28. Integralrechnung im Mehrdimensionalen

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1 28. Integralrechnung im Mehrdimensionalen Integralrechnung im Mehrdimensionalen Wir haben nun das Studium der Differenzierbarkeit in mehreren Veränderlichen beendet und werden uns als Nächstes wie im Eindimensionalen der Integration zuwenden. Zum Einstieg wollen wir uns dabei anschauen, was wir von einer solchen Verallgemeinerung des Integralbegriffs ins Mehrdimensionale überhaupt erwarten würden. Dazu erinnern wir uns daran, dass wir im eindimensionalen Fall in Kapitel 2 zwei Interpretationsmöglichkeiten für das Integral hatten: (Flächenberechnung) Wir konnten mit Hilfe des Integrals die Fläche unter dem Graphen einer Funktion in einer reellen Variablen berechnen. Die direkte Verallgemeinerung ins Mehrdimensionale besteht hier offensichtlich darin, eine reellwertige Funktion in n Variablen zu betrachten und wie im Bild rechts nach dem (n + )- f dimensionalen Volumen des Gebiets unter dem Graphen von f zu fragen, z. B. über einem Quader Q = [,b ] [a n,b n ]. In der Tat ist die f (x)dx x 2 b 2 Q exakte Formulierung und Lösung dieses Problems der Inhalt dieses Kapitels. Wir werden das Ergebnis als das n-dimensionale Integral von f über Q b x bezeichnen und als Q f (x)dx schreiben. (Umkehrung der Differentiation) Im Eindimensionalen ließ sich das Problem der Flächenberechnung unter dem Graphen einer Funktion f nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 2.2 auf die Suche nach einer Stammfunktion zurückführen, also einer Funktion F mit F = f. Im Mehrdimensionalen besteht dieser direkte Zusammenhang jedoch nicht mehr: Auch hier kann man sich zwar fragen, ob man z. B. zu einer gegebenen Funktion f : R n Mat( n,r) eine differenzierbare Funktion F : R n R mit F = f finden kann aber allein schon daran, dass wir hierfür eine Funktion f mit Zielraum Mat( n,r) benötigen, da die Ableitung von F ja eine derartige Matrix ist, kann man erkennen, dass dies nicht dieselbe Fragestellung wie die der Volumenberechnung unter dem Graphen von f sein kann. Dieses Problem der Umkehrung der Differentiation im Mehrdimensionalen erfordert vielmehr andere Methoden, die ihr in der Vorlesung Vektoranalysis des zweiten Studienjahres kennenlernen könnt. Die folgende Aufgabe soll dabei nur einen kleinen Vorgeschmack auf die dort zu erwartenden Resultate geben: Sie zeigt, dass die Existenz einer Funktion F mit F = f im Gegensatz zum eindimensionalen Fall auch für stetiges f keinesfalls automatisch ist und darüber hinaus auch noch von der Form der betrachteten Definitionsmenge abhängt. Aufgabe 28. (Umkehrung der Differentiation in R 2 ). Man zeige: (a) Sind f, f 2 : R 2 R zwei stetig differenzierbare Funktionen, so gibt es genau dann eine zweimal stetig differenzierbare Funktion F : R 2 R mit F = ( f f 2 ), wenn f 2 = 2 f. (b) Im Fall der Definitionsmenge D = R 2 \{} hingegen ist diese Aussage falsch: Die Funktionen f : D R, x x 2 x 2 + x2 2 und f 2 : D R, x x x 2 + x2 2 erfüllen zwar f 2 = 2 f, aber es gibt keine zweimal stetig differenzierbare Funktion F : D R mit F = ( f f 2 ).

