Klausur zur Algebra und Zahlentheorie für Lehramt Gymnasium

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1 Technische Universität Dortmund Sommersemester 2012 Fakultät für Mathematik Klausur zur Algebra und Zahlentheorie für Lehramt Gymnasium Name: Vorname: Matrikelnummer: Studiengang: Wichtige Informationen: Prüfen Sie sofort nach Beginn der Klausur, ob Sie alle 6 Aufgaben erhalten haben. Entfernen Sie nicht die Klammerung der Blätter. Tragen Sie auf jedem Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Unterschreiben Sie die Erklärung auf dem Deckblatt. Schreiben Sie die Lösung zu einer Aufgabe nur auf die dafür vorgesehenen Blätter. Verwenden Sie stets beide Seiten. Schreiben Sie nicht auf den markierten Rand. Wenn Sie mehr Blätter benötigen, melden Sie sich. Alle Antworten sind mathematisch zu begründen. Sofern nichts anderes gesagt ist, darf dabei auf mathematische Ergebnisse aus der Vorlesung und den Übungen zur Algebra und Zahlentheorie für Lehramt Gymnasium (Sommersemester 2012) verwiesen werden (zum Beispiel durch ein Stichwort wie Chinesischer Restsatz oder durch eine kurze Beschreibung des Ergebnisses). Sie können die einzelnen Teilaufgaben einer Aufgabe in einer anderen als der vorgeschlagenen Reihenfolge bearbeiten und in jeder Teilaufgabe die erzielten (Zwischen-)Ergebnisse aus den vorher bearbeiteten Teilaufgaben verwenden. Es werden die besten 5 Aufgaben gewertet. Die Bearbeitungszeit beträgt 3 Stunden. A1 A2 A3 A4 A5 A6 Summe der fünf besten Aufgaben Note Erklärung: (Diese Erklärung ist vor Klausurbeginn auszufüllen und zu unterschreiben.) Ich habe zur Kenntnis genommen, dass die Fakultät für Mathematik diese Klausur nur bis zum aufbewahrt, falls ich sie nicht nach der Klausureinsicht persönlich in Empfang nehme. Nach diesem Zeitpunkt wird nur dieses Deckblatt mit persönlichen Angaben, Klausurergebnis und Note archiviert, die Aufgabenblätter werden vernichtet Datum Unterschrift Rückgabe der Klausur: Hiermit bestätige ich den Erhalt meiner vollständigen Klausur. Ich erkenne das Ergebnis und die Note an. Datum Unterschrift

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3 Name: Vorname: Matrikelnummer: Erreichte Punktzahl: Aufgabe 1: (20 Punkte) (a) Bestimmen Sie ggt(2397, 1098). (b) Bestimmen Sie unter Verwendung des folgenden euklidischen Algorithmus ganze Zahlen u, v Z mit u v 443 = = = = Geben Sie in Ihrer Lösung alle Rechenschritte an. (c) Bestimmen Sie ggt(f, g) in Z/7Z[X] für f = 3X 5 + 2X 3 + X 2 + 6X + 5 und g = 6X 3 + 5X + 5. (d) Sei R ein Hauptidealring, und seien x, y R \ {0}. Wie ist die Beziehung zwischen ggt(x, y) bzw. kgv(x, y) und den Hauptidealen (x) und (y)? Sie müssen Ihre Antwort nicht begründen. Lösung 1:

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5 Name: Matrikelnummer: Vorname: Aufgabe: 1

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7 Name: Vorname: Matrikelnummer: Erreichte Punktzahl: Aufgabe 2: (20 Punkte) Betrachten Sie die folgenden Untergruppen von GL 2 (R) (das und N G und H G muß nicht bewiesen werden). {( ) a b G = a, c R, b R} 0 c {( ) x y N = x, y, z R, x, z > 0} 0 z {( ) u 0 H = u, v {1, 1}} 0 v (a) Erklären Sie ganz allgemein, was es für eine Gruppe G mit Untergruppen N, H bedeutet, dass G das semidirekte Produkt von N mit H ist (G = N H). (b) Zeigen Sie, dass N ein Normalteiler von G ist. (c) Zeigen Sie, dass G das semidirekte Produkt von N mit H ist: G = N H. Ist G auch das innere direkte Produkt von N und H? Begründen Sie ihre Antwort. (d) Bestimmen Sie [G : N]. (Hinweis: In welcher Beziehung stehen G/N und H?) Lösung 2:

