Der Divisionsalgorithmus

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1 Der Divisionsalgorithmus Alexandre Wolf Seminar: Computeralgebra Fachbereich Mathematik der Universität Dortmund Dortmund, November 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Einführende Beispiele 1 2 Divisionsalgorithmus 4 A Anhang 9 Einleitung Ziel dieses Vortrags ist es, einen Algorithmus für die Division von Polynomen in mehreren Veränderlichen zu konstruieren. Zu Beginn werden gewisse Eigenschaften dieser Division anhand von konkreten Beispielen aufgezeigt. Darauf aufbauend wird dann der Algorithmus formuliert und bewiesen, anschließend an einem Beispiel ausgeführt. Mit einer wichtigen Definition für den Buchberger Algorithmus schließt der Abschnitt ab. 1 Einführende Beispiele Beispiel 1.1 Zunächst betrachten wir über dem Körper Q und dem Polynomring P = Q[x] die Polynome f(x) := x 3 + 2x 2 + x + 1 und g(x) := 2x + 1 1

2 Division mit Rest liefert (x 3 + 2x 2 + x + 1) : (2x + 1) = 1 2 x x Rest 7 8 (x x2 ) 3 2 x2 + x ( 3 2 x2 + 3x) 4 1 x ( 1x + 1) 4 8 Man erhält also eine eindeutige Darstellung 7 8 f = qg + p mit q(x) := 1 2 x2 + 3x p(x) := 7 8 Offenbar gilt : deg(p) = 0 < 1 = deg(g). Beispiel 1.2 (i) Über dem Polynomring Q[x 1, x 2 ] seien folgende Polynome definiert f(x 1, x 2 ) := x 2 1x 2 + x 1 x x 2 2 g 1 (x 1, x 2 ) := x 1 x 2 1 g 2 (x 1, x 2 ) := x Ziel: finde eine Darstellung der Form f = q 1 g 1 + q 2 g 2 + p,wobei q 1, q 2 und p mit deg(p) < 2 Polynome sind. Dazu werden die in den jeweiligen Einzelschritten auftretenden lexikographischen Leitterme von f nacheinander soweit wie möglich mittels g 1 und g 2 eliminiert. Zunächst ergibt die Division mit g 1 : (x 2 1x 2 + x 1 x x 2 2) : (x 1 x 2 1) = x 1 + x 2 Rest x 1 + x x 2 (x 2 1x 2 x 1 ) x 1 x x 1 + x 2 2 (x 1 x 2 2 x 2 ) x 1 + x x 2 dann die Division des Restes durch g 2 : (x 1 + x x 2 ) : (x 2 2 1) = 1 Rest x 1 + x (x 2 2 1) x 1 + x

3 Dies erbringt die erwünschte Darstellung : f = q 1 g 1 + q 2 g 2 + p mit q 1 (x 1, x 2 ) := x 1 + x 2 q 2 (x 1, x 2 ) := 1 p(x 1, x 2 ) := x 1 + x Dabei gilt erneut: deg(p) = 1 < 2 = deg(g 1 ) = deg(g 2 ). (ii) Ändert man die Reihenfolge der Divisionsschritte, so bekommt man zunächst wieder bei Division durch g 1 : (x 2 1x 2 + x 1 x x 2 2) : (x 1 x 2 1) = x 1 Rest x 1 x x 1 + x 2 2 (x 2 1x 2 x 1 ) x 1 x x 1 + x 2 2 Division des Restes durch g 2 : (x 1 x x 1 + x 2 2) : (x 2 2 1) = x Rest 2x (x 1 x 2 2 x 1 ) 2x 1 + x 2 2 ( 1 + x 2 2) 2x Es entsteht also eine alternative Darstellung der Form: f = q 1 g 1 + q 2 g 2 + p mit q 1 (x 1, x 2 ) := x 1 q 2 (x 1, x 2 ) := x p(x 1, x 2 ) := 2x Auch hier gilt: deg( p) = 1 < 2 = deg(g 1 ) = deg(g 2 ). Die Polynomdivision in mehreren Veränderlichen ist also nicht eindeutig bestimmt. Desweiteren bleibt festzustellen, dass der Grad des Restpolynoms p stets kleiner als derjenige der einzelnen Divisoren g 1 und g 2 ist. Die Division von Polynomen in mehreren Unbestimmten aus Beispiel 1.2 wird nun verallgemeinert. 3

4 2 Divisionsalgorithmus Theorem 2.1 Es seien s N, P = K[x 1,..., x n ] ein Polynomring in n Unbestimmten, m, g j P r \ {0} für j N s := {1,..., s} und σ eine Modultermordnung auf T n e 1,..., e r. Die Polynomdivision in mehreren Veränderlichen gelingt wie folgt: (i) Seien q j = 0, p = 0 (= 0 r ) und v = m. (ii) Finde kleinstes j N s, so dass LT σ (v) ein Vielfaches von LT σ (g j ) ist. Existiert ein solches j, dann ersetze q j v durch v LMσ(v) LM σ (g j ) g j. durch q j + LMσ(v) LM σ(g j ) und (iii) Wiederhole Schritt (ii) solange, bis es kein derartiges j mehr gibt. Dann ersetze das Restpolynom p durch p+lm σ (v) und v durch v LM σ (v). (iv) Gilt v 0, dann starte wieder mit Schritt (ii). Falls v = 0 ist, so gib die Vektoren (q 1,..., q s ) P s und p P r aus, die der Gleichung m = s q j g j + p genügen, so dass folgende Eigenschaften erfüllt sind: (a) Für alle t supp(p) gilt : t / LT σ (g 1 ),..., LT σ (g s ). (b) Ist q j 0 für j N s, dann gilt: (c) Für alle j N s LT σ (q j g j ) σ LT σ (m). und alle Terme t supp(q j ) gilt: t LT σ (g j ) / LT σ (g 1 ),..., LT σ (g j 1 ). Erfüllen (q 1,..., q s ) P s und p P r die Bedingungen (a), (b) und (c), so sind sie durch die Vektoren m, g j P r eindeutig bestimmt. Beweis: In den Schritten (i) bis (iv) gilt stets die Gleichung m = s q j g j + p + v ( ). Sind die entsprechenden Größen in ( ) gemäß (i) null, so folgt direkt v = m. In den beiden darauffolgenden Schritten wird lediglich eine Ergänzung vorgenommen, denn man hat sowie q j g j + v = (q j + LM σ(v) LM σ (g j ) )g j + (v LM σ(v) LM σ (g j ) g j) p + v = (p + LM σ (v)) + (v LM σ (v)). Für v = 0 ergibt sich die in (iv) angezeigte Form von m. 4

5 Bei Anwendung von Schritt (ii) und (iii) wird der Leitterm von v stets kleiner. In (ii) wird durch das Vielfache von g j das Leitmonom von v eliminiert, was in (iii) offensichtlich auch der Fall ist. Da σ als Modultermordnung auch eine Wohlordnung darstellt, muss es nach Theorem A.1 (siehe Anhang) einen kleinsten Leitterm von v geben. Für diesen gilt v = 0. Mit (iv) bricht dann der Algorithmus ab. Wegen v = m zu Beginn des Algorithmus und aufgrund der Monotonie gilt in jedem Schritt LT σ (v) LT σ (m). Nach Beendigung des Algorithmus bekommt man die Darstellung: m = s q j g j + p. p genügt Eigenschaft (a), da nach Schritt (iii) nur dann ein skalares Vielfaches eines Terms p hinzugefügt wird, falls dieser kein Vielfaches der Leitterme der g j ist. Nun wird mit Induktion nach der Anzahl der durchgeführten Schritte Eigenschaft (b) nachgewiesen. Induktionsanfang: da in Schritt (i) stets q j = 0 gilt, gibt es nichts zu zeigen. Induktionsvoraussetzung: LT σ (q j g j ) LT σ (m) für q j 0. Induktionsschritt: unter der Voraussetzung, dass der alte und neue Wert von q j nicht trivial sind, gelten bei Anwendung von Schritt (ii) immer die Ungleichungen: LT σ ((q j + LM σ(v) LM σ (g j ) )g j) σ max σ {LT σ (q j g j ), LT σ (v)} σ LT σ (m). Der Beweis dazu erfolgt mit Satz A.1 (i) (siehe Anhang), so dass LT σ (q j g j + LMσ(v) LM σ(g j ) g j) σ Desweiteren gilt mit: max σ {LT σ (q j g j ), LT σ ( LMσ(v) LM σ(g j ) g j)}. v = m c i t i e γi mit t 1 e γ1 > σ... > σ t m e γm i=1 g j = l c i t i e δi mit t 1 e δ1 > σ... > σ t l e δl i=1 LM σ(v) LM σ (g j ) g j = c 1t 1 e γ1 c 1 t 1 e γ1 g j = c 1t 1 e γ1 c 1 t 1 e γ1 ( c 1 t 1 e γ1 + c 2 t 2 e δ2 + (Rest) ) = c 1 t 1 e γ1 + (Rest). Also LT σ ( LM σ(v) LM σ(g j ) g j) = LT σ (v) 5

