Analysis einer Variablen (Lehramt Gymnasium)

Transkript

1 Dr. Ralf Gerkmann Wintersemester 2018/19 Kilian Matzke Analysis einer Variablen (Lehramt Gymnasium) Klausur Nachname: Vorname: Matrikelnr.: Studiengang: Lehramt Gymnasium Bachelor Wirtschaftspädagogik Ihr Klausurergebnis können Sie auf der Vorlesungshomepage mit Hilfe eines Benutzernamens, eines Passworts und einer vierstelligen Identifikationsnummer abrufen, die Ihnen persönlich zugeordnet ist. Sie erhalten diese Daten während der Klausur. Aufgabe Punkte Hinweise: (a) Bitte überprüfen Sie, ob Sie neun Blätter (Deckblatt + 8 Aufgaben) erhalten haben. (b) Für die Klausur sind keine Hilfsmittel (z.b. Skripten, handschriftliche Notizen, Taschenrechner) zugelassen. (c) Schreiben Sie keine Lösungen zu unterschiedlichen Aufgaben auf dasselbe Blatt. (d) Füllen Sie das Deckblatt bitte in Blockschrift aus. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Vor- und Nachnamen. (e) Bitte denken Sie daran, jeden Schritt Ihrer Lösung zu begründen und explizit darauf hinzuweisen, wenn Sie Ergebnisse aus der Vorlesung verwenden. Die Verwendung von Ergebnissen aus Übungsaufgaben ist nicht zulässig. (f) Bitte achten Sie darauf, dass Sie zu jeder Aufgabe nur eine Lösung abgeben; streichen Sie deutlich durch, was nicht gewertet werden soll. (g) Bei Bedarf kann zusätzliches Schreibpapier angefordert werden. Bitte verwenden Sie keine eigenen Blätter. Bearbeitungszeit: 120 Minuten Viel Erfolg!

2 Aufgabe 1. (10 Punkte) Beweisen Sie durch vollständige Induktion die Gleichung n 1 + k=1 2 2k 2 = ( 4 n 3 3) für alle n N. k

3 Aufgabe 2. (7+3 Punkte) (a) Sei f : R R eine injektive Abbildung, und sei g : R R definiert durch g(x) = f(2x) + 1 für alle x R. Beweisen Sie, dass auch g injektiv ist. (b) Sei nun h : R R definiert durch 1 für x < 0 h(x) = x für x 0 für alle x R. Geben Sie die Bildmenge h(r) und die Urbildmenge h 1 (R + ) an. Ein Nachweis ist hier nicht erforderlich.

4 Aufgabe 3. Sei A = ]0, 2] \ {1}. (2+6+2 Punkte) (a) Geben Sie die Menge S (A) der unteren Schranken und die Menge S + (A) der oberen Schranken von A an. Ein Nachweis ist hier nicht erforderlich. (b) Bestimmen Sie min(a), max(a), inf(a) und sup(a), sofern diese existieren. Begründen Sie Ihre Antworten anhand der Definitionen von Minimum, Maximum, Infimum und Supremum, mit Hilfe Ihrer Ergebnisse aus Teil (a) und bekannter Aussagen aus der Vorlesung. (c) Entscheiden Sie, ob A ein Intervall ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

5 Aufgabe 4. (2+8 Punkte) (a) Was bedeutet es nach Definition, dass eine Folge (a n ) n N in R uneigentlich gegen + konvergiert? (b) Sei (a n ) n N eine Folge in R + mit lim n a n = 0. Zeigen Sie direkt anhand der Definitionen, dass ) lim (1 + 1an = + gilt. n (Die Verwendung der Definitionen ist wesentlicher Bestandteil der Lösung von (b). Das bloße Hinschreiben von Gleichungen mit zweifelhafter Aussagekraft wie etwa = 1 + = + wird mit null Punkten bewertet.)

6 Aufgabe 5. (3+4+3 Punkte) Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren, und begründen Sie Ihre Entscheidung mit Hilfe von aus der Vorlesung bekannten Konvergenzkriterien. (a) n=1 n n (b) n=1 3n 5 2n (c) ( 1) n n=1

7 Aufgabe 6. (3+7 Punkte) (a) Sei f : R \ {0} R eine Funktion. Was bedeutet es nach Definition, dass lim f(x) = 2 gilt? x 0 Geben Sie eine konkrete Funktion an, die diese Bedingung erfüllt. Ein Nachweis der Bedingung ist dabei aber nicht erforderlich. (b) Sei g : R R definiert durch g(x) = x 2 für x < 1 x + 1 für x 1. Weisen Sie nach, dass g in 1 nicht stetig, in 2 aber stetig ist. Arbeiten Sie dabei entweder direkt mit der Definition der Stetigkeit oder mit dem ε-δ-kriterium. Die Verwendung anderer Kriterien (zum Beispiel links- und rechtsseitige Stetigkeit) ist hier unzulässig.

8 Aufgabe 7. (7+3 Punkte) (a) Beweisen Sie, dass die Funktion f : R R gegeben durch 0 für x < 0 f(x) = x für x 0 in 0 nicht differenzierbar ist. Arbeiten Sie dabei direkt mit der Definition der Differenzierbarkeit. Die Verwendung von Kriterien (wie etwa links- und rechtsseitige Differenzierbarkeit, die in der Vorlesung nicht behandelt wurde) ist hier unzulässig. (b) Formulieren Sie den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung.

9 Aufgabe 8. (7+3 Punkte) (a) Bestimmen Sie mit Hilfe der aus der Vorlesung bekannten Ableitungsregeln die Ableitungsfunktionen von f : R R, x ln(e x + 1) und g : R R, x 2 3x 2 x (b) Geben Sie entweder die Definition der Obersumme S + f (Z) an, wobei f eine beschränkte Funktion auf einem endlichen abgeschlossenen Intervall [a, b] und Z = {x 1,..., x n 1 } eine Zerlegung von [a, b] bezeichnet, oder formulieren Sie den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung.