3 Teilbarkeit in Integritätsringen

Transkript

1 3 Teilbarkeit in Integritätsringen 3.1 Division mit Rest in Z Zu a, b Z, b > 0 existieren eindeutig bestimmte Zahlen q, r Z a = qb + r, 0 r < b. 3.2 Satz Sei K ein Körper zu f, g K[T ], g 0 existieren eindeutig bestimmte q, r K[T ] mit f = q g + r mit grad(r) < grad(g). 3.3 Definition Ein nullteilerfreier kommutativer Ring heißt Integritätsring 3.4 Definition Ein Integritätsring R heißt ein euklidscher Ring, wenn es eine Abbildung δ : R {0} N mit folgenden Eigenschaften gibt Zu a, b R, b 9 gibt q, r R mit q = qb + r und (r = 0 oder δ(r) < δ(b)). δ heißt dann eine Euklidfunktion. 3.5 Beispiel Z, K[T ] für K Körper sind euklidsche Ringe. 3.6 Bemerkung In Integritätsringen können wir kürzen. Ist a b = a b und b 0, so folgt a = a. 3.7 Definition Ein Integritätsring R heißt ein Hauptidealring, wenn jedes Ideal in R ein Hauptideal ist. 12 getext: Julia Wolters

2 Vorlesung SS 2010 Lineare Algebra 2 Prof. Dr. Bartels 3.8 Satz Sei R ein euklidscher Ring. Dann ist R auch eine Hauptidealring. 3.9 Korollar Z, K[T ] mit K Körper sind Hauptidealringe Definition Sei R ein kommutativer Ring, a, b R i) Wir sagen, a teilt b, falls es c R mit c a = b gilbt. a heißt dann ein Teiler von b und wir schreiben a b. Andernfalls a b. ii) a und b heiße assoziiert, wenn es eine Einheit u R gibt, so dass u a = b 3.11 Bemerkung Sei R ein kommutativer Ring, a R. Dann (a) = {ra r R} = {b R a b} 3.12 Lemma Sei R ein Integritätsring, a, b R. Äquivalent sind i) (a) = (b) ii) a b und b a iii) a und b sind assoziiert Definition Sei R ein Integritätsring. Sei p R \ R, p 0. i) p heißt irreduzibel, wenn gilt p = a b, a, b R a R oder b R. getext: Julia Wolters 13

3 ii) p heißt Primelement, wenn gilt p a b, a, b R p a oder p b Lemma Primelemente eines Integritätsring sind irreduzibel Satz Sei R ein Hauptidealring und p R \ R, p 0. Dann sind äquivalent: i) p ist irreduzibel ii) p ist Primelement Proporsition Sei R ein Hauptidealring. Sei I 1 I 2... eine aufsteigende Folge von Idealen in R. Dann gibt es N N mit I n = I N, n N. Bemerkung: (a) (b) a (b) b a b a (a) = {r a r} {r b r} = (b). Also (a) (b) b a. In Z: I 1, I 2, I 3 mit I 1 I 2 I 3? (100) (50) (10) (5) Z Satz In jedem Hauptidealring lässt sich jedes Element a R \ R, a 0 als Produkt von endlich vielen Primelementen schreiben Lemma Sei R ein Integritätsring. Sei p 1... p r = q 1... q s mit Primelementen p 1,..., p r und irreduziblen Elementen q 1,..., q s. Dann s = r und nach Umnummerierung gibt es Einheiten ε 1,..., ε s R, so dass q i = ε i p i, i = 1,..., s. 1 1 Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung 14 getext: Julia Wolters

4 Vorlesung SS 2010 Lineare Algebra 2 Prof. Dr. Bartels 3.19 Bemerkung Ein Integritätsring R, in dem sich jedes Element a R \ R, a 0 als Produkt von endlich viele Primelementen schreiben lässt, heißt faktoriell. Nach (3.18) und (3.14) ist eine solche Zerlegung dann auch im Wesentlichen eindeutig. Nach (3.6), (3.8) und (3.17) sind insbesondere Z und K[T ], K Körper faktorielle Ring. Man kann zeigen, dass Z[T ] faktoriell, aber kein Hauptring ist. Z[i 5] := { a + bi 5 C a, b Z } ist ein Integritätsring, der nicht faktoriell ist, weil 2 Z[i 5] irreduzibel aber kein Primelement ist (Präsenzübung). 6 = 2 3 = (1 + i 5) (1 + i 5) hat keine eindeutige Zerlegung in irreduzible Elemente Beispiel Die Einheiten in Z sind ±1. Jedes Primelement ist assoziiert zu genau einer positiven Primzahl. Jedes r Z \ {0} lässt sich also bis auf Umnummerierung eindeutig schreiben als r = εp 1... p s mit positiven Primzahlen p 1,..., p s und ε = ± Beispiel Sei K ein Körper und R = K[T ]. Die Einheiten in K[T ] sind genau Polynome vom Grad 0, d.h. λ K \ {0}. Polynome der Form p = T n + a n 1 T n a 0 heißen normiert. Jedes nicht-triviale Polynom ist zu genau einem normierten Polynom assoziiert. Die Polynome vom Grad 1 sind irreduzibel, also Prim. Nach (1.20) besitzen irreduzible Polynome vom Grad 2 keine Nullstellen. Jedes Polynome p K[T ], p 0 lässt sich also bis auf Umnummerierung eindeutig schreiben als p = λ(t a 1 )... (T a r )g 1... g s wobei λ K, a 1,..., a r K, g 1,..., g s K[T ] irreduzibel normiert und ohne Nullstellen. a 1,..., a n sind Nullstellen von p Definition Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, falls jedes p K[T ] \ K eine Nullstelle besitzt. getext: Julia Wolters 15

5 3.23 Beispiel In K algebraisch abgeschlossen, so lässt sich jedes p K[T ], p 0 bis auf Umnummerierung eindeutig schreiben als p λ(t a 1 )... (T a r ) mit λ K, a 1,..., a r K, r = grad(p) Satz C ist algebraisch abgeschlossen Bemerkung Sei 0 I K[T ] ein Ideal. Dann ist I = {p}, wobei p 0 das eindeutige normierte Polynom minimalen Grades ist, das in I liegt. (vlg. Beweis von 3.8) 16 getext: Julia Wolters