WS 2008/09. Diskrete Strukturen

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1 WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Kapitel V Algebraische Strukturen Algebraische Strukturen Grundlagen Gruppen Endliche Körper Zahlenkörper Polynomkörper 2

3 Definition: Eine Algebra Operatoren und heißt Ring, falls R1. S, ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 S. mit zwei zweistelligen R2. S, ist ein Monoid mit neutralem Element 1 S. R3. A S,, a ( b c) ( a b) ( a c) a, b,c S ( b c) a ( b a) (c a) a, b,c S 3

4 Definition: Eine Algebra A S,, mit zwei zweistelligen Operatoren und heißt Körper, falls K1. S, ist ein abelscher Gruppe mit neutralem Element 0 S. K2. S \ 0, ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 S. K3. a ( b c) ( a b) ( a c) a,b,c S (Das Rechts-Distributivgesetz folgt aus den übrigen Eigenschaften.) 4

5 Beispiele (wobei im weiteren Verlauf häufig durch + und durch ersetzt werden),, : kommutativer (in Bezug auf ) Ring,, n,n n n n,,,,, : Körper 1: kommutativer Ring,, : Körper 5

6 Beispiel: Setzt man K = {0,1,a,b} und definiert eine Addition und Multiplikation wie folgt: 0 1 a b a b b a a a b 0 1 b b a a b a b a 0 a b 1 b 0 b 1 a 6 so bildet K,, einen Körper.

7 Endliche Körper sind in der Kryptographie und in der Computer-Algebra sehr nutzlich. Frage: wie findet man endliche Körper? Wir werden eine erste Antwort durch diesen Satz geben: Satz: Bezeichnet man mit + n und n die Addition bzw. Multiplikation Modulo n, so gilt: Z n, + n, n ist ein Körper n ist Primzahl. Zur Vorbereitung brauchen wir einige Grundeigenschaften des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen. 7

8 Größter gemeinsamer Teiler 8 Definition: Seien a, b N. Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größte natürliche Zahl, die sowohl a als auch b teilt, d.h. ggt(a, b) := max{k N k a und k b} wobei k m eine Abkürzung für k teilt m ist. Sind a 1,, a n N, n 3, dann definieren wir ggt(a 1,, a n ) := ggt(ggt(a 1,, a n-1 ), a n ).

9 Größter gemeinsamer Teiler Satz: Seien x, y 2 N mit x y : 1. Wenn y mod x = 0 dann ggt(x,y) = x 2. Wenn y mod x > 0 dann ggt(x,y) = ggt(x,y mod x) Beweis: 1. Klar. Zu 2. : Es gilt y = (y mod x) + by/xc x. Daraus folgt für alle z 2 N: (z x und z y) gdw. (z x und z (y mod x)). Damit haben (x,y) und (x, y mod x) dieselben gemeinsamen Teiler, und so ggt(x, y) = ggt(x, y mod x). 9

10 Größter gemeinsamer Teiler Der Satz führt zum Euklidischen Algorithmus zur Berechnung vom ggt zweier Zahlen: Procedure ggt (x, y N mit x y) if y mod x = 0 then return x else return ggt(y mod x, x) (Euklid von Alexandria, ca v. Chr.) 10

11 Größter gemeinsamer Teiler Satz: Seien x, y 2 N. Es gibt a, b 2 Z mit 11 ggt(x,y) = a x + b y Beweis: Durch Induktion über max{x,y}. Basis: max{x,y}=1. Dann x=1=y und ggt(x,y) = 1 = 1 x + 0 y. Schritt: max{x,y} > 1. O.b.d.A. sei x y. Wir betrachten zwei Fälle. Fall 1. y mod x = 0. Dann ggt(x,y) = x = 1 x + 0 y.

12 Größter gemeinsamer Teiler 12 Fall 2. y mod x > 0. In diesem Fall gelten x < y und ggt(x, y) = ggt(y mod x, x). Wir haben max{y mod x, x} = x < y max{x,y} und so (Induktionsannahme) gibt es a, b 2 Z mit ggt(x,y) = ggt(y mod x, x) = a Mit y mod x = y - by/xc x erhalten wir ggt(x,y) = a (y -by/xc x) + b x = (b -by/xc a ) x + a y. (y mod x) + b x

13 Größter gemeinsamer Teiler 13 Der Beweis des Satzes führt zu einem Algorithmus für die Berechnung der Zahlen a und b, dem Erweiteten Euklidischen Algorithmus: Procedure ErwggT(Zahlen x,y N mit x y) if y mod x = 0 then return (1, 0) else (a, b ) Ã ErwggT(y mod x, x); (a, b) Ã (b -by/xc a, a ); return (a, b)

14 Größter gemeinsamer Teiler 14 Beispiel mit x= 45, y = 63. ggt(45,63) 9 = (1 b63/45c (-2)) 45 + (-2) 63 = = (-2) 63 ggt(18,45) 9 = (0 b45/18c 1) = = ggt( 9,18) 9 = = 9

15 Eigenschaften von Körpern 15 Satz: In jedem Körper K gilt für alle a K : Beweis: a 0 = 0 a = 0 Es sei a ein beliebiges Element aus K. Dann folgt aus den Axiomen: 0 + (a 0) = a 0 = a (0 + 0) = (a 0) + (a 0). Die Kürzungsregel ergibt 0 = a 0

16 Eigenschaften von Körpern Satz: In jedem Körper K gilt für alle a,b 2 K: a b = 0 a = 0 oder b = 0. (Körper sind nullteilerfremd) Beweis: Seien a,b mit a b = 0. Falls a 0, so existiert ein multiplikatives Inverses a 1 von a. Unter Verwendung des Satzes auf der letzten Seite folgt damit: b = 1 b = a 1 a b = a 1 0 = 0. 16

17 Eigenschaften von Körpern 17 Satz: Z n, + n, n ist ein Körper, n ist Primzahl. Beweis: ()): Wir beweisen die Kontraposition. Sei n 2 N eine zusammengesetzte Zahl (also keine Primzahl). Dann gibt es Zahlen a,b, mit 1 < a b < n und a b = n. Insbesondere gilt a 0 b. Aus a b = n folgt a n b = 0. Damit gilt a 0 b und a n b = 0. Aus dem Satz auf der vorigen Seite folgt, dass Z n, + n, n kein Körper ist.

18 Eigenschaften von Körpern Satz: Z n, + n, n ist ein Körper, n ist Primzahl. Beweis: ((): Sei n 2 N beliebig. Z n, + n ist eine abelsche Gruppe. Darüber hinaus ist n assoziativ und kommutativ mit neutralem Element 1. Die Distributivgesetze gelten. Wir zeigen: Wenn n eine Primzahl ist, dann hat jedes Element von Z n ein inverses Element. 18

19 Eigenschaften von Körpern Beweis (Forts.): Sei n Primzahl. Zu zeigen ist : für jedes x Z n gibt es ein y Z n mit (x n y) 1. Sei x Z n beliebig. Mit n Primzahl gilt ggt(x,n) = 1. Es existieren also Zahlen a, b 2 Z mit a x + b n = 1 (Erweiterter Euklidischer Algorithmus). Damit gilt (a n x) + n (b n n) 1. Aus (b n n) 0 folgt (a n x) 1. Wähle y := a. 19