WS 2009/10. Diskrete Strukturen

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1 WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Kapitel V Algebraische Strukturen Algebraische Strukturen Grundlagen Gruppen Endliche Körper Zahlenkörper Polynomkörper 2

3 Definition: Eine Algebra Operatoren und heißt Ring, falls R1. S, ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 S. mit zwei zweistelligen R2. S, ist ein Monoid mit neutralem Element 1 S. R3. A S,, a ( b c) ( a b) ( a c) a, b,c S ( b c) a ( b a) (c a) a, b,c S 3

4 Definition: 4 Eine Algebra A S,, mit zwei zweistelligen Operatoren und heißt Körper, falls K1. S, ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 S. K2. S \ 0, ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 S. K3. a ( b c) ( a b) ( a c) a, b,c S (Das Rechts-Distributivgesetz folgt aus den übrigen Eigenschaften.)

5 Beispiele (wobei im weiteren Verlauf häufig durch + und durch ersetzt werden),, : kommutativer (in Bezug auf ) Ring,, n,n n n n,,,,, : Körper 1: kommutativer Ring,, : Körper 5

6 Beispiel: Setzt man K = {0,1,a,b} und definiert eine Addition und Multiplikation wie folgt: 0 1 a b a b b a a a b 0 1 b b a a b a b a 0 a b 1 b 0 b 1 a 6 so bildet K,, einen Körper.

7 Endliche Körper sind in der Kryptographie und in der Computer-Algebra sehr nutzlich. Frage: wie findet man endliche Körper? Wir werden eine erste Antwort durch diesen Satz geben: Satz: Bezeichnet man mit + n und n die Addition bzw. Multiplikation Modulo n, so gilt: Z n, + n, n ist ein Körper n ist Primzahl. Zur Vorbereitung brauchen wir einige Grundeigenschaften des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen. 7

8 Größter gemeinsamer Teiler 8 Definition: Seien a, b N. Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größte natürliche Zahl, die sowohl a als auch b teilt, d.h. ggt(a, b) := max{k N k a und k b} wobei k m eine Abkürzung für k teilt m ist. Sind a 1,, a n N, n 3, dann definieren wir ggt(a 1,, a n ) := ggt(ggt(a 1,, a n-1 ), a n ).

9 Größter gemeinsamer Teiler Satz: Seien x, y 2 N mit x y : 1. Wenn y mod x = 0 dann ggt(x,y) = x 2. Wenn y mod x > 0 dann ggt(x,y) = ggt(x,y mod x) Beweis: 1. Klar. Zu 2. : Es gilt y = (y mod x) + by/xc x. Daraus folgt für alle z 2 N: (z x und z y) gdw. (z x und z (y mod x)). Damit haben (x,y) und (x, y mod x) dieselben gemeinsamen Teiler, und so ggt(x, y) = ggt(x, y mod x). 9

10 Größter gemeinsamer Teiler Der Satz führt zum Euklidischen Algorithmus zur Berechnung vom ggt zweier Zahlen: Procedure ggt (x, y N mit x y) if y mod x = 0 then return x else return ggt(y mod x, x) (Euklid von Alexandria, ca v. Chr.) 10

11 Größter gemeinsamer Teiler Satz: Seien x, y 2 N. Es gibt a, b 2 Z mit 11 ggt(x,y) = a x + b y Beweis: Durch Induktion über max{x,y}. Basis: max{x,y}=1. Dann x=1=y und ggt(x,y) = 1 = 1 x + 0 y. Schritt: max{x,y} > 1. O.b.d.A. sei x y. Wir betrachten zwei Fälle. Fall 1. y mod x = 0. Dann ggt(x,y) = x = 1 x + 0 y.

12 Größter gemeinsamer Teiler 12 Fall 2. y mod x > 0. In diesem Fall gelten x < y und ggt(x, y) = ggt(y mod x, x). Wir haben max{y mod x, x} = x < y max{x,y} und so (Induktionsannahme) gibt es a, b 2 Z mit ggt(x,y) = ggt(y mod x, x) = a Mit y mod x = y - by/xc x erhalten wir ggt(x,y) = a (y -by/xc x) + b x = (b -by/xc a ) x + a y. (y mod x) + b x

