f : C stetig, dann ist f Borel-messbar, also auch Lebesgue-messbar. A.1.9 Satz Sei eine Menge und A eine σ-algebra über. (a) Sind f, g : [, ] A-messbar und ist α C, dann sind auch αf, f + g, f g, f, max{f, g}, min{f, g} A-messbar. (b) Sind f n : [, ] A-messbar, dann sind sup n N f n, inf n N f n, lim sup n f n, lim inf n f n A-messbar. Insbesondere ist lim n f n A-messbar, falls dieser Limes punktweise in [, ] existiert. c C. Kaiser 26. Oktober

5 A.1.10 Definition Sei A eine σ-algebra über der Menge. (a) Eine Funktion der Gestalt { 1, x A χ A (x) = 0, x \ A heißt Indikatorfunktion der Menge A. (b) Eine Funktion der Gestalt φ = n k=1 α kχ Ak mit α k C und A k A heißt A- Treppenfunktion. A.1.11 Satz Sei A eine σ-algebra über einer Menge. Dann gilt: (a) A-Treppenfunktionen sind A-messbar. (b) Ist f : [, ] bzw. f : C A-messbar, dann existiert eine Folge (φ n ) von A-Treppenfunktionen mit f(x) = lim n φ n (x) für alle x. (c) Ist f : [0, ] A-messbar, dann kann (φ n ) aus (b) so gewählt werden, dass 0 φ 1 φ (d) Ist f : C A-messbar und beschränkt, dann kann (φ n ) aus (b) so gewählt werden, dass φ n f gleichmäßig in. Beweisidee: (c) Konstruktion von φ n : Zerlege [0, n) in Intervalle I k,n der Länge 1 n, setze E k,n := {x : k k+1 n f(x) < n } und φ n = n 2 1 k=0 k n χ E k,n. (b) Ist f : [, ], wende (c) auf f + = max{f,0} und f = max{ f,0} an. Ist f : C, betrachte e f und Im f. A.2. Das µ-integral In diesem Abschnitt sind die wichtigsten Definitionen und Sätze über das µ-integral enthalten. Auf Beweise wird verzichtet. Man findet sie in der angegebenen Literatur. Integrierbarkeit Sei (, A, µ) ein Maßraum. Wir definieren das µ-integral zunächst für nichtnegative Treppenfunktionen: Ist f = n k=1 α kχ Ek eine A-Treppenfunktion mit α k 0 für alle k, dann setzen wir n fdµ := α k µ(e k ) [0, ]. Die Definition ist unabhängig von der Wahl der Darstellung von f. k=1 Nun wenden wir uns einer beliebigen A-messbaren Funktion f : [0, ] zu. Nach Satz A.1.11 gibt es dann eine Folge (φ n ) von Treppenfunktionen mit 0 φ 1 φ 2... c C. Kaiser 26. Oktober

6 und f = lim n φ n. Die Zahlenfolge ( φ ndµ) n N ist monoton wachsend und hat daher einen Grenzwert in [0, ]. Wir definieren fdµ := lim φ n dµ. n Die Definition ist unabhängig von der Wahl der Folge (φ n ). Für den Beweis dieser nicht trivialen Aussage verweisen wir auf die angegebene Literatur. Nun definieren wir den Begriff der µ-integrierbarkeit. A.2.1 Definition Sei (, A, µ) ein Maßraum. (a) Eine Funktion f : [0, ] heißt µ-integrierbar, falls f A-messbar ist und fdµ < gilt. (b) Eine Funktion f : heißt µ-integrierbar, falls f + = max{f,0} und f = max{ f,0} µ-integrierbar sind. In diesem Fall fdµ := f + dµ f dµ. (c) Eine Funktion f : C heißt µ-integrierbar, falls e f und Imf µ-integrierbar sind. In diesem Fall fdµ := e fdµ + i Im fdµ. Wir sagen, eine auf definierte Funktion ist Lebesgue-integrierbar, falls sie bzgl. des Lebesgue-Maßes λ integrierbar ist. Es folgen zwei wichtige Sätze (ohne Beweis). A.2.2 Satz Sei (, A, µ) ein Maßraum und f : C eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. (1) f ist µ-integrierbar. (2) f ist A-messbar und f ist µ-integrierbar. (3) f ist A-messbar und es gibt ein µ-integrierbares g : [0, ) mit f g. A.2.3 Satz Sei (, A, µ) ein Maßraum. (a) Sind f, g : C µ-integrierbar und ist α C, dann sind auch αf, f + g µ- integrierbar und αfdµ = α fdµ, f + gdµ = (b) Sind f, g; µ-integrierbar und f g, dann ist fdµ gdµ. (c) Ist f : C µ-integrierbar, dann fdµ f dµ. fdµ + gdµ. c C. Kaiser 26. Oktober

