2 Restklassenringe und Polynomringe

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1 2 Restklassenringe und Polynomringe Sei m > 1 ganz und mz := {mx x Z}. Nach I. 5.3 gilt: Die verschiedenen Restklassen von Z modulo m sind mz, 1 + mz,..., (m 1) + mz. Für die Gesamtheit aller Restklassen modulo m schreiben wir Z/mZ = {a + mz a Z} = {mz, 1 + mz,..., (m 1) + mz}. Wir wollen die Menge Z/mZ zu einem Ring machen, indem wir Addition und Multiplikation von Restklassen erklären. Definition. Seien a, b Z. Setze 2.1 Bemerkung. (a + mz) + (b + mz) := (a + b) + mz (a + mz) (b + mz) := ab + mz a) Addition und Multiplikation sind unabhängig von der Wahl der Repräsentanten wohl definiert. b) Z/mZ ist ein Ring mit Null = mz, Eins = 1 + mz. c) Ist m = p eine Primzahl, so ist Z/pZ ein Körper. d) Ist m > 1 keine Primzahl, so ist Z/mZ kein Integritätsbereich. Beweis. Schreibe im Folgenden für mod m. a) Sei a + mz = a + mz und b + mz = b + mz. Zu zeigen: (a + b) + mz = (a + b ) + mz und ab + mz = a b + mz Nach Voraussetzung ist also a a und b b. Aus I. 5.5 folgt a + b a + b und ab a b, d.h. (a + b) + mz = (a + b ) + mz und ab + mz = a b + mz. 1

2 b) mz = 0+mZ und 1+mZ sind offenbar neutral bezüglich der Addition bzw. Multiplikation, und ( a) + mz ist ein Negatives von a + mz. Von den Rechenregeln zeigen wir exemplarisch das Distributivgesetz; für die übrigen Gesetze wären analoge Rechnungen durchzuführen. (a + mz) ((b + mz) + (c + mz)) = (a + mz) ((b + c) + mz) = = a(b + c) + mz = (ab + ac) + mz = (ab + mz) + (ac + mz) = = (a + mz)(b + mz) + (a + mz)(c + mz). c) Noch zu zeigen: Ist a + pz pz, so gibt es ein b mit (a + pz)(b + pz) = 1 + pz: a + pz pz = p a = (p, a) = 1 = I.6.4 Es gibt x, y Z mit px + ay = 1 = ay 1 mod p = ay + pz = 1 + pz, also auch (a + pz)(y + pz) = ay + pz = 1 + pz. d) Ist m = ab mit 0 < a b < m, so ist (a + mz)(b + mz) = ab + mz = m + mz = mz = 0, aber a + mz 0 und b + mz 0. Schreibe 1 für die Eins 1 + mz von Z/mZ und k für } 1 +. {{ } = (1 + mz) (1 + mz) = k + mz k mal Dann ist Z/Z = {0, 1, 2,..., m 1} und die Addition und Multiplikation in Z/mZ kann auch wie folgt beschrieben werden: (k + l Z/mZ) = (Divisionsrest modulo m von k + l Z) Beispiele für Verknüpfungstabellen m = = = 1 m = = = = 0 2

3 Einheiten und Nullteiler in Z/mZ. Setze a := a + mz Beispiele. m = 2 : 1 ist Einheit; 0 ist Nullteiler; ϕ(2) = 1 m = 3 : 1, 2 sind Einheiten; 0 ist Nullteiler; ϕ(3) = 2 m = 4 : 1, 3 sind Einheiten; 0, 2 sind Nullteiler; ϕ(4) = 2 m = 6 : 1 1 = 1, 2 3 = 6 = 0, 4 3 = 0, 5 5 = 25 = 1 = 1, 5 sind Einheiten; 0, 2, 3, 4 sind Nullteiler; ϕ(6) = 2 m = p Primzahl: Z/pZ ist ein Körper mit p Elementen = 0 ist Nullteiler, die übrigen p 1 Elemente sind Einheiten; ϕ(p) = p 1. Diese Rechnungen führen zur Vermutung. ϕ(m) = Anzahl der Einheiten von Z/mZ. 2.2 Satz. In Z/mZ gibt es genau ϕ(m) Einheiten, nämlich die primen Restklassen modulo m. (Dies sind die a+mz mit (a, m) = 1). Die übrigen Restklassen sind Nullteiler. Beweis. Sei (a, m) = 1. Nach I.7.8 gilt dann a ϕ(m) 1 mod m, d.h. (a + mz)(a ϕ(m) 1 + mz) = a ϕ(m) + mz = 1 + mz = 1. Damit ist a + mz Einheit in Z/mZ. Sei (a, m) = d > 1; m = dd, a = d d. Dann gilt ad = d dd = d m 0 mod m und 1 d < m. Also ist d + mz 0, aber (a + mz)(d + mz) = ad + mz = 0 + mz = Korollar. Das Produkt aller von Null verschiedenen Elemente von Z/pZ ist 1. Für alle r Z/pZ ist r p = r. Beweis. Nach dem Satz von Wilson ist (p 1)! 1 mod p, d.h. (1 + pz) (2 + pz)... ((p 1) + pz) = (p 1)! + pz = 1 + pz = 1 Sei r = a + pz. Nach 7.9 gilt a p a mod p, d.h. r p = (a + pz) p = a p + pz = a + pz = r. Polynomringe. Definition. Sei R ein Ring. Ein Polynom (in einer Unbestimmten X) über R ist ein Ausdruck f = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n = n a i X i 3