6 und damit auch max σ {LT σ (q j g j ), LT σ ( LMσ(v) LM σ (g j ) g j)} = max σ {LT σ (q j g j ), LT σ (v)} σ LT σ (m). Die letzte Abschätzung beruht auf der Induktionsannahme. In Schritt (ii) wird immer das minimale j N s bestimmt, für das gilt: Annahme, es gäbe eine Darstellung LT σ (v) = t LT σ (g j ) für t T n e 1,..., e r. t LT σ (g j ) = j 1 k=1 s k LT σ (g k ). Dies ist nach Schritt (ii) aber nicht möglich, da gerade dieses j minimal ist, so dass LT σ (v) sich als Vielfaches von LT σ (g j ) ausdrücken lässt. Die rechte Seite der Gleichung, nach der es ein kleinstes j {1,..., j 1} geben würde, widerspricht also der Minimalität von j. Demnach kann t LT σ (g j ) nicht im Erzeugnis der Terme LT σ (g 1 ),..., LT σ (g j 1 ) liegen. Eindeutigkeit: Annahme, es gäbe zwei Darstellungen für m gegeben durch: m = s q j g j + p = s q j g j + p, so dass die Bedingungen (a), (b) und (c) erfüllt sind. Die Differenz beider Gleichungen liefert: p p = s (q j q j )g j ( ). Nach (a) gilt LT σ ( p p) / LT σ (g 1 ),..., LT σ (g s ) für p p, da offensichtlich LT σ ( p p) supp(p) gilt. Ferner folgt mit (c) sowie Satz A.1 (iii) (siehe Anhang) für q j q j : LT σ ((q j q j )g j ) = LT σ (q j q j ) LT σ (g j ) / LT σ (g 1 ),..., LT σ (g j 1 ). Also sind die Leitterme LT σ ((q j q j )g j ) in ( ) paarweise verschieden. Wegen Satz A.1 (ii) (siehe Anhang) folgt wegen LT σ ( p p) = max σ {LT σ ((q j q j )g j )} }{{} der Widerspruch zu (a) und damit zunächst und dann auch q j q j = 0 p p = 0. LT σ (g 1 ),..., LT σ (g s ) 6