13 Größter gemeinsamer Teiler 13 Der Beweis des Satzes führt zu einem Algorithmus für die Berechnung der Zahlen a und b, dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus: Procedure ErwggT(Zahlen x,y N mit x y) if y mod x = 0 then return (1, 0) else (a, b ) Ã ErwggT(y mod x, x); (a, b) Ã (b -by/xc a, a ); return (a, b)

14 Größter gemeinsamer Teiler 14 Beispiel mit x= 45, y = 63. ggt(45,63) 9 = (1 b63/45c (-2)) 45 + (-2) 63 = = (-2) 63 ggt(18,45) 9 = (0 b45/18c 1) = = ggt( 9,18) 9 = = 9

15 Eigenschaften von Körpern 15 Satz: In jedem Körper K gilt für alle a K : Beweis: a 0 = 0 a = 0 Es sei a ein beliebiges Element aus K. Dann folgt aus den Axiomen: 0 + (a 0) = a 0 = a (0 + 0) = (a 0) + (a 0). Die Kürzungsregel ergibt 0 = a 0

16 Eigenschaften von Körpern Satz: In jedem Körper K gilt für alle a,b 2 K: a b = 0 a = 0 oder b = 0. (Körper sind nullteilerfremd) Beweis: Seien a,b mit a b = 0. Falls a 0, so existiert ein multiplikatives Inverses a 1 von a. Unter Verwendung des Satzes auf der letzten Seite folgt damit: b = 1 b = a 1 a b = a 1 0 = 0. 16

17 Eigenschaften von Körpern 17 Satz: Z n, + n, n ist ein Körper, n ist Primzahl. Beweis: ()): Wir beweisen die Kontraposition. Sei n 2 N eine zusammengesetzte Zahl (also keine Primzahl). Dann gibt es Zahlen a,b, mit 1 < a b < n und a b = n. Insbesondere gilt a 0 b. Aus a b = n folgt a n b = 0. Damit gilt a 0 b und a n b = 0. Aus dem Satz auf der vorigen Seite folgt, dass Z n, + n, n kein Körper ist.

18 Eigenschaften von Körpern Satz: Z n, + n, n ist ein Körper, n ist Primzahl. Beweis: ((): Sei n 2 N beliebig. Z n, + n ist eine abelsche Gruppe. Darüber hinaus ist n assoziativ und kommutativ mit neutralem Element 1. Die Distributivgesetze gelten. Wir zeigen: Wenn n eine Primzahl ist, dann hat jedes Element von Z n ein inverses Element. 18

19 Eigenschaften von Körpern Beweis (Forts.): Sei n Primzahl. Zu zeigen ist : für jedes x Z n gibt es ein y Z n mit (x n y) 1. Sei x Z n beliebig. Mit n Primzahl gilt ggt(x,n) = 1. Es existieren also Zahlen a, b 2 Z mit a x + b n = 1 (Erweiterter Euklidischer Algorithmus). Damit gilt (a n x) + n (b n n) 1. Aus (b n n) 0 folgt (a n x) 1. Wähle y := a. 19

20 Kapitel V Algebraische Strukturen Algebraische Strukturen Grundlagen Gruppen Endliche Körper: Zahlenkörper Polynomkörper 20

21 Wir untersuchen eine weitere Möglichkeit, endliche Körper zu konstruieren. Die Elemente des Körpers sind nicht mehr Zahlen, sondern Polynome. Wir erweitern die Begriffe Summe, Produkt, Division, Rest, Modulo, und Primzahl auf Polynome. Wir führen dann einen zweiten Satz über die Existenz endlicher Körper ein. 21

22 Definition 22 Sei hk, +, i ein (kommutativer) Ring. Ein Polynom über K in der Variablen x ist ein Ausdruck der Gestalt. a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 wobei n N 0, a i K und a n 0. n heißt der Grad des Polynoms, a 0,,a n seine Koeffizienten. K[x] bezeichnet die Menge der Polynome über dem Ring K in der Variablen x.

23 Definition 23 Ein Polynom p(x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 induziert eine Funktion f p : K! K definiert durch f p (b) = a n b n + a n-1 b n a 1 b + a 0 für alle b 2 K. Zwei Polynome sind gleich, wenn sie den gleichen Grad und die gleichen Koeffizienten haben. (Wir werden später sehen, dass verschiedene Polynome dieselbe Funktion induzieren können.)