4 wobei n N und a o,..., a n Elemente aus R sind. Wir setzen noch a i = 0 für alle i N mit i > n. Die Elemente a i, i N nennt man die Koeffizienten von f. Ein Polynom über R ist also ein Ausdruck der Form f = a i X i mit Elementen a i R, wobei a i 0 nur für endlich viele Indizes i gilt. Beispiele X + 3 X 2 und X + 0 X X 3 sind Polynome über Z. Man schreibt dafür auch kürzer 1 + X + 3X 2 bzw. 1 + X 3, kann also in einem Polynom Summanden a i X i mit a i = 0 weglassen und X i anstelle von 1 X i schreiben. Definition. Polynome sind gleich, wenn sie die gleichen Koeffizienten haben. In Formeln: a i X i = b i X i genau dann, wenn a i = b i für i = 0, 1, 2,... Auswertung von Polynomen. Sei f = n a i X i ein Polynom über R und b R. Der Wert von f an der Stelle b ist das Element f(b) := a 0 + a 1 b a n b n = n a i b i R Bemerkung. Es kann vorkommen, daß verschiedene Polynome an allen Stellen von R den gleichen Wert annehmen. Beispiel. R = Z/2Z = {0, 1}. Die Polynome X, X 2, X 3,... haben an der Stelle 0 den Wert 0 und an der Stelle 1 den Wert 1. Bezeichne die Menge aller Polynome über R mit R[X]. Wir wollen R[X] zu einem Ring machen, in dem wir eine geeignete Addition bzw. Multiplikation von Polynomen einführen. Vorbetrachtung. Seien a 0,..., a n bzw. b 0,..., b m Elemente aus R. Setzt man noch a j = 0 für j > n und b j = 0 für j > m, so gilt nach den Rechengesetzen für R: (1) (a 0 + a 1 y a n y n ) + (b 0 + b 1 y b m y m ) = = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )y (a l + b l )y l, wenn l = Max (n, m) 4

5 und (2) (a 0 + a 1 y a n y n ) (b 0 + b 1 y b m y m ) = = c 0 + c 1 y c n+m y n+m, wobei c 0 = a 0 b 0, c 1 = a 0 b 1 + a 1 b 0, c 2 = a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0,... c k = a 0 b k + a 1 b k a k 1 b 1 + a k b 0, für k = 0,..., n + m. Wegen a j = 0 für j > n und b j = 0 für j > m ist c n+m = a 0 b n+m a n b m + a n+1 b m a n+m b 0 = a n b m. Definiere nun Addition und Multiplikation von Polynomen so, als wäre X ein Element von R. a i X i + b i X i := ( ) ( ) a i X i b i X i c k = a 0 b k + a 1 b k a k 1 b 1 + a k b 0 = := (a i + b i )X i c k X k, wobei k=0 k a i b k i. ( n ) ( m ) Insbesondere ist a i X i b i X i = c 0 + c 1 X c n+m X n+m mit c 0 = a 0 b 0, c 1 = a 0 b 1 + a 1 b 0, und c n+m = a n b m (siehe (2)). Damit wird R[X] zu einem Ring mit Eins = 1 und Null = 0. Durch Vergleich mit (1) und (2) sieht man: 2.4 Bemerkung. Sind f, g Polynome aus R[X] und ist y R, so gilt (f + g)(y) = f(y) + g(y) und (fg)(y) = f(y) g(y). Offenbar ist R R[X] ein Unterring (bestehend aus den konstanten Polynomen a = a + 0 X + 0 X , a R). Das konstante Polynom 0 = 0 X i heißt auch Nullpolynom. Definition. Sei f = a 0 + a 1 X a n X n, n 0, a n 0, ein von 0 verschiedenes Polynom. Dann nennt man n den Grad von f und a n den Leitkoeffizienten von f. 2.5 Bemerkung. Sei R ein Integritätsbereich. Dann gilt 5