2 356 Andreas Gathmann Bemerkung 28.2 (Riemann- und Lebesgue-Integral). Um die obige Frage nach dem Volumen unter dem Graphen einer Funktion in mehreren Variablen formal exakt zu untersuchen, gibt es verschiedene Herangehensweisen. Wir werden in dieser Vorlesung die sogenannte Riemannsche Integrationstheorie behandeln, die das Integral völlig analog zum eindimensionalen Fall in Kapitel 2 über Unter- und Obersummen zu immer feiner werdenden Zerlegungen des Integrationsbereichs definiert. Der Hauptvorteil dieser Theorie ist, dass sie relativ einfach ist und für viele Funktionen, z. B. für stetige Funktionen auf R n, schnell zum gewünschten Ergebnis führt. Für Anwendungen z. B. in der Stochastik ist es allerdings unabdingbar, den Integralbegriff deutlich zu erweitern. Analog zur Differentiation, die man nach Bemerkung 25.6 nicht nur in R n, sondern sogar in allgemeinen normierten Räumen einführen kann, kann man auch Integrale nicht nur von Funktionen auf R n, sondern auch von solchen auf allgemeineren Räumen, den sogenannten Maßräumen, definieren. Diese allgemeinere Integrationstheorie, das sogenannte Lebesgue-Integral, ist vom theoretischen Standpunkt her zwar deutlich schöner, allerdings auch deutlich komplizierter als die Riemannsche Theorie, und wird daher erst in der für das spätere Studium angebotenen Vorlesung Maß- und Integrationstheorie ausführlich behandelt. 28.A Das mehrdimensionale Riemann-Integral Wir beginnen damit, analog zu Kapitel 2 Unter- und Obersummen beschränkter Funktionen und damit schließlich das Integral solcher Funktionen in mehreren Variablen einzuführen. Viele Definitionen und Resultate sind dabei bis auf kleine Modifikationen dieselben wie im eindimensionalen Fall. Beweise, die wörtlich genauso funktionieren wie in Kapitel 2, werden wir dabei natürlich nicht noch einmal hinschreiben. Der Einfachheit halber beschäftigen wir uns zunächst einmal nur mit Integralen von Funktionen, die auf einem Quader (also einem Produkt von Intervallen) definiert sind. Den Fall allgemeinerer Integrationsbereiche werden wir dann im nächsten Kapitel darauf zurückführen. Notation 28.3 (Quader). Es seien n N > und a,b R n mit Koordinaten,...,a n bzw. b,...,b n, so dass a i b i für alle i =,...,n. Dann heißt die Menge := [,b ] [a n,b n ] R n ein Quader in R n. Wir definieren das Volumen eines solchen Quaders als vol() := (b ) (b n a n ). b 2 b Die folgenden beiden Definitionen sind völlig analog, und im eindimensionalen Fall n = auch äquivalent zu Definition 2.. Definition 28.4 (Zerlegungen). Es sei = [,b ] [a n,b n ] ein Quader. (a) Eine Zerlegung Z = (Z,...,Z n ) des Quaders besteht aus Zerlegungen Z i der Intervalle [a i,b i ] im Sinne von Definition 2. (a) für alle i =,...,n. Es ist also jedes Z i = {x i,,...,x i,ki } eine endliche Teilmenge von [a i,b i ] mit a i,b i Z i, von der wir vereinbaren, dass in dieser Schreibweise immer a i = x i, < x i, < < x i,ki = b i gilt. Ein Teilquader von Z ist wie im Bild unten links ein Quader Q der Form [x, j,x, j ] [x n, jn,x n, jn ] für gewisse j,..., j n mit j i k i für alle i =,...,n. Wir bezeichnen die Menge aller solcher Teilquader von Z mit TQ(Z). (b) Sind Z = (Z,...,Z n ) und Z = (Z,...,Z n) zwei Zerlegungen von, so nennen wir Z eine Verfeinerung von Z und schreiben dies als Z Z, wenn Z i Z i für alle i =,...,n gilt, also jedes Z i im Sinne von Definition 2. (a) eine Verfeinerung von Z i ist.