7 (d) Sei f : [0, ] A-messbar. Dann ist fdµ = 0 genau dann, wenn f(x) = 0 für µ-fast alle x. A.2.4 Der aum L 1 (, µ): Sei (, A, µ) ein Maßraum und L 1 (, µ) := {f f : C µ-integrierbar}. Dann ist L 1 (, µ) ein komplexer Vektorraum (nach Satz A.2.3 (a)). Der aum N(, µ) := {f f : C A-messbar und f(x) = 0 für µ-fast alle x } ist ein Untervektorraum von L 1 (, µ). Also definiert f g : f g N(, µ) f(x) = g(x) für µ-fast alle x eine Äquivalenzrelation auf L 1 (, µ). Für f, g L 1 (, µ) mit f g gilt nach A.2.3 (d) f dµ = g dµ. Daher ist folgende Definition sinnvoll: L 1 (, µ) := L 1 (, µ)/n(, µ), [f] 1 := [f] L1 (,µ) := f dµ. Anstatt [f] schreiben wir kurz f, d.h. wir identifizieren Funktionen die auf µ-fast überall übereinstimmen. Die Abbildung f f 1 ist eine Norm auf L 1 (, µ), d.h. für alle f, g L 1 (, µ) und α C gilt (N1) f 1 0. (N2) f 1 = 0 genau dann, wenn f = 0 (µ-fast überall). (N3) αf 1 = α f 1. (N4) f + g 1 f 1 + g 1 (Dreiecksungleichung). A.2.5 Substitution Sei b und a \ {0}. Ist f : C Lebesgue-integrierbar, dann sind f( b) und f(a ) Lebesgue-integrierbar und es gilt f( b)dλ = fdλ und f(a )dλ = 1 fdλ. a A.2.6 iemann-integral und Lebesgue-Integral (a) Ist f : [a, b] C (eigentlich) iemann-integrierbar, dann ist f : C, definiert durch f = f auf [a, b] und f = 0 sonst, Lebesgue-integrierbar und b a f(x)dx = fdλ. c C. Kaiser 26. Oktober

