Anwesenheitsübung zur Vorlesung Algebra und Zahlentheorie

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1 Anwesenheitsübung zur Vorlesung Algebra und Zahlentheorie WS 205/206 A Rincón, A Schmitt 5 Dezember 205 Aufgabe (0+0 Punkte a Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegungen der Zahlen 505 und 2600 und geben Sie damit den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache dieser beiden Zahlen an (Die Ergebnisse sind als Dezimalzahlen anzugeben b Bestimmen Sie mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus Zahlen x,y Zmit x 505+y 2600= ggt(505,2600 a Es gilt 505= Hierfür 3 Punkte (Die Primfaktoren 3, 5 und findet man schnell mit den in der Vorlesung angegebenen Teilbarkeitstests Man muss dann nur noch 9=7 3 faktorisieren Weiter 2600= Hierfür 3 Punkte Daraus erhält man ggt(505,2600= 3 5 7=05 Hierfür Schließlich folgt kgv(505,2600= = = Hierfür b Eine Probe zeigt i a i q i x i y i = =05 Jeder Rechenfehler Punkt Abzug

2 Aufgabe 2 (0+6 Punkte Es sei n Auf dem Vektorraum(Q n,+, ist durch : Q n Q n Q n (x,y 2 (x+y eine Verknüpfung gegeben a Ist assoziativ? (Sie müssen Ihre Antwort mit einem Beweis oder einem Gegenbeispiel begründen b Beweisen Sie, dass es zu Vektoren b,c Q n einen eindeutig bestimmten Vektor a mit a b=c gibt a Die Verknüpfung ist nicht assoziativ (3 Punkte Es seien x,y,z Q n Wir berechnen ( (x y z = 2 (x+y z = ( 2 2 (x+y+z = 4 x+ 4 y+ 2 z (2 Punkte und ( x (y z = x 2 (y+z = 2 (x+ 2 (y+z (2 Punkte Gleichheit kann also nur gelten, wenn = 2 x+ 4 y+ 4 z 4 x+ 2 z= 2 x+ 4 z, dh x=z (2 Punkte Für x=e, y=0 und z= e findet man zb (e 0 ( e = 4 e und e ( 0 ( e = 4 e

3 ( Punkt (Es reicht natürlich, nur das Gegenbeispiel anzugeben und zu berechnen b Es seien b,c Q n Es ist die Gleichung zu lösen (2 Punkte Sie ist äquivalent zu a b=c 2 (a+b= 2 a=c 2 b (2 Punkte Die eindeutige Lösung dieser Gleichung ist (2 Punkte a=2 c b

4 Aufgabe 3 (6 Punkte Es seien n, s und n,,n s positive natürliche Zahlen, so dass n + +n s n Beweisen Sie, dass die symmetrische Gruppe S n eine Untergruppe H enthält, die isomorph zu Z n Z ns ist Es gibt in S n paarweise disjunkte Zyklen c,,c s, so dass c i die Länge n i hat, (5 Punkte zb c i :=(n i + n i, i=,,s Dabei seien (3 Punkte Da auf Grund der Disjunktheit gilt, (3 Punkte ist n 0 := 0, n j := n + +n j, j=,,s c i c j = c j c i, i< j s, ϕ : Z n Z ns S n (k,,k s c k ck s s ein Homomorphismus, und man sieht leicht, dass ϕ injektiv ist (4 Punkte Das Bild von ϕ ist eine Untergruppe wie gefordert ( Punkt

5 Aufgabe 4 (6+3+7 Punkte Es sei ( x x 2 τ : R 2 R 3 R 3, x + x 2 + a Beweisen Sie, dass τ eine Linkswirkung von R 2 auf R 3 ist b Beschreiben Sie die Bahnen geometrisch c Geben Sie eine explizite Bijektion zwischen der Menge der Bahnen und R an a ( 0 Das Neutralelement von R 2 ist der Vektor 0 ( R 3 0 : = 0 Weiter haben wir ( x x,( x 2 x 2 R 2, Nun gilt R 3 : = ( x x 2 ( x x 2 = = = = = ( x x 2 x + x 2 + x +(x + x 2 +(x 2 + (x + x + (x 2 + x 2 + ( x + x x 2 + x 2 (( x x 2 ( x + x 2 Wir fassen R 2 als Gruppe bzgl komponentenweiser Addition von Vektoren auf

6 4 Punkte Damit sind die beiden Axiome für eine Gruppenwirkung nachgewiesen b Die Bahnen sind Ebenen in R 3, die parallel zur (x,y-ebene, dh zur Ebene {z=0}, sind c Es sei R die Mengeder Bahnen Wir benutzen eckige Klammern, um die Bahnen zu bezeichnen, dh für R 3 sei := R 2 Benutzt man die geometrische Anschauung aus Teil b, so kann man jeder Bahn ihren Schnittpunkt mit der z-achse zuordnen Dies führt zu der Abbildung π : R R 3 Punkte Man sieht leicht, dass diese Abbildung wohldefiniert ist Punkt Offensichtlich ist sie surjektiv Punkt Schließlich muss gezeigt werden, dass sie injektiv ist Seien y := Vektoren aus R 3, so dass π ( [y] = π ( [y ] Dann gilt sicherlich = y 3, und man berechnet y= =( y y y 2 y y 2 =( y y y 2 y,,y := y y 2 y 3 so dass [y]=[y ]