3 28. Integralrechnung im Mehrdimensionalen 357 (c) Für zwei beliebige Zerlegungen Z = (Z,...,Z n ) und Z = (Z,...,Z n) von definieren wir wie im folgenden Bild dargestellt Z Z := (Z Z,...,Z n Z n); offensichtlich ist dies eine gemeinsame Verfeinerung von Z und Z. x 2,2 x 2, Q x 2, x, x, x,2 x,3 Eine Zerlegung Z mit einem Teilquader Q,... eine weitere Zerlegung Z... und die gemeinsame Verfeinerung Z Z Definition 28.5 (Unter- und Obersummen). Es sei f : [a, b] R eine beschränkte Funktion auf einem Quader R n. Für eine Zerlegung Z von nennen wir US( f,z) := OS( f,z) := von f bezüglich Z. Q T Q(Z) vol(q) inf{ f (x) : x Q} vol(q) sup{ f (x) : x Q} die Untersumme und die Obersumme Der Weg von den Unter- und Obersummen zum Integral ist derselbe wie im Eindimensionalen in Lemm2.3, Definition 2.5, Lemm2.6 und Definition 2.7: Wir wollen, dass sich Unter- und Obersummen dem gesuchten Integral annähern, also dass das Supremum aller Untersummen gleich dem Infimum aller Obersummen ist. Lemm8.6 (Eigenschaften von Unter- und Obersummen). Es seien f : [a, b] R eine beschränkte Funktion auf einem Quader und Z,Z zwei Zerlegungen von. Dann gilt: (a) Ist Z eine Verfeinerung von Z, so gilt US( f,z ) US( f,z) und OS( f,z ) OS( f,z). (b) US( f,z) OS( f,z ). Beweis. Der Beweis dieses Lemmas ist nahezu der gleiche wie der von Lemm2.3. (a) Da jede Verfeinerung von Z durch endliches Hinzufügen von weiteren Unterteilungspunkten in den Seitenintervallen von [a, b] entsteht, genügt es, den Fall zu betrachten, dass Z wie im Bild rechts aus Z durch Hinzufügen eines weiteren Zwischenpunktes in einer der Koordinaten entsteht. Q Z Q Z Q 2 Ist Q dann ein Teilquader von Z, der in Z in zwei Teilquader Q und Q 2 aufgeteilt wird, so gilt vol(q ) inf{ f (x) : x Q } + vol(q 2 ) inf{ f (x) : x Q 2 } vol(q ) inf{ f (x) : x Q} + vol(q 2 ) inf{ f (x) : x Q} = vol(q) inf{ f (x) : x Q}. Aufsummieren dieser Ungleichungen über alle Teilquader liefert damit die behauptete Ungleichung US( f,z ) US( f,z) für die Untersummen. Die Aussage über die Obersummen beweist man natürlich genauso. (b) Da Z Z eine gemeinsame Verfeinerung von Z und Z ist, folgt aus (a) US( f,z) US( f,z Z ) OS( f,z Z ) OS( f,z ),

4 358 Andreas Gathmann 72 wobei die mittlere Ungleichung gilt, weil das Infimum einer Menge immer kleiner oder gleich dem Supremum ist. Definition 28.7 (Unter- und Oberintegral). Es sei f : [a, b] R eine beschränkte Funktion auf einem Quader R n. Dann heißt UI( f ) := sup {US( f, Z) : Z Zerlegung von [a, b]} OI( f ) := inf {OS( f,z) : Z Zerlegung von } das Unterintegral, und analog das Oberintegral von f (beachte, dass dieses Supremum bzw. Infimum existiert, da die Menge aller Untersummen nach Lemm8.6 (b) durch jede Obersumme nach oben beschränkt, und die Menge aller Obersummen durch jede Untersumme nach unten beschränkt ist). Lemm8.8. Für jede beschränkte Funktion f : [a, b] R auf einem Quader gilt UI( f ) OI( f ). Beweis. Der Beweis ist wörtlich derselbe wie der von Lemm2.6 er ergibt sich aus den allgemeinen Eigenschaften von Supremum und Infimum. Definition 28.9 (Integrierbarkeit). Es sei f : [a, b] R eine beschränkte Funktion auf einem Quader R n. Gilt UI( f ) = OI( f ), so nennen wir f (Riemann-)integrierbar, und definieren das Integral von f als diesen Wert f (x)dx := UI( f ) = OI( f ). Möchte man explizit schreiben, dass hier über mehrere Variablen integriert wird, sind für dieses Integral auch die Schreibweisen f (x)d(x,...,x n ) und f (x)d n x üblich. Im Gegensatz zum Eindimensionalen wird im mehrdimensionalen Fall aber immer der Integrationsbereich als Menge unten ans Integralzeichen geschrieben eine Schreibweise b a wie im Eindimensionalen werden wir nicht verwenden, zumal sie für allgemeinere Integrationsbereiche als Quader, wie wir sie im nächsten Kapitel betrachten werden, auch gar nicht möglich wäre. Beispiel 28.. Im eindimensionalen Fall sind alle obigen Definitionen offensichtlich exakt dieselben wie in Kapitel 2, so dass sich in diesem Fall auch der gleiche Integralbegriff ergibt. Hier sind daher zwei Beispiele für die explizite Berechnung eines mehrdimensionalen Integrals mit Hilfe von Unter- und Obersummen. (a) Es sei f : [a, b] R, f (x) = c eine konstante Funktion auf einem n-dimensionalen Quader. Dann sind alle Suprema und Infima auf von f gleich c, und demzufolge gilt sowohl für die Untersumme als auch für die Obersumme von f zu einer beliebigen Zerlegung Z: US( f,z) = OS( f,z) = vol(q) c = c vol(q). Es sollte anschaulich klar sein, dass diese Summe über die Volumina aller Teilquader das Gesamtvolumen vol([a, b]) ergibt. Wir können dies aber auch explizit mit unseren Definitionen nachrechnen: Ist Z = (Z,...,Z n ) mit Z i = {x i,,...,x i,ki } für alle i wie in Definition 28.4, so sind die Teilquader von Z ja gerade von der Form [x, j,x, j ] [x n, jn,x n, jn ]

5 28. Integralrechnung im Mehrdimensionalen 359 mit j i k i für alle i =,...,n, und damit ist vol(q) = k j = k n j n = (x, j x, j ) (x n, jn x n, jn ) ( ) ( ) k kn = (x, j x, j ) (x n, jn x n, jn ) j = } {{ } j n = } {{ } b b n a n = vol(). Damit ist also jede Unter- und Obersumme, und somit auch das Unter- und Oberintegral von f gleich c vol(), d. h. f ist wie erwartet integrierbar mit f (x)dx = c vol(). (b) Es sei f : [,] [,] R, x x x 2 die rechts dargestellte Funktion. Für ein n N > wollen wir die (im Bild für n = 4 eingezeichnete) Zerlegung Z = ({, n, 2n },...,, {, n, 2n }),..., f x 2 von [,] [,] in n 2 Teilquadrate der Seitenlänge n betrachten und analog zu Beispiel 2.2 die zugehörige Unter- und Obersumme von f berechnen. x Da f auf jedem solchen Teilquadrat [ i n, n i ] [ j n, n] j das Minimum am linken unteren Punkt ( i n, j ) n annimmt, berechnet sich die Untersumme zu n n ( i US( f,z) = i= j= n 2 f n, j ) n = ( n ) ( n ) n 4 (i ) ( j ) i= j= = n(n ) n4 2 (n )2 = 4n 2. n(n ) 2 Genauso nimmt f das Maximum auf jedem Teilquadrat am rechten oberen Punkt an, und man erhält mit der entsprechenden Rechnung Damit haben wir die Abschätzungen (n ) 2 OS( f,z) = (n + )2 4n 2. 4n 2 = US( f,z) UI( f ) OI( f ) OS( f,z) (n + )2 4n 2, da das Unter- bzw. Oberintegral nach Definition eine obere bzw. untere Schranke für die Unter- bzw. Obersummen ist. Bilden wir von dieser Ungleichungskette nun den Grenzwert für n, so sehen wir, dass 4 UI( f ) OI( f ) 4, d. h. f ist integrierbar mit [,] [,] f (x)dx = UI( f ) = OI( f ) = 4.