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9 Name: Matrikelnummer: Vorname: Aufgabe: 2

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11 Name: Vorname: Matrikelnummer: Erreichte Punktzahl: Aufgabe 3: (20 Punkte) (a) Sei σ := ( (i) Schreiben Sie σ als Produkt disjunkter Zyklen. (ii) Überprüfen Sie, ob σ A 13. (iii) Bestimmen Sie die Ordnung von σ und berechnen Sie σ 450. ) S 13. (b) Sei G eine endliche Gruppe, und sei p eine Primzahl. Zeigen Sie: Ist N ein Normalteiler von G, der eine p Sylowuntergruppe von G enthält, dann enthält N alle p Sylowuntergruppen von G. (c) Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung 165. Zeigen Sie, dass G nicht einfach ist. (d) Bestimmen Sie das Untergruppendiagramm von C 78. Lösung 3:

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13 Name: Matrikelnummer: Vorname: Aufgabe: 3

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15 Name: Vorname: Matrikelnummer: Erreichte Punktzahl: Aufgabe 4: (20 Punkte) Sei R := {a + b 2 a, b Z}. Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass R ein Unterring von C ist, und dass bei der Darstellung a + b 2 (a, b Z) eines Elementes in R die Elemente a, b Z eindeutig sind. Sie dürfen außerdem verwenden, dass N : R N 0, a + b 2 (a + b 2)(a b 2) = a 2 + 2b 2, eine Abbildung mit der Eigenschaft N(xy) = N(x)N(y) für alle x, y R ist. (a) Ist R ein Integritätsbereich? Ist R ein Körper? Begründen Sie Ihre Antworten. (b) Zeigen Sie, dass R = {x R N(x) = 1} gilt. (c) Bestimmen Sie alle Elemente in R. (d) Betrachten Sie die Abbildung ϕ: A Z/2Z, a + b 2 [a] 2. Zeigen Sie, dass ϕ ein Ringhomomorphismus mit Kern ( 2) ist. (e) Zeigen Sie, dass die Ringe R/( 2) und Z/2Z isomorph sind. (f) Ist ( 2) ein Primideal in R? Ist ( 2) ein maximales Ideal in R? Begründen Sie Ihre Antworten. Lösung 4:

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17 Name: Matrikelnummer: Vorname: Aufgabe: 4

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19 Name: Vorname: Matrikelnummer: Erreichte Punktzahl: Aufgabe 5: (20 Punkte) (a) Überprüfen Sie, ob die folgenden Polynome in Q[X] irreduzibel sind. (i) 2X 4 + X 3 + X 2 + X 1 (ii) 2X 7 + 4X X 4 8X X 4 (iii) X 2 12X + 16 (b) Bestimmen Sie [Q( 3 2, i) : Q]. Lösung 5:

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21 Name: Matrikelnummer: Vorname: Aufgabe: 5

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23 Name: Vorname: Matrikelnummer: Erreichte Punktzahl: Aufgabe 6: (20 Punkte) ( ) a (a) Berechnen Sie die folgenden Jacobi Symbole der Form und überprüfen Sie jeweils, ob Q a quadratischer Rest modulo Q ist. Geben Sie dabei an, welche Ergebnisse aus der Vorlesung bzw. Übung verwendet werden. ( ) 18 (i) 11 ( ) 236 (ii) 105 ( ) 141 (iii) 169 (b) Für welche Primzahlen p mit 5 p 19 ist die folgende Gleichung in Z/pZ lösbar? Begründen Sie Ihre Antwort. (x 2 2)(x 2 3)(x 2 + 6) = 0. Lösung 6:

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25 Name: Matrikelnummer: Vorname: Aufgabe: 6

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