7 Aufgabe 5 (6 Punkte Eine quadratische Pappkarte ist beidseitig mit einem (3 3-Raster bedruckt (s Abbildung Wieviele wesentlich verschiedene Möglichkeiten gibt es, aus zweien der Kästchen ein Loch auszustanzen? Dabei werden zwei Möglichkeiten als wesentlich verschieden angesehen, wenn sie sich nicht durch Drehen und/oder Umdrehen der Karte ineinander überführen lassen Abbildung : Eine Lochkarte mit zwei ausgestanzten Kästchen Wichtig Es ist ein vollständiger Lösungsweg anzugeben Für die richtige Anzahl der Lochkarten gibt es nur zwei Punkte Die zugrundeliegende Symmetriegruppe ist D 4 Sie enthält 8 Elemente Sie operiert auf der Menge M der zweielementigen Teilmengen der neunelementigen Menge der Rasterfelder Somit gilt ( 9 #M= = = 36 Für jedes Gruppenelement wird die Anzahl der Fixpunkte bestimmt: g #M g e 36 Drehung um π/2 0 Drehung um 3 π/2 0 Drehung um π 4 Spiegelung 6 5 Punkte Jeder Fehler Punkt Abzug Wir benutzen die Formel (Skript, Satz II7 #Bahnen= #G M g g G zur Berechnung der Anzahl der Bahnen 3 Punkte Damit ergibt sich für die Anzahl s der verschiedenen Lochkarten s= 8 8 ( =

8 2 Punkte für das richtige Einsetzen in die Formel, 2 Punkte für das richtige Ergebnis Erläuterungen zur obigen Tabelle Sei g die Drehung um den Winkel π/2 oder 3 π/2 Dann hat g Ordnung vier, und die Menge M der Felder auf der Lochkarte zerfällt unter der Wirkung von g in zwei vierelementige und eine einelementige Bahn Bei einer Lochung, die unter g invariant ist, müssen die Felder einer Bahn entweder alle gelocht oder alle ungelocht sein Deshalb gilt #M g = 0 Sei g die Drehung um den Winkel π In diesem Fall zerfällt M unter der Wirkung von g in vier zweielementige und eine einelementige Bahn Die invarianten Lochungen entsprechen den zweielementigen Bahnen Es sind dies:,,, Es gibt vier Spiegelungen Die zugehörigen Spiegelachsen sind die x-achse, die y- Achse, die diagonale Achse Südwest Nordost und die diagonale Achse Südost Nordwest Für eine Spiegelung g zerfällt M in drei zweielementige und drei einelementige Bahnen Eine invariante Lochung ist damit durch eine zweielementige oder zwei einelementige Bahnen gegeben Für die Spiegelung an der Achse Südwest Nordost findet man zb:,,,,

9 Aufgabe 6 (6 Punkte Es seien k ein Körper, n eine natürliche Zahl, { B := A=(a i, j i, j=,,n GL n (k } n i> j :ai j = 0 a, a,2 a,n 0 = an,n a i,i k,i=,,n,a i, j k, i< j n 0 0 a n,n GL n (k die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen und { U := A=(a i, j i, j=,,n GL n (k } n i> j : ai j = 0, i n:a i,i = a,2 a,n 0 = an,n a i, j k, i< j n 0 0 die Untergruppe die unipotenten oberen Dreiecksmatrizen Beweisen Sie, dass U eine normale Untergruppe vonbist Zeigen Sie weiter, dass gilt B/U =T:= k k }{{} n Faktoren Es seien A =(a i, j i, j=,,n,b=(b i, j i, j=,,n,c = (c i, j i, j=,,n B, so dass für die Matrizmultiplikation C= A B gilt Dann hat man i {,,n} : c i,i = a i,i b i,i ( (Die Diagonalelemente der Produktmatrix sind die Produkte der Diagonalelemente der Faktoren, weil A und B obere Dreiecksmatrizen sind 4 Punkte Aus ( folgt sofort, dass ϕ : B T A=(a i, j i, j=,,n (a,,,a n,n

10 ein Gruppenhomomorphismus ist Der Kern von ϕ ist gerade U Damit istueine normale Untergruppe (Skript, Beispiel II96, iv Da ϕ auch surjektiv ist, folgt aus dem ersten Isomorphiesatz (Skript, Satz II0 4 Punkte B/U = Bild(ϕ=T