6 36 Andreas Gathmann Um die Integrierbarkeit von Funktionen in Zukunft einfacher beweisen zu können, halten wir als Nächstes das folgende sehr wichtige Kriterium fest, das wir auch schon aus dem Eindimensionalen kennen (siehe Lemm2.). Lemm8. (Riemannsches Integrabilitätskriterium). Es sei f : [a, b] R eine beschränkte Funktion auf einem Quader. (a) f ist genau dann integrierbar, wenn es zu jedem ε > eine Zerlegung Z von gibt mit OS( f,z) US( f,z) < ε. (b) f ist genau dann integrierbar mit Integral f (x)dx = c, wenn es zu jedem ε > Zerlegungen Z und Z von gibt mit OS( f,z) < c + ε und US( f,z ) > c ε. Beweis. Der Beweis ist wörtlich derselbe wie der von Lemm2.. Ebenfalls wie im Eindimensionalen können wir mit Hilfe dieses Kriteriums nun zeigen, dass jede stetige Funktion integrierbar ist. Satz Ist f : R eine stetige Funktion auf einem Quader, so ist f auch integrierbar auf. Beweis. Der Beweis verläuft ähnlich zu dem von Satz 2.2. Zunächst einmal ist f nach Folgerung beschränkt, so dass wir die Begriffe dieses Kapitels anwenden können. Wir zeigen nun die Integrierbarkeit von f mit dem Riemannschen Integrabilitätskriterium aus Lemm8. (a). Es sei also ε > gegeben. Beachte, dass der Quader nach Aufgabe (b) abgeschlossen, und natürlich auch beschränkt ist. Er ist damit nach Satz 23.5 (b) kompakt, und daher ist f nach Bemerkung (a) sogar gleichmäßig stetig. Es gibt also ein δ >, so dass f (x) f (y) < ε vol() für alle x,y mit x y < δ gilt. Wir wählen nun eine Zerlegung Z von, so dass alle Kantenlängen der Teilquader von Z kleiner als δ sind. Dann gilt zunächst OS( f,z) US( f,z) = vol(q) (sup{ f (x) : x Q} inf{ f (x) : x Q} ). Da alle Teilquader Q von Z kompakt sind, nimmt f dort als stetige Funktion nach Folgerung ein Maximum und Minimum an. Es gibt also Punkte y Q,z Q Q mit f (y Q ) = sup{ f (x) : x Q} und f (z Q ) = inf{ f (x) : x Q}. Weil y Q und z Q beide in dem Quader Q liegen, dessen Kantenlängen ja kleiner als δ sind, ist natürlich auch y Q z Q < δ und damit f (y Q ) f (z Q ) < Wahl von δ. Wir können oben also weiterrechnen und erhalten OS( f,z) US( f,z) = vol(q) ( f (y Q ) f (z Q )) < vol(q) ε vol() nach ε vol() = ε, da die Summe aller Volumina der Teilquader nach Beispiel 28. (a) gleich vol([a, b]) ist. Die Behauptung des Satzes ergibt sich nun also aus Lemm8. (a). Eine wesentliche Verallgemeinerung dieser Aussage werden wir in Satz kennenlernen. Zunächst einmal wollen wir aber die wichtigsten elementaren Eigenschaften des Riemann-Integrals zusammenfassen, die sich genauso wie im Eindimensionalen in Satz 2.3 ergeben. Satz 28.3 (Eigenschaften des Integrals). Es seien f, g: [a, b] R integrierbare Funktionen auf einem Quader R n und c R. (a) f + g ist ebenfalls integrierbar auf, und es gilt ( f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x) dx.