8 (Vorsicht! Diese Aussage gilt nicht für uneigentliche iemann-integrale!) Ist f L 1 (), schreiben wir ab jetzt f(x)dx für fdλ. (b) Sei f die Dirichlet sche Sprungfunktion, d.h. { 1, x Q, f(x) = 0, x \ Q. Dann ist f : Lebesgue-integrierbar und fdλ = 0. Denn: f ist L-Treppenfunktion und λ(q) = 0, da Q abzählbar ist. Andererseits ist f [0,1] nicht iemannintegrierbar. Konvergenzsätze Es folgen zwei wichtige Konvergenzsätze, die Bedingungen dafür angeben, wann man Limes und Integration vertauschen kann. A.2.7 Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi) Sei (, A, µ) ein Maßraum. Sind f n : [0, ] A-messbar mit 0 f 1 f 2... und f(x) := lim n f(x) [0, ], dann ist f A-messbar und lim n f n dµ = fdµ. A.2.8 Satz von der majorisierten Konvergenz (Lebesgue) Sei (, A, µ) ein Maßraum. Sind f n, f : C A-messbar und f(x) = lim n f n (x) für µ-fast alle x M. Falls die Funktionen f n µ-integrierbar sind und ein µ-integriebares g : [0, ) existiert mit f n (x) g(x) für alle n N und µ-fast alle x, dann ist f µ-integrierbar und lim n f n dµ = Als Anwendung betrachten wir Maße mit Dichten. fdµ. A.2.9 Maße mit Dichten Sei (, A, µ) ein Maßraum und ρ : [0, ] eine A- messbare Funktion. Dann wird durch ν(a) = ρdµ = ρ χ A dµ, A A, A ein Maß auf A definiert. Hierbei folgt die σ-additivität aus dem Satz von der monotonen Konvergenz A.2.7. Ebenfalls mit Satz A.2.7 kann man zeigen, dass für eine A-messbare Funktion f : C gilt: Ist f ρ µ-integrierbar, dann ist f ν-integrierbar und fdν = f ρ dµ. c C. Kaiser 26. Oktober

9 Eine weitere Anwendung ist die folgende Übungsaufgabe. A.2.10 Übungsaufgabe Ist k L 1 () mit k(x)dx = 1 und ist f : beschränkt, Lebesgue-messbar und stetig in x, dann gilt lim r 0 1 r k(x y r Produktmaß und Satz von Fubini )f(y)dy = f(x). Auf dem Kreuzprodukt zweier Maßräume soll ein Maß definiert werden mit der Eigenschaft, dass das Maß des Kreuzproduktes zweier meßbarer Mengen gerade das Produkt der Maße der entsprechenden Mengen ist. Wir definieren zunächst den Begriff der σ- Endlichkeit eines Maßraumes. A.2.11 Definition Eine Maßraum (, A, µ) heißt σ-endlich, falls eine Folge (E k ) A mit µ(e k ) < und k=1 E k = existiert. Der Maßraum (, L, λ) ist σ-endlich, da = k N [ k, k]. A.2.12 Satz und Definition Seien ( 1, A 1, µ 1 ), ( 2, A 2, µ 2 ) σ-endliche Maßräume. Sei A 1 A 2 die von den Mengen A 1 A 2, A 1 A 1, A 2 A 2 erzeugte σ-algebra auf 1 2. Dann existiert genau ein Maß µ : A 1 A 2 [0, ] mit µ(a 1 A 2 ) = µ(a 1 )µ(a 2 ). µ heißt Produktmaß von µ 1 und µ 2 und wird mit µ 1 µ 2 bezeichnet. Die Vervollständigung von ( 2, L L, λ λ) bezeichnen wir mit ( 2, L 2, λ 2 ). Eine Funktion f : 2 C heißt dann Lebesgue-messbar bzw. Lebesgue-integrierbar, falls f L 2 -messbar bzw. λ 2 -integrierbar ist. Es folgen die Sätze von Tonelli und Fubini, die Bedingungen für die Vertauschung der Integrationsreihenfolge bei Mehrfachintegralen angeben. Da wir die Sätze nur für 2 benötigen, formulieren wir sie auch nur für diesen Spezialfall. Beide Sätze gelten auch allgemeiner. Hierfür verweisen wir auf die angegebene Literatur. A.2.13 Der Satz von Tonelli Sei f : 2 [0, ] Lebesgue-messbar. Dann ist die Funktion x f(x, y) für fast alle y Lebesgue-messbar. Weiter ist y f(x, y)dx Lebesgue-messbar und ( ) f(x, y)d(x, y) = f(x, y)dx dy. 2 A.2.14 Der Satz von Fubini Sei f : 2 C Lebesgue-integrierbar. Dann ist die Funktion x f(x, y) für fast alle y Lebesgue-integrierbar. Weiter ist y f(x, y)dx Lebesgue-integrierbar und ( ) f(x, y)d(x, y) = f(x, y)dx dy. 2 c C. Kaiser 26. Oktober