In einem faktoriellen Ring A existieren der größte gemeinsame Teiler ggt und das kleinste gemeinsame Vielfache kgv: Mit 0 a = λ i I pn i

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1 2 Faktorielle Ringe In Folgenden seien alle Ringe stets Integritätsbereiche. Hier nun einige aus der Algebra 1 bekannte Definitionen und Fakten für einen Integritätsbereich A. x A heißt irreduzibel falls x A {0} und falls gilt: x = uv mit u, v A = u A oder v A. x, y A sind assoziiert falls u A mit x = uy. x A heißt prim falls x 0 und das Hauptideal (x) ein Primideal ist. Für x A gilt: x prim = x irreduzibel. Die Umkehrung gilt i.a. nicht. Falls A ein HIR (Hauptidealring) ist und x A, so gilt: x prim x irreduzibel. A heißt faktoriell falls gilt: jedes x A \ (A {0}) läss t sich zerlegen als x = n i=1 x i für geeignete n N und irreduzible x i A, und jede solche Zerlegung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge und bis auf Assoziation der x i. A HIR = A faktoriell. Sei nun A ein faktorieller Ring. Aus jeder Assoziationsklasse irreduzibler Elemente wähle man nun einen Vertreter. So erhält man ein Vertretersystem {p i i I} aller Assoziationsklassen irreduzibler Elemente (wobei I eine geeignete Indexmenge ist). Dann lässt sich also jedes 0 x A auf eindeutige Weise schreiben als x = i I pn i i mit λ A, n i N 0, fast alle n i = 0. In einem faktoriellen Ring A existieren der größte gemeinsame Teiler ggt und das kleinste gemeinsame Vielfache kgv: Mit 0 a = λ i I pn i i und 0 b = µ i I pn i i (λ, µ A ) gilt ggt(a, b) = i I p min(n i,m i ) i und kgv(a, b) = p max(n i,m i ) i i I Insbesondere gilt bis auf Assoziation ab = ggt(a, b) kgv(a, b). Im Folgenden sei A stets faktoriell mit Quotientenkörper K = Quot(A), und sei P = {p i i I} ein Vertretersystem aller Assoziationsklassen irreduzibler Elemente in A. Für a A, n N 0 schreiben wir nun a statt a (wir identifizieren also A mit 1 seinem Bild in K) und (falls a 0) a n statt 1. a n 1

2 Satz 2.1. Jedes x K lässt sich auf eindeutige Weise schreiben als x = λ i I pn i i mit λ A, n i Z, fast alle n i = 0. Beispiel. (i) A = Z, K = Q, P = {p N p Primzahl} = ( 1) (ii) A = R[X], K = R(X), P = {normierte irreduzible Polynome in R[X]}. 3X X 3 +6X 2 6X 6 = 1 2 (X2 + 1) 1 (X + 1) 2 (X 1) 1. Bemerkung. Jedes x K lässt sich schreiben als x = a mit a, b A \ {0} b und ggt(a, b) = 1, wobei a, b dadurch bis auf Assoziation eindeutig bestimmt sind. Gilt dabei a = λ i I pn i i und b = µ i I pm i i mit λ, µ A, n i, m i N 0, so hat man also x = λ µ i I pn i m i i. Definition 2.2. Sei x K und schreibe x = a mit a, b A \ {0} und b ggt(a, b) = 1. Sei p A irreduzibel. Die Ordnung v p (X) von x bei p ist definiert als { max{n N0 p v p (x) = n a und p n+1 a} falls p b max{n N 0 p n b und p n+1 b} falls p a Ferner setzt man v p (0) =. Beispiel. A = Z, K = Q. v 3 ( ) = 3, v 5( ) = 1, v 11( ) = 0. Bemerkung 2.3. Schreibe x K als x = λ i I pn i i mit λ A, n i Z, fast alle n i = 0 (siehe 2.1). Sei p A irreduzibel und sei i I sodass p i P der eindeutig bestimmte Vertreter ist, zu dem p assoziiert ist. Dann gilt v p (x) = v pi (x) = n i und damit x = λ i I pvp i (x) i. Lemma und Definition 2.4. Sei p A irreduzibel. Dann gilt: (i) v p : K Z { } mit v p (x) = x = 0; (ii) x, y K: v p (xy) = v p (x) + v p (y); (iii) x, y K: v p (x + y) min{v p (x), v p (y)}. Generell nennt man eine Abbildung v : K Z { } (auch für einen beliebigen Körper K), welche die obigen Eigenschaften (i) (iii) hat, eine Bewertung auf K. Für obiges v p spricht man auch von der p-adischen Bewertung auf K. Bemerkung. Um ganz genau zu sein, nennt man eine Abbildung mit obigen Eigenschaften (i) (iii) eine additive diskrete Bewertung vom Rang 1. Andere Typen von Bewertungen kommen in dieser Vorlesung aber nicht vor. 2