7 28. Integralrechnung im Mehrdimensionalen 36 (b) c f ist ebenfalls integrierbar auf, und es gilt c f (x)dx = c (c) Ist f g, d. h. f (x) g(x) für alle x, so ist (d) f ist ebenfalls integrierbar auf, und es gilt f (x)dx f (x)dx. f (x)dx g(x) dx. f (x) dx. Beweis. Der Beweis verläuft genauso wie in Satz 2.3, wobei sich auch der Beweis der dort zentral verwendeten Aussage aus Aufgabe 2.4 wörtlich auf den mehrdimensionalen Fall überträgt. Aufgabe 28.4 (Integrale über Randfunktionen, siehe Beispiel 2.9 (c)). Es sei f : Q R eine beschränkte Funktion auf einem Quader R n. Man zeige: Ist f (x) = für alle x Q, so ist f integrierbar mit f (x)dx =. Aufgabe 28.5 (Additivität des Integrals, siehe Satz 2.4). Es sei f : Q R eine beschränkte Funktion auf einem Quader Q = [,b ] [a n,b n ] R n. Man zeige: Ist c (,b ), so ist f genau dann auf Q integrierbar, wenn f auf Q = [,c] [,b 2 ] [a n,b n ] und Q 2 = [c,b ] [,b 2 ] [a n,b n ] integrierbar ist, und in diesem Fall gilt f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. Q Q Q 2 b 2 Q Q 2 c b Aufgabe Es seien f,g: R integrierbare Funktionen auf einem Quader R n. Man zeige: (a) Die Funktion f g ist integrierbar auf. (b) (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Ist f sogar stetig, so gibt es ein c mit f (x)g(x)dx = f (c) g(x) dx. 28.B Der Satz von Fubini Wir haben die eindimensionale Theorie des Riemann-Integrals jetzt so weit ins Mehrdimensionale übertragen, wie dies ohne nennenswerte Änderungen möglich ist. Natürlich müssen wir nun aber auch noch untersuchen, wie man mehrdimensionale Integrale überhaupt in der Praxis berechnen kann, ohne jedesmal Grenzwerte von Unter- und Obersummen bestimmen zu müssen. Dazu betrachten wir einmal die Situation wie im Bild rechts, bei der wir das Integral einer Funktion f : [,b ] [,b 2 ] R, also das Volumen unter dem Graphen dieser Funktion berechnen wollen. Halten wir dann zunächst einmal einen Wert x 2 [,b 2 ] fest, so ist das eindimensionale Integral b F(x 2 ) := f (x,x 2 )dx natürlich gerade die rechts dunkel eingezeichnete Querschnittsfläche des betrachteten Volumens mit einer senkrechten Ebene beim festen Wert x 2. f b 2 x 2 b f (x,x 2 )dx b dx 2

8 362 Andreas Gathmann Anschaulich können wir uns den Ausdruck F(x 2 )dx 2 also als eine dünne Scheibe des betrachteten Volumens vorstellen, die die Querschnittsfläche F(x 2 ) und die Dicke dx 2 hat. Summieren wir nun die Volumina dieser dünnen Scheiben von bis b 2 auf, bilden wir also das Integral b2 b2 ( b ) F(x 2 )dx 2 = f (x,x 2 )dx dx 2, so würden wir demnach erwarten, dass wir damit das gesuchte Gesamtvolumen unter dem Graphen von f erhalten: Das ursprüngliche zweidimensionale Integral sollte sich gemäß b2 ( b ) f (x,x 2 )d(x,x 2 ) = f (x,x 2 )dx dx 2 [,b ] [,b 2 ] als doppeltes eindimensionales Integral schreiben lassen, das wir dann natürlich mit unseren bekannten Methoden aus Kapitel 2 berechnen können. Wir werden nun beweisen, dass dies (unter recht milden