24 Bemerkungen In praktischen Anwendungen gilt K = Z oder K = Z n. p(x) = 0 hat Grad 0. Formal kann das Polynom p(x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 auch mit der Folge (a 0,,a n ) gleichgesetzt werden. 24

25 Beispiele: p(x) = x 2 2x + 1 ist ein Polynom vom Grad 2. Ein linearer Ausdruck p(x)=ax + b mit a 0 ist ein Polynom vom Grad 1. Ein konstante Ausdruck p(x) = c ist ein Polynom vom Grad 0. Auf Z 2 ist p(x) = x + x 2 ein Polynom mit f p (1) = = 0 = f p (0). 25

26 Rechnen mit Polynomen Um den Wert eines Polynoms an einer bestimmten Stelle x 0 K zu bestimmen, verwendet man am besten das sogenannte Hornerschema: n n 1 n p( x) a x a x... a x a n ((...((( a x a ) x a ) x...) x a ) x a n n 1 n

27 Hat man die Koeffizienten in einem Feld a[0..n] abgespeichert, kann man den Funktionswert p(x 0 ) daher wie folgt berechnen: begin p end a[n] for i = n-1 downto 0 do p p x 0 + a[i] end 27

28 Die Summe a(x)+b(x) zweier Polynome a(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 und b(x) = b n x n + + b 1 x + b 0 ist definiert durch a(x)+b(x) = c n x n + + c 1 x + c 0, wobei c i = a i + b i. 28 Die Differenz a(x) -b(x) ist definiert durch a(x)-b(x) = d n x n + + d 1 x + d 0, wobei d i = a i + (-b i ), und -b i das inverse Element von b i bezüglich der Summe darstellt. Es gilt: grad(a(x) + b(x)) max{ grad(a(x)), grad(b(x)) }

29 Beispiele mit Z als Ring: Für a(x) = x 2 3x + 5 und b(x) = 4x + 2 ergibt sich a(x)+b(x) = x 2 + x + 7 und a(x)-b(x) = x 2-7x +3. Für a(x) = x und b(x) = x ergibt sich a(x)+b(x) = 6 und a(x)-b(x) = 2x 3-4. Beispiele mit Z 6 als Ring: Für a(x) = x 2 3x + 5 und b(x) = 4x + 2 ergibt sich a(x)+b(x) = x 2 + x + 1 und a(x)-b(x) = x 2 + 5x +3 Für a(x) = x und b(x) = x ergibt sich a(x)+b(x) = 0 und a(x)-b(x) = 2x

30 Anmerkungen Die Polynomauswertung kann mit O(n = grad(p)) Multiplikationen und Additionen realisiert werden. Die Summe (und die Differenz) zweier Polynome vom Grad n lässt sich in O(n) arithmetischen Schritten berechnen. 30

31 Das Produkt zweier Polynome 31 a(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 b(x) = b m x m + + b 1 x + b 0 erhält man durch Ausmultiplizieren und anschließendes Sortieren und Zusammenfassen der Koeffizienten, also ( a b)( x) a b (a b a b )x (a b a b a b )x m n i i 0 j 0 k ajb i j x. 2

32 Für den Grad des Produktpolynoms gilt grad(a b) = grad(a) + grad(b), falls K nullteilerfrei ist, ansonsten grad(a b) grad(a) + grad(b). 32

33 Beispiele: 33 Für a(x) = x 2 3x + 5 und b(x) = 4x + 2 ergibt sich (a b)(x) = (1 4)x 3 + (1 2 +(-3) 4)x 2 + ((-3) )x+ 5 2 = 4x 3-10x 2 +14x +10. Das Produkt zweier Polynome vom Grad n lässt sich mit O(n 2 ) arithmetischen Schritten berechnen.

34 Die Polynomdivision ist analog zur Division mit Rest bei ganzen Zahlen. Auch hier wird fortgesetzt jeweils der höchste Anteil des verbleibenden Polynoms eliminiert. Für gegebene Polynome a, b mit Koeffizienten aus einem Ring wird hierbei die Gleichung a(x) = q(x) b(x) + r(x) gelöst, wobei grad(r) < grad(b) oder grad(r) = 0. 34

35 Beispiel x x x 3 div x x 1 2x x (2 x 2x 2 x ) 3 2 x 2 x x ( x x x) 2 3 x 3 2 (3 x 3x 3) 3x 6 35

36 Kapitel IV Algebra; Körper Für zwei Polynome a und b von Grad höchstens n kann man die Polynome q und r wie im Beispiel bestimmen. Da sich der Grad des Polynoms in jeder Zeile verringert, benötigen wir also höchstens n Multiplikationen von Polynomen mit Konstanten und n Subtraktionen von Polynomen vom Grad höchstens n. Insgesamt ergibt sich: 36 Die Division zweier Polynome vom Grad höchstens n lässt sich mit O(n 2 ) arithmetischen Schritten berechnen.