7 Es kann aber dennoch q j q j geben, die ungleich null sind. In diesem Fall bringt man das maximale q j q j 0 auf die linke Seite von Gleichung ( ) und vollzieht für dieses analog die vorangegangene Beweiskette. Beispiel 2.1 Es seien n = 2, r = 1 und P = Q[x 1, x 2 ]. Betrachte das Polynom m = x 1 x 2 2 x 1 sowie die Divisoren g 1 = x 1 x und g 2 = x Ferner lege die lexikographische Termordnung zugrunde, d. h. σ = Lex (siehe Anhang Definition A.4). Das kleinste j {1, 2}, für das LT σ (m) = LT σ (v) ein Vielfaches von LT σ (g j ) bildet, ist j = 1, denn LT σ (m) = x 1 x 2 2 = x 2 LT σ (g 1 ). Man hat dann und q 1 = LM σ(v) LM σ(g 1 ) = x 1x 2 2 x 1 x 2 = x 2 v = x 1 x 2 2 x 1 x 2 g 1 = x 1 x 2 2 x 1 x 1 x 2 2 x 2 = x 1 x 2 0. Es gibt kein weiteres j, d. h. q 2 = 0, und weiter p = x 1 sowie v = x 1 x 2 ( x 1 ) = x 2. Da v 0 und erneute Anwendung von (ii) nicht möglich ist, befolge wieder Schritt (iii), so dass dann p = x 1 x 2 und v = x 2 ( x 2 ) = 0. Man bekommt also m = q 1 g 1 + q 2 g 2 + p. Offensichtlich ist m = x 1 g 2 des Untermoduls g 1, g 2. im Ideal g 1, g 2 P enthalten und somit Element Bemerkung 2.1 Mit dem Divisionsalgorithmus kann die Restklasse eines Elements m modulo dem Untermodul, das durch {g 1,..., g s } erzeugt wird, als Linearkombination von Termen geschrieben werden, die kein Vielfaches von LT σ (g 1 ),..., LT σ (g s ) sind. 7

8 Beispiel 2.2 In Beispiel 1.2 (i) und (ii) gibt es keine eindeutige Zerlegung von f : f = (x 1 + x 2 )g 1 + g 2 + (x 1 + x 2 + 1) = x 1 g 1 + (x 1 + 1)g 2 + (2x 1 + 1). Es ist x 1 x 2 = (2x 1 + 1) (x 1 + x 2 + 1) = x 2 (x 1 x 2 1) x 1 (x 2 2 1) ein Element des Ideals g 1, g 2 Q[x 1, x 2 ]. Demzufolge haben x 1 und x 2 dieselbe Restklasse in P/ g 1, g 2. Definition 2.1 Es seien s N, m, g 1,..., g s P r \ {0} und G := (g 1,..., g s ). Anwendung des Divisionsalgorithmus liefert m = s q j g j + p, q j P, p P r. Dann heißt p der normale Rest von m bezüglich G. Notation: NR σ,g (m) := p, kurz NR G (m). Im Fall m = 0 setzt man NR G (m) = 0. 8

9 Ausblick A Anhang Definition A.1 (a) Ein Tripel (R, +, ) bestehend aus einer Menge R und zwei Operationen heißt Ring, falls gilt: + : R R R mit (a, b) a + b : R R R mit (a, b) a b (i) (R, +) ist eine abelsche Gruppe. (ii) Die Operation ist assoziativ. (iii) Es gelten die Distributivgesetze. (b) Ist die Operation kommutativ und existiert für letztere ein neutrales Element (Einselement), so wird (R, +, ) ein kommutativer Ring mit Eins genannt. (In der zugrundeliegenden Ausarbeitung sprechen wir der Kürze wegen von einem Ring.) Definition A.2 (i) Die Menge aller Polynome in einer Veränderlichen über R wird mit R[x] bezeichnet. Jedes Element von R[x] hat eine eindeutige Darstellung der Form p(x) = j N 0 r j x j, r j R, r j 0 nur für endlich viele Indizes j. (ii) Allgemein definiert man durch R[x 1,..., x n ] die Menge aller Polynome in n Unbestimmten über R. Definition A.3 (i) Ein Element t R[x 1,..., x n ] der Form t = n oder auch Potenzprodukt. (ii) Die Menge aller Terme sei T n := T(x 1,..., x n ). (iii) Der Grad von t T n ist gegeben durch (iv) Die durch n der Logarithmus. x α j j mit α j N 0 heißt Term deg(t) := n α j. x α j j (α 1,..., α n ) definierte Abbildung log : T n N n 0 heißt 9