Voraussetzungen an f ) in der Tat richtig ist. Da wir später natürlich nicht nur zweidimensionale Integrale untersuchen wollen, betrachten wir dabei gleich den allgemeinen Fall, in dem die Variablen x und x 2 oben selbst wieder aus mehreren Komponenten bestehen. Zum besseren anschaulichen Verständnis des folgenden Satzes, der im Wesentlichen die obige Idee zu einem exakten Beweis macht, ist es aber vermutlich von Vorteil, wenn ihr euch die beiden Einzelintegrale erst einmal wie oben als jeweils eindimensional vorstellt, in der Notation des Satzes also an den Fall n = n = denkt. Satz 28.7 (Satz von Fubini für Quader). Es seien und [a,b ] zwei Quader in R n bzw. R n mit Koordinaten x bzw. x. Ferner sei f : [a,b ] R eine integrierbare Funktion, für die auch die Integrale F(x ) := f (x,x )dx über die erste Komponente für alle x [a,b ] existieren. Dann ist auch F : [a,b ] R integrierbar, und es gilt ( ) F(x )dx = f (x,x )dx dx = f (x,x )d(x,x ). [a,b ] [a,b ] [a,b ] Beweis. Die erste Gleichung in der Behauptung ist natürlich einfach nur die Definition von F. Wir zeigen nun die Integrierbarkeit von F zusammen mit der zweiten Gleichung über das Riemannsche Integrabilitätskriterium aus Lemm8. (b). Es sei also ε > gegeben. Da f nach Voraussetzung integrierbar ist, gibt es nach Lemm8. (b) eine Zerlegung (Z,Z ) von [a,b ] mit US( f,(z,z )) > f (x,x )d(x,x ) ε. () [a,b ] Betrachten wir wie im Bild rechts einen Teilquader Q der so a gewonnenen Zerlegung Z von [a,b ], so gilt für alle x Q a Z b F(x ) = f (x,x )dx (Definition von F) (2) US( f {x },Z) = vol(q) inf{ f (x,x ) : x Q} vol(q) inf{ f (y,y ) : y Q,y Q } und damit auch für das Infimum dieser Zahlen inf{f(x ) : x Q } x b Z Q (Integral obere Schranke für Untersummen) (Definition der Untersumme) (größere Menge kleineres Infimum) vol(q) inf{ f (y,y ) : y Q,y Q }. (3)

9 28. Integralrechnung im Mehrdimensionalen 363 Wir erhalten so für die Untersumme von F bezüglich Z die Abschätzung US(F,Z ) = Q TQ(Z ) (3) Q TQ(Z ) vol(q ) inf{f(x ) : x Q } vol(q ) vol(q) inf{ f (y,y ) : y Q,y Q } = vol(q Q ) inf{ f (y,y ) : (y,y ) Q Q } Q Q TQ(Z,Z ) = US( f,(z,z )) () > f (x,x )d(x,x ) ε. [a,b ] Genauso zeigt man für die Obersumme von F OS(F,Z ) < [a,b ] f (x,x )d(x,x ) + ε. Damit folgt aus dem Riemannschen Integrabilitätskriterium aus Lemm8. (b), dass F integrierbar ist mit F(x )dx = f (x,x )d(x,x ). [a,b ] [a,b ] Folgerung Es seien = [,b ] [a n,b n ] ein Quader und f : R eine stetige Funktion. Dann lässt sich das Integral über f als n-faches eindimensionales Integral bn ( b2 ( b ) ) f (x)dx = f (x)dx dx 2 dx n a n berechnen. Außerdem darf die Reihenfolge dieser eindimensionalen Integrale dabei beliebig vertauscht werden (was wir auch bereits in Aufgabe (c) gesehen hatten). 