37 Satz: 37 Zu je zwei Polynomen a(x) und b(x), b 0, gibt es eindeutig bestimmte Polynome q(x) und r(x), so dass a(x) = q(x) b(x) + r(x) und r = 0 oder grad(r) < grad(b). Beispiel: Im vorhergehenden Schema war das x x x 3 (2 x x 3) ( x x 1) ( 3x 6) a( x ) q( x ) b( x ) r( x )

38 Beweis: Gilt grad(a) < grad(b), so kann man q = 0 und r = a setzen. Sei also grad(a) grad(b). Induktion über grad(a): Basis: grad(a) = 0. Dann folgt aus grad(a) grad(b), dass a und b beides konstante Funktionen sind. Also a(x) = a 0 und b(x) = b 0 mit b 0 0. Wir können daher q(x) = a 0 /b 0 und r(x) = 0 setzen. 38

39 Kapitel IV Algebra; Körper Beweis (Fortsetzung): 39 Schritt: grad(a) = n > 0. Sei grad(b) = m, m n, und a(x) = a n x n + + a 1 x + a 0, a n 0 b(x) = b m x m + + b 1 x + b 0, b m 0 Wir setzen c(x) = a(x) (a n /b m )x n m b(x). Dann gilt grad(c) < grad(a). Nach Induktionsannahme gibt es daher Polynome q (x) und r (x) mit c(x) = q (x) b(x) + r (x), mit r (x) = 0 oder grad(r ) < grad(b).

40 Kapitel IV Algebra; Körper Beweis (Fortsetzung): Es gilt a(x) = (a n /b m )x n m b(x) + q (x) b(x) + r (x) = ((a n /b m )x n m + q (x)) b(x) + r (x) =: q(x) b(x) + r(x). 40

41 Kapitel IV Algebra; Körper Beweis (Fortsetzung): Um die Eindeutigkeit zu beweisen, nehmen wir an, es gäbe für Polynome a und b zwei Darstellungen wie im Satz angegeben. Also q b + r = a = q b + r und somit auch 41 (q q ) b = (r r ). Wir beweisen q=q durch Widerspruch. Falls q q, ist die linke Seite ein Polynom vom Grad mindestens grad(b). Da die rechte Seite aus der Differenz zweier Polynome vom Grad < grad(b) besteht, ist sie auch ein Polynom mit Grad < b. Widerspruch. Aus q = q folgt r = r.

42 Kapitel IV Algebra; Körper Polynomringe als Erweiterung der Zahlenringe hz, +i und hz n, + n i sind abelsche Gruppen. hz[x], +i und hz n [x], + n i ist eine abelsche Gruppe. Mit + und + n bezeichnen wir hier die Summe von 42 Polynomen. hz, i ist ein abelsches Monoid. hz[x], i ist ein abelsches Monoid. Mit wir hier das Produkt von Polynomen. hz, +, i ist ein Ring. hz[x],+, i ist ein Ring. bezeichnen

43 Kapitel IV Algebra; Körper Polynomringe als Erweiterung der Zahlenringe hz, +, i und hz[x],+, i sind unendliche Ringe. Um endliche Ringe zu bekommen, haben wir im Zahlen-Fall die Ringe Z n, + n, n betrachtet. Die Ringe Z n [x], + n, n sind jedoch immer noch unendlich, weil Z n [x] Polynome mit beliebigem Grad enthält. Z.B. Z 2 [x] = {0, 1, x, x 2, x 3, x 4, } Um dieses Problem zu lösen verwenden wir denselben Trick nochmal. 43

44 Kapitel IV Algebra; Körper Wir erweitern die Begriffe Teilbarkeit und Modulorechnung auf Polynome: 44 Wir definieren: a(x) teilt b(x), wenn es ein Polynom q(x) K[x] gibt, so dass b(x) = q(x) a(x). D.h., der Rest der Polynomdivision ist 0 is. a(x) ist kongruent zu b(x) modulo (x), d.h., a(x) b(x) (mod (x)), genau dann, wenn a(x) - b(x) durch (x) teilbar ist.