10 Definition A.4 Für t 1, t 2 T n gilt t 1 Lex t 2 genau dann, wenn die erste nichttriviale Komponente von log(t 1 ) log(t 2 ) positiv ist oder t 1 = t 2 gilt. Die Termordnung Lex wird lexikographische Termordnung genannt. Definition A.5 Es sei (Γ, ) ein Monoid und (Σ, ) ein Γ-Monomodul. Eine vollständige Relation σ auf Σ heißt Modul-Ordnung, wenn für alle s 1, s 2, s 3 Σ und γ Γ gilt: (i) Reflexivität: s 1 σ s 1. (ii) Antisymmetrie: s 1 σ s 2 s 2 σ s 1 s 1 = s 2. (iii) Transitivität: s 1 σ s 2 s 2 σ s 3 s 1 σ s 3. (Die Definitionen der Begriffe Monomodul und vollständige Relation sind aus [1] (Seite 41 bzw. 50) zu entnehmen.) Definition und Bemerkung A.1 Es seien R ein Ring, P := R[x 1,.., x n ] ein Polynomring, σ eine Modulordnung auf der Menge aller Terme T n e 1,..., e r von P r. Die Elemente von P r haben die Form t e j für t T n. Jedes Element m P r \{0} hat eine eindeutige Darstellung als Linearkombination von Termen: m = Definition A.6 s Für obiges m definiert man: c j t j e γj, c j R\{0}, t j T n, γ j N r, t 1 e γ1 > σ... > σ t s e γs. T n e 1,..., e r heißt der Leitterm von m bezüg- (i) Der Term LT σ (m) := t 1 e γ1 lich σ. (ii) Das Element LC σ (m) := c 1 R\{0} heißt der Leitkoeffizient von m bezüglich σ. (iii) Der Term LM σ (m) := LC σ (m) LT σ (m) heißt das Leitmonom von m bezüglich σ. Satz A.1 Es seien P ein Polynomring über R, σ eine Modulordnung auf T n e 1,..., e r. Dann gelten die folgenden Rechenregeln: (i) Man hat supp(m 1 + m 2 ) supp(m 1 ) supp(m 2 ). Ist überdies m 1 + m 2 0, so folgt die Abschätzung: LT σ (m 1 + m 2 ) σ max σ {LT σ (m 1 ), LT σ (m 2 )}. 10

11 (ii) Gelten die Beziehungen m 1 + m 2 0 sowie LT σ (m 1 ) LT σ (m 2 ) (bzw. LC σ (m 1 ) + LC σ (m 2 ) 0), dann ist: LT σ (m 1 + m 2 ) = max σ {LT σ (m 1 ), LT σ (m 2 )}. (iii) Ist R ein Integritätsring und τ eine Monoidordnung auf T n, so dass σ mit τ verträglich ist, dann gilt für g P : Beweis: Siehe in [1] auf Seite 61. Definition A.7 Für n N seien der Vektor m = f := c α t α P gegeben. α N n 0 LT σ (gm) = LT σ (g) LT σ (m). r α N n 0 c α,j t α e j P r und das Polynom (i) Das Element c α,j R heißt der Koeffizient des Terms t α e j vom m. (ii) Der Träger von m ist gegeben durch: supp(m) := {t α e j T n e 1,..., e r c α,j 0}. (iii) Der Grad von f, f 0, ist definiert durch: Definition A.8 deg(f) := max{deg(t α ) t α supp(f)}. Eine Modulordnung σ auf einer Menge M heißt Wohlordnung, falls jede nichtleere Teilmenge S M ein kleinstes Element m S enthält, d. h. es gilt: Theorem A.1 m σ m m S. Eine Modulordnung σ ist genau dann eine Wohlordnung auf T n e 1,..., e r, falls jede monoton fallende Folge (m j ) j N in M eine konstante Teilfolge besitzt. Beweis: Siehe in [1] auf Seite 56. Definition A.9 Es sei R ein Ring. Eine Teilmenge I R heißt genau dann ein Ideal von R, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: (i) (I, +) ist eine Untergruppe von (R, +). (ii) R I I (p I, r R pr I rp I). Literatur [1] M. Kreuzer und L. Rabbiano, Computational Commutative Algebra 1. Springer Verlag,