73 Beweis. Dies folgt sofort mit Induktion aus Satz 28.7: Mit Q = [,b ] [a n,b n ] ergibt dieser Satz zunächst bn ( ) f (x)dx = f (x)d(x,...,x n ) dx n, a n Q da sowohl f als auch die eingeschränkte Funktion (x,...,x n ) f (x,...,x n,x n ) für festes x n stetig und damit nach Satz 28.2 integrierbar sind. Anwenden der Induktionsvoraussetzung auf das innere Integral liefert dann sofort die Behauptung. Da die Nummerierung der Variablen beliebig ist, erhält man die gleiche Aussage natürlich auch mit einer anderen Reihenfolge der Integrale. Notation In der Aussage von Folgerung 28.8 lässt man die Klammern oft weg und schreibt das Integral damit als bn b2 b f (x)dx = f (x)dx dx 2 dx n, a n wobei dann darauf zu achten ist, dass die Integrationsgrenzen an den Integralzeichen in umgekehrter Reihenfolge wie die Differentiale dx,...,dx n geschrieben werden. Beispiel Mit Hilfe von Folgerung 28.8 können wir das Integral [,] [,] x x 2 dx aus Beispiel 28. (b) nun auch einfacher berechnen, indem wir es auf zwei eindimensionale Integrale zurückführen und die Methoden aus Kapitel 2 benutzen: Es ist [,] [,] x x 2 dx = ( x x 2 dx )dx 2 = [ x 2 x ] 2 x = 2 dx 2 = x = x 2 2 dx 2 = [ x 2 ] x2 = 2 4 = x 2 = 4.

10 364 Andreas Gathmann Bemerkung 28.2 (Notwendigkeit der Integrierbarkeitsvoraussetzungen im Satz von Fubini). (a) Die Voraussetzung der Integrierbarkeit der Gesamtfunktion f in Satz 28.7 ist wirklich notwendig: Dass es nicht genügt, die Existenz des Doppelintegrals vorauszusetzen, zeigt das Beispiel der Funktion für x 2, x 2 Q, f für x > f : [,] [,] R, x 2, x 2 Q, für x 2, x 2 / Q, für x > 2, x 2 / Q. x x 2 x 2 / Q x 2 Q Für diese Funktion ist offensichtlich f (x,x 2 )dx = 2 für alle x 2 [,], und damit existiert das Doppelintegral ( f (x,x 2 )dx )dx 2 = 2 dx 2 = 2. Die Funktion f ist jedoch auf dem Quader [,] [,] nicht integrierbar, da jeder Teilquader einer Zerlegung Z von [,] [,] Punkte mit Funktionswert und solche mit Funktionswert enthält, so dass also stets US( f,z) = und OS( f,z) = und damit UI( f ) = und OI( f ) = gelten. (b) Die in Satz 28.7 vorausgesetzte Existenz des inneren Integrals F(x ) ist hingegen nicht wirklich essentiell: Existiert dieses Integral nicht für alle x, so können wir F(x ) stattdessen als das (immer existierende) Unter- oder Oberintegral der Funktion x f (x,x ) auf definieren. Tun wir dies, ändert sich im Beweis des Satzes lediglich der Ausdruck für F(x ) in (2) aber die darauf folgende Abschätzung und damit auch der Rest des Beweises bleiben weiterhin gültig, da sowohl das Unter- als auch das Oberintegral eine obere Schranke für jede Untersumme ist. In der Literatur wird der Satz von Fubini daher auch oft ohne die Voraussetzung der Existenz des inneren Integrals angegeben. Die Aussage des Satzes ist dann also so zu verstehen, dass man das innere Integral wahlweise als Unter- oder als Oberintegral interpretieren kann, falls diese nicht übereinstimmen. Aufgabe Berechne das Integral x + y d(x,y). [,2] [,2] Aufgabe Man zeige: Ist f : R > eine stetige Funktion auf einem Quader R n, so gilt f (x)dx f (x) dx (vol())2. (Hinweis: Beweise und verwende die Ungleichung f (x) f (y) + f (y) f (x) 2 für alle x,y.)