Klausur zur Linearen Algebra I

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1 Technische Universität Dortmund Wintersemester 2011/2012 Fakultät für Mathematik Klausur zur Linearen Algebra I Name: Vorname: Matrikelnummer: Studiengang: Wichtige Informationen: Prüfen Sie sofort nach Beginn der Klausur, ob Sie alle 6 Aufgaben erhalten haben. Entfernen Sie nicht die Klammerung der Blätter. Tragen Sie auf jedem Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Unterschreiben Sie die Erklärung auf dem Deckblatt. Schreiben Sie die Lösung zu einer Aufgabe nur auf die dafür vorgesehenen Blätter. Verwenden Sie stets beide Seiten. Schreiben Sie nicht auf den markierten Rand. Wenn Sie mehr Blätter benötigen, melden Sie sich. Alle Antworten sind mathematisch zu begründen. Sofern nichts anderes gesagt ist, darf dabei auf mathematische Ergebnisse aus der Vorlesung und den Übungen zur Linearen Algebra I (WS 2011/12) verwiesen werden (zum Beispiel durch ein Stichwort wie Satz von Euler oder durch kurze Beschreibung des Ergebnisses). Sie können die einzelnen Teilaufgaben einer Aufgabe in einer anderen als der vorgeschlagenen Reihenfolge bearbeiten und in jeder Teilaufgabe die erzielten (Zwischen-)Ergebnisse aus den vorher bearbeiteten Teilaufgaben verwenden. Bei Manipulation von Matrizen sind die durchgeführten Spalten- oder Zeilenoperationen stets anzugeben. Es werden die besten 5 Aufgaben gewertet. Die Bearbeitungszeit beträgt 3 Stunden. A1 A2 A3 A4 A5 A6 Summe der fünf besten Aufgaben Note Erklärung: (Diese Erklärung ist vor Klausurbeginn auszufüllen und zu unterschreiben.) Ich habe zur Kenntnis genommen, dass die Fakultät für Mathematik diese Klausur nur bis zum aufbewahrt, falls ich sie nicht nach der Klausureinsicht persönlich in Empfang nehme. Nach diesem Zeitpunkt wird nur dieses Deckblatt mit persönlichen Angaben, Klausurergebnis und Note archiviert, die Aufgabenblätter werden vernichtet Datum Unterschrift Rückgabe der Klausur: Hiermit bestätige ich den Erhalt meiner vollständigen Klausur. Ich erkenne das Ergebnis und die Note an. Datum Unterschrift

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3 Name: Vorname: Matrikelnummer: Erreichte Punktzahl: Aufgabe 1: (20 Punkte) Gegeben seien die linearen Abbildungen ϕ 1 : R[X] 3 R[X] 3, 3 a i X i i=0 3 3 a i X i + a i ( X) i, i=0 i=0 und ϕ 2 : R[X] 3 R[X] 3, 3 a i X i i=0 (a) Zeigen Sie, dass R[X] 3 = Kern(ϕ 1 ) Kern(ϕ 2 ) gilt. 3 a i X i (b) Bestimmen Sie jeweils eine Basis von Kern(ϕ 1 ) und Kern(ϕ 2 ). i=0 3 a i ( X) i. (c) Sei K ein Körper, und seien f, g : V W zwei lineare Abbildungen zwischen K Vektorräumen V und W. Zeigen Sie, daß die Abbildung f g : V W, x f(x) g(x) linear ist. (d) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix M A A (ϕ 1 ϕ 2 ), wobei A die Basis 1, 1 + X, 1 + X + X 2, 1 + X + X 2 + X 3 von R[X] 3 sei. Lösung 1: i=0

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5 Name: Matrikelnummer: Vorname: Aufgabe: 1

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7 Name: Vorname: Matrikelnummer: Erreichte Punktzahl: Aufgabe 2: (20 Punkte) Sei {( a b R := 2b a ) } a, b Q M 2 (Q). (a) Zeigen Sie, dass R ein Unterring von M 2 (Q) ist. (b) Zeigen Sie, dass R ein Körper ist. (c) Erläutern Sie kurz und ohne Beweis, inwiefern man R als Q Vektorraum auffassen kann. (d) Bestimmen Sie die Dimension von R, wenn man diesen Körper gemäß Teilaufgabe (c) als Q Vektorraum auffasst. Lösung 2:

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9 Name: Matrikelnummer: Vorname: Aufgabe: 2

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11 Name: Vorname: Matrikelnummer: Erreichte Punktzahl: Aufgabe 3: (20 Punkte) (a) Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler ggt(18117, 5670) von und (b) Bestimmen Sie unter Verwendung des folgenden euklidischen Algorithmus ganze Zahlen u, v Z mit u v 365 = = = = Geben Sie in Ihrer Lösung alle Rechenschritte an. (c) Bestimmen Sie die Verknüpfungstabelle von ((Z/12Z), ). Sie müssen Ihre Antwort nicht begründen. (d) Geben Sie an, ob ein n N mit 1066 n 21 1 existiert. Bestimmen Sie dann gegebenfalls das kleinste solche n N. (e) Sie dürfen in dieser Aufgabe nicht die Primfaktorzerlegung verwenden. Seien a, b Z mit a, b > 0. Zeigen Sie die folgenden Aussagen unter Verwendung der aus der Vorlesung bekannten Definitionen des größten gemeinsamen Teilers ggt(a, b) und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen kgv(a, b) von a und b. Es sei d := ggt(a, b). Lösung 3: (i) Es existieren x, y N mit ggt(x, y) = 1, so dass a = dx und b = dy gilt. (ii) Es gilt kgv(a, b) = dxy, wenn man x und y wie in (i) wählt.

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13 Name: Matrikelnummer: Vorname: Aufgabe: 3

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15 Name: Vorname: Matrikelnummer: Erreichte Punktzahl: Aufgabe 4: (20 Punkte) (a) Seien M 1, M 2, M 3 Mengen, und seien f : M 1 M 2 und g : M 2 M 3 Abbildungen. Zeigen oder widerlegen Sie: (i) Ist g f injektiv, so ist auch g injektiv. (ii) Ist g f injektiv, so ist auch f injektiv. (b) Sei K ein Körper, und seien m, n N. Sei A eine m n Matrix über K. Zeigen Sie, dass die zugehörige lineare Abbildung L A : K n K m genau dann surjektiv ist, wenn Rang(A) = m gilt. (c) Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrizen. Überprüfen Sie außerdem, ob die Matrizen invertierbar sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls die zugehörige inverse Matrix. Lösung 4: (i) A := (ii) B := M 4(Q) M 4(Z/5Z)

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17 Name: Matrikelnummer: Vorname: Aufgabe: 4

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19 Name: Vorname: Matrikelnummer: Erreichte Punktzahl: Aufgabe 5: (20 Punkte) (a) Seien V 1, V 2, V 3 endlich erzeugte Vektorräume über einem fest gewählten Körper. Seien f : V 1 V 2 und g : V 2 V 3 zwei lineare Abbildungen. Sei U := Kern(g) + Bild(f) V 2. Gegeben sei außerdem die lineare Abbildung g : U V 3, x g(x). Zeigen Sie die folgenden Aussagen. (i) Bild(g ) = Bild(g f). (ii) Kern(g ) = Kern(g). (iii) dim (Bild(f) Kern(g)) = dim Bild(f) dim Bild(g f). (b) Berechnen Sie den folgenden Ausdruck über dem Körper Z/7Z. Geben Sie dabei alle Zwischenergebnisse an. 1 2 ( ) Lösung 5:

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21 Name: Matrikelnummer: Vorname: Aufgabe: 5

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23 Name: Vorname: Matrikelnummer: Erreichte Punktzahl: Aufgabe 6: (20 Punkte) Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme über dem jeweils angegebenen Körper K. Geben Sie dabei alle Zwischenschritte an. (a) ( 2i i 4 + 8i 1 ), K := C (b) (c) ,, K := R K := Z/7Z Lösung 6:

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25 Name: Matrikelnummer: Vorname: Aufgabe: 6

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