Kryptographie mit elliptischen Kurven

Transkript

1 Kryptographie mit elliptischen Kurven Gabor Wiese Universität Regensburg Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 1

2 Problemstellung Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 2

3 Problemstellung Caesar Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 2

4 Problemstellung Caesar General Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 2

5 Problemstellung Caesar General Befehle Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 2

6 Problemstellung Caesar General Befehle Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 2

7 Problemstellung Caesar General Befehle Problem!! Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 2

8 Problemstellung Caesar verschlüsselte seine Nachrichten durch Buchstabensubstitution: Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 3

9 Problemstellung Caesar verschlüsselte seine Nachrichten durch Buchstabensubstitution: A D, Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 3

10 Problemstellung Caesar verschlüsselte seine Nachrichten durch Buchstabensubstitution: A D, B E, Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 3

11 Problemstellung Caesar verschlüsselte seine Nachrichten durch Buchstabensubstitution: A D, B E, C F,..., X A, Y B, Z C. Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 3

12 Problemstellung Caesar verschlüsselte seine Nachrichten durch Buchstabensubstitution: A D, B E, C F,..., X A, Y B, Z C. Kein Problem für Miraculix! Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 3

13 Problemstellung Handy Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 4

14 Problemstellung Handy Sendemast Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 4

15 Problemstellung Handy Sendemast Identifikation Kommunikation Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 4

16 Problemstellung Handy Sendemast Identifikation Kommunikation Niemand soll auf meine Kosten telefonieren! Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 4

17 Problemstellung Handy Sendemast Identifikation Kommunikation Niemand soll auf meine Kosten telefonieren! (Es braucht nicht jeder alles zu wissen.) Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 4

18 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch und sein wollen einen gemeinsamen zum Verschlüsseln und Entschlüsseln ihrer Nachrichten. Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 5

19 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch und sein wollen einen gemeinsamen zum Verschlüsseln und Entschlüsseln ihrer Nachrichten. Der Schlüssel soll nicht transportiert werden! Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 5

20 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch und sein wollen einen gemeinsamen zum Verschlüsseln und Entschlüsseln ihrer Nachrichten. Der Schlüssel soll nicht transportiert werden! Idee: Benutze asymmetrische Verfahren Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 5

21 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch und sein wollen einen gemeinsamen zum Verschlüsseln und Entschlüsseln ihrer Nachrichten. Der Schlüssel soll nicht transportiert werden! Idee: Benutze asymmetrische Verfahren Beispiele: RSA diskrete Logarithmen (in endlichen Körpern) Elliptische Kurven Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 5

22 Elliptische Kurven Eine elliptische Kurve ist eine Punktmenge in der x-y-ebene der Form y 2 = x 3 ax b (ohne Selbstdurchschneidungen u. Ä.) Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 6

23 Elliptische Kurven Eine elliptische Kurve ist eine Punktmenge in der x-y-ebene der Form y 2 = x 3 ax b (ohne Selbstdurchschneidungen u. Ä.) Beispiel: Die (reelle) elliptische Kurve y 2 = x 3 x. Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 6

24 Elliptische Kurven - Addition Elliptische Kurven haben etwas Besonderes: eine Addition! Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 7

25 Elliptische Kurven - Addition Elliptische Kurven haben etwas Besonderes: eine Addition! Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 7

26 Elliptische Kurven - Addition Elliptische Kurven haben etwas Besonderes: eine Addition! Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 7

27 Elliptische Kurven sind Gruppen Elliptische Kurven sind abelsche Gruppen! D.h., die Addition ist genauso wie die Addition ganzer Zahlen Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 8

28 Elliptische Kurven sind Gruppen Elliptische Kurven sind abelsche Gruppen! D.h., die Addition ist genauso wie die Addition ganzer Zahlen assoziativ: P + (Q + R) = (P + Q) + R, kommutativ: P + Q = Q + P, es gibt ein neutrales Element 0, also P + 0 = P, man kann auch subtrahieren: P + ( P) = 0. Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 8

29 Elliptische Kurven sind Gruppen Elliptische Kurven sind abelsche Gruppen! D.h., die Addition ist genauso wie die Addition ganzer Zahlen assoziativ: P + (Q + R) = (P + Q) + R, kommutativ: P + Q = Q + P, es gibt ein neutrales Element 0, also P + 0 = P, man kann auch subtrahieren: P + ( P) = 0. Ist n eine natürliche Zahl, z. B , dann schreibt man n P = } P + P + {{ + P }. n mal Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 8

30 Kinderleicht Hammerhart Sei P auf einer elliptischen Kurve vorgegeben. Es ist kinderleicht, n P auch für riesige (1000 Stellen) natürliche Zahlen n auszurechnen. Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 9

31 Kinderleicht Hammerhart Sei P auf einer elliptischen Kurve vorgegeben. Es ist kinderleicht, n P auch für riesige (1000 Stellen) natürliche Zahlen n auszurechnen. Es erscheint hammerhart, aus der Kenntnis von P und n P wieder n auszurechnen. Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 9

32 Kinderleicht Hammerhart Sei P auf einer elliptischen Kurve vorgegeben. Es ist kinderleicht, n P auch für riesige (1000 Stellen) natürliche Zahlen n auszurechnen. Es erscheint hammerhart, aus der Kenntnis von P und n P wieder n auszurechnen. Das ist die Asymmetrie, auf der der Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch beruht. Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 9

33 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Allen bekannt: elliptische Kurve und ein Punkt P darauf. Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 10

34 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Allen bekannt: elliptische Kurve und ein Punkt P darauf. Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 10

35 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Allen bekannt: elliptische Kurve und ein Punkt P darauf. 1. Wählt a N. 1. Wählt b N. Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 10

36 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Allen bekannt: elliptische Kurve und ein Punkt P darauf. 1. Wählt a N. 1. Wählt b N. 2. Berechnet a P. 2. Berechnet b P. Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 10

37 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Allen bekannt: elliptische Kurve und ein Punkt P darauf. 1. Wählt a N. 1. Wählt b N. 2. Berechnet a P. 2. Berechnet b P. 3. Verschickt a P. 3. Verschickt b P. 4. Empfängt b P. 4. Empfängt a P. Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 10

38 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Allen bekannt: elliptische Kurve und ein Punkt P darauf. 1. Wählt a N. 1. Wählt b N. 2. Berechnet a P. 2. Berechnet b P. 3. Verschickt a P. 3. Verschickt b P. 4. Empfängt b P. 4. Empfängt a P. 5. Berechnet a (b P). 5. Berechnet b (a P). Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 10

39 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Allen bekannt: elliptische Kurve und ein Punkt P darauf. 1. Wählt a N. 1. Wählt b N. 2. Berechnet a P. 2. Berechnet b P. 3. Verschickt a P. 3. Verschickt b P. 4. Empfängt b P. 4. Empfängt a P. 5. Berechnet a (b P). 5. Berechnet b (a P). Gemeinsames Geheimnis: = (a b) P. Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 10

40 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Transportiert werden a P und b P. Der Schlüssel (a b) P wird nicht transportiert! Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 11

41 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Transportiert werden a P und b P. Der Schlüssel (a b) P wird nicht transportiert! Das Berechnen von a, b bzw. (a b) P aus a P und b P ist hammerhart (= praktisch unmöglich)! Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 11

42 Technische Details Man nimmt elliptische Kurven über einem endlichen Körper F p. Die Primzahl p sollte zumindest 100 Stellen haben. Nicht jede Kurve ist sicher. Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 12

43 Da hilft nur noch eins... Kryptographie mit elliptischen Kurven p. 13