3 Bemerkung 2.5. Für x, y K gilt: (i) v p (x) 0 irreduzible p A x A; (ii) v p (x) = 0 irreduzible p A x A ; (iii) v p (x) v p (y) = v p (x + y) = min{v p (x), v p (y)}. Bemerkung 2.6. Für irreduzibles p A definieren wir A vp := {x K v p (X) 0}. Dann gilt auf kanonische Weise A vp = A(p) (Lokalisierung von A beim Primideal (p)). Insbesondere ist also A vp ein lokaler Ring mit A v p = {x K v p (x) = 0} und maximalem Ideal pa vp = {x K v p (x) > 0}. Bemerkung. Ein Ring R ist lokal R \ R ist ein Ideal in R. Sei nun f = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n K[X]. Für ein irreduzibles p A erweitern wir nun v p zu einer Abbildung ṽ p : K[X] Z mittels { falls f = 0 ṽ p (f) = min{v p (a i ) 0 i n} falls f 0 Ferner definieren wir das p-volumen von f als Vol p (f) = pṽp(f), und das Volumen von f als Vol(f) = p P Vol p(f) = p P pṽp(f). Bemerkung. (i) Wir sagen, dass x, y K assoziiert sind, in Zeichen x y, wenn es λ A gibt mit x = λy (Achtung: in K sind ja alle Elemente 0 Einheiten, wären also alle untereinander assoziiert hier beschränkt man sich bei Assoziation aber auf die Einheiten in A als erlaubte Faktoren). Damit erhält man leicht für f K[X] und c K : Vol(cf) = Vol(c) Vol(f) c Vol(f). (ii) Falls 0 f = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n A[X], so gilt Vol(f) = ggt(a 0, a 1,..., a n ). Lemma 2.7. Seien 0 f K[X] und c = Vol(f). Sei f 1 = f c = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n. Dann gilt Vol(f 1 ) = 1 und somit f 1 A[X] (d.h. alle a i A) und somit ggt(a 0, a 1,..., a n ) = 1. Satz 2.8 (Lemma von Gauß). Seien f, g K[X] \ {0}. Dann gilt: Vol(fg) = Vol(f) Vol(g). Korollar 2.9. Sei 0 f A[X]. Seien g, h K[X] mit f = gh, c = Vol(g), d = Vol(h), g 1 = g c, h 1 = h d, somit 1 = Vol(g 1) = Vol(h 1 ). Dann gilt f = cdf 1 g 1 mit cd A. Insbesondere gilt: Falls Vol(f) = Vol(g) = 1 (und damit auch g A[X]), so gilt Vol(h) = 1 (und damit auch h A[X]). 3

4 Satz Polynomringe über faktoriellen Ringen sind faktoriell. Genauer: Ist A faktoriell, so auch A[X]. Mit K = Quot(A) gilt weiterhin: die irreduziblen Elemente in A[X] sind die irreduziblen Elemente in A, und die Polynome von Grad 1 in A[X] welche irreduzibel in K[X] sind und Volumen 1 haben. Beispiel. Für A = Z: die irreduziblen Elemente in Z[X] sind ±p mit p Primzahl, und Polynome a 0 + a 1 X a n X n, a i Z, welche irreduzibel sind in Q[X] und für die gilt ggt(a 0, a 1,..., a n ) = 1. Z.B. ist 6X X + 15 irreduzibel in Z[X], 2X ist reduzibel in Z[X] da 2X = 2(X 2 + 1) (allerdings ist 2X irreduzibel in Q[X]!). Korollar Ist A faktoriell, so ist der Polynomring A[X 1,..., X n ] in n Variablen faktoriell. Bemerkung (i) A faktoriell, K = Quot(A). Für f A[X] mit Vol(f) = 1 gilt: f irreduzibel in A[X] f irreduzibel in K[X]. (ii) Sei K ein beliebiger Körper. Wir wissen: K[X] ist euklidisch und somit HIR. Mehr noch: für n 1 gilt K[X 1,..., X n ] ist HIR n = 1. Aber: K[X 1,..., X n ] ist faktoriell für alle n 1. Satz 2.13 (Eisenstein-Kriterium). Seien A faktoriell, K = Quot(A), p A irreduzibel. Sei f = a 0 + a 1 X a n X n K[X] vom Grad n (also a n 0). Angenommen es gilt: v p (a n ) = 0, und v p (a i ) 1 für 1 i n 1, und v p (a 0 ) = 1. Dann ist f irreduzibel in K[X]. Beispiel. (i) 3 5 X X X2 + 28X Eisenstein-Kriterium ist erfüllt für p = 2. Q[X] ist irreduzibel: das (ii) f = X 2 Y 3 + 2X 2 Y 2 + X 2 + 4XY 2 + XY + Y 3 + 2Y 2 + Y 1 R[X, Y ] ist irreduzibel. Dies kann man wie folgt zeigen: Zunächst kann man f schreiben als f = (X 2 + 1)Y 3 + 2(X + 1) 2 Y 2 + (X + 1)y + (X 2 1) R[X][Y ] 4

5 (also A = R[X], K = R(X)). Es gilt in R[X]: Vol(f) = ggt(x 2 + 1, 2(X + 1) 2, X + 1, X 2 1)) = 1. Damit also: f irreduzibel in A[Y ] = R[X, Y ] f irreduzibel in K[Y ] = R(X)[Y ]. Aber f ist irreduzibel in R(X)[Y ] da das Eisenstein-Kriterium für p = X + 1 R[X] erfüllt ist. 5