45 Kapitel IV Algebra; Körper Beispiel: Sei K = Z 3 und ¼(x) = x Die möglichen Reste der Division durch ¼(x) sind die Polynome mit Koeffizienten in Z 3 und Grad 0 oder 1. Es gibt genau 9 davon: {0, 1, 2, x, x+1, x+2, 2x, 2x+1, 2x+2} Es gilt z.b. x 3 +1 (2x+1) mod ¼(x) 45

46 Kapitel IV Algebra; Körper Die Kongruenzrelation teilt die Menge K[x] in Äquivalenzklassen: 46 K[x] (x) := {f(x) f(x) K[x], grad(f) < grad(¼)}. Wenn K endlich ist, dann ist K[x] (x) auch endlich. Es gilt dann f(x) + (x) g(x) := (f(x) + g(x)) mod ¼(x) f(x) (x) g(x) := (f(x) g(x)) mod ¼ (x)

47 Kapitel IV Algebra; Körper Wir haben bewiesen Z n [x], + n, n ist Körper, n ist Primzahl Frage: Wann ist hk[x] (x), + (x), (x) i ein Körper? Antwort (ohne Beweis): Z n [x], + n, n ist Körper, (x) ist irreduzibel Definition: Ein Polynom (x) K[x] mit (x) 0 heißt irreduzibel (über K), falls für alle f(x), g(x) K[x] gilt: (x) = f(x) g(x) ) grad(f) = 0 oder grad(g) = 0. 47

48 Kapitel IV Algebra; Körper Beispiel: Betrachten wir K = Z 2 und (x) = x 2 +x+1. Z 2 [x] (x) besteht aus allen Polynomen in Z 2 [x] mit Grad 0 oder 1: Z 2 [x] (x) = {0, 1, x, x+1} Die Multiplikationstabellen sehen wie folgt aus: 48 + (x) 0 1 x x x x x+1 x x x x x+1 x+1 x 1 0 (x) 0 1 x x x x+1 x 0 x x+1 1 x+1 0 x+1 1 x

49 Kapitel IV Algebra; Körper Beispiel: Betrachten wir K = Z 2 und (x) = x Z 2 [x] (x) besteht aus allen Polynomen in Z 2 [x] mit Grad 0 oder 1: Z 2 [x] (x) = {0, 1, x, x+1} Die Multiplikationstabellen sehen wie folgt aus: 49 + (x) 0 1 x x x x x+1 x x x x x+1 x+1 x 1 0 (x) 0 1 x x x x+1 x 0 x 1 x+1 x+1 0 x+1 x+1 0

50 Kapitel IV Algebra; Körper Der Grund, warum K = Z 2 für 1(x) = x 2 +1 die Gruppeneigenschaften nicht erfüllt, ist dass 1(x) reduzibel über K ist. D.h., dass 1(x) als Produkt zweier Polynome vom Grad größer gleich 1 schreiben lässt: 1(x) = x 2 +1 = (x+1) (x+1) (in Z 2 ) Dies ist für x 2 +x+1 nicht der Fall. 50

51 Kapitel IV Algebra; Körper Satz: Ist K ein endlicher Körper und (x) ein Polynom in K[x]. Dann gilt: K[x] (x), + (x), (x) ist ein Körper (x) ist irreduzibel über K[x]. 51

52 Kapitel IV Algebra; Körper Eigenschaften von Restklassenringen Satz: Sei K ein Körper mit n Elementen, und sei g K[x], d = grad(g) 1. Dann besitzt K[x] g genau n d Elemente. 52

53 Kapitel IV Algebra; Körper Satz: Zu jeder Primzahl p und zu jeder natürlichen Zahl n 1 gibt es einen endlichen Körper mit p n Elementen; dieser wird mit GF(p n ) bezeichnet (GF = Galois Field, nach Evariste Galois ( )). 53

54 Kapitel IV Algebra; Körper Beweis: n = 1: Z p = GF(p) ist ein Körper mit p Elementen. n > 1: Sei K = Z p. Sei g Polynom vom Grad n. K[x] ein irreduzibles Dann ist K[x] g ein Körper, und hat genau p n Elemente (siehe Satz auf Seite 33). 54