6 a) R[X] ist ebenfalls ein Integritätsbereich. b) Sind f, g R[X] von Null verschiedene Polynome, so ist Grad fg = Grad f + Grad g. c) Die Einheiten von R[X] sind die Einheiten von R. Beweis. a) b) Seien f = a 0 +a 1 X +...+a n X n 0 und g = b 0 +b 1 X +...+b m X m 0 mit n 0, m 0, a n 0, b m 0. Dann ist fg = c 0 + c 1 X c n+m X n+m, c n+m = a n b m. Da R integer ist, gilt c n+m = a n b m 0. Es folgt fg 0 und Grad fg = n + m = Grad f+ Grad g. c) Sei f R[X] eine Einheit. Dann gibt es ein g R[X] mit fg = 1. Es folgt Grad f + Grad g = Grad fg = Grad 1 = 0 und daher Grad f = Grad g = 0, d.h. f = a 0, g = b 0 und fg = a 0 b 0 = 1. Es folgt f = a 0 R. Umgekehrt ist jedes konstante Polynom f = a 0 mit a 0 R in R[X] eine Einheit. Division von Polynomen mit Rest. Sei K ein Körper. 2.6 Satz. Seien f und g Polynome aus K[X], g 0. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome q, r K[X] mit (i) f = g q + r (ii) r = 0 oder r 0 und Grad r < Grad g. Beweis. Existenz: Es ist f = g 0 + f. Also ist die Menge {r K[X] Es gibt ein q K[X] mit f = g q + r } = M nicht leer (f M). 1. Fall. Ist 0 M, so ist f = gq + 0 und wir sind fertig. 2. Fall. Sei 0 M. Dann hat jedes r M einen Grad. Wähle ein r M von kleinstmöglichem Grad. Es gibt dann nach Definition von M ein q R[X] mit f = gq + r. Noch zu zeigen: Grad r < Grad g 6

7 Angenommen n := Grad r m := Grad g, r = n a i X i und g = m b i X i. Dann hat das Polynom a n b 1 m X n m g den Grad (n m) + m = n = Grad r und den Leitkoeffizienten a n b 1 m b m = a n, also r = a n X n + a n 1 X n und a n b 1 m b m X n m = a n X n + a n 1X n Setze r := r a n b 1 m X n m g = (a n 1 a n 1)X n 1 + niedriger Terme. Ferner ist f = gq + r = g(q + a n b 1 m X n m ) + r und daher r M, also r 0. Wir haben also ein r M gefunden mit Grad r n 1 < n = Grad r, im Widerspruch zur Minimalität von Grad r. Eindeutigkeit. Angenommen f = gq + r = gq + r mit Grad r < Grad g oder r = 0, und Grad r < Grad g oder r = 0. Es folgt g(q q ) = r r. Wäre q q, so wäre r r = g(q q ) 0 und daher Grad (r r) = Grad g+ Grad (q q ) Grad g, im Widerspruch zur Wahl von r und r. Also ist q = q, somit auch r r = g 0 = 0, also r = r. Rechenbeispiele. Betrachte die Polynome f = X 3 + X 2 2X 2 und g = X (i) als Polynome in Q[X] (ii) als Polynome in Z/3Z[X] Zu (i): (X 3 + X 2 2X 2) : (X 2 + 1) = X + 1 X 2 3X 2 3X 3 = (X 3 + X 2 2X 2) : (X 2 + 1) = X + 1 Rest 3X 3, d.h. X 3 + X 2 2X 2 = (X 2 + 1)(X + 1) 3X 3 Zu (ii): Mithilfe der obigen Verknüpfungsstabellen für Z/3Z erhält man (X 3 + X 2 2X 2) : (X 2 + 1) = X + 1 X 3 + X X

8 da in Z/3Z gilt: 3 = 0 und 1 = 2 = (X 3 + X 2 2X 2) : (X 2 + 1) = X + 1, d.h. X 3 + X 2 2X 2 = (X 2 + 1)(X + 1) 8