IT-Sicherheit. Jun.-Prof. Dr. Gábor Erdélyi. Siegen, 15. November 2016 WS 2016/2017

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Nikolas Langenberg
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1 IT-Sicherheit WS 2016/2017 Jun.-Prof. Dr. Gábor Erdélyi Lehrstuhl für Entscheidungs- und Organisationstheorie, Universität Siegen Siegen, 15. November 2016

2 Wiederholung Warum IT-Sicherheit? Grundlagen - Begriffe Schutzziele Authentizität Datenintegrität Informationsvertraulichkeit Verfügbarkeit Verbindlichkeit Schwachstellen, Bedrohungen, Angriffe - Begriffe Bedrohungen - Buffer Overflow, Viren, Würmer, usw.

3 Der Euklidische Algorithmus I Wiederholung: Arithmetik in Z k Euklid von Alexandria: Elemente N - Menge der natürlichen Zahlen (inkl. 0) Z - Menge der ganzen Zahlen Gegeben: m, n Z mit m n Der Algorithmus bestimmt die größte Zahl k (= ggt (n, m)), so dass es a, b Z gibt mit m = a k und n = b k.

4 Der Euklidische Algorithmus II Algorithmus: EUKLID(n, m){ if (m = 0) return n; else return EUKLID(m, n mod m); }

5 Der Euklidische Algorithmus II Algorithmus: Beispiel: n m n mod m EUKLID(n, m){ if (m = 0) return n; else return EUKLID(m, n mod m); }

6 Erweiterter-Euklid I Algorithmus: ERWEITERTER-EUKLID(n, m){ if (m = 0) return (n, 1, 0); else { (g, x, y ) := ERWEITERTER-EUKLID(m, n mod m); x := y ; y := x y n m ; return (g, x, y); } }

7 Erweiterter-Euklid II Example n m g x y

8 Wie berechnen wir e 1 mod n? EUKLID S ALGORITHM (EXTENDED) Input: b 0 := Φ(n); b 1 := e; begin x 0 := 1; y 0 := 0; x 1 := 0; y 1 := 1; i := 1; end while b i does not devide b i 1 do begin end q i := b i 1 b i ; b i+1 := b i 1 q i b i ; x i+1 := x i 1 + q i x i ; y i+1 := y i 1 + q i y i ; i := i + 1; begin output b = b i ; x = ( 1) i x i ; y = ( 1) i+1 y i ; end output

9 Beispiel 18 1 mod 103? i b i x i y i q i mod 103 = ( 1) 7 40 = 40 mod 103

10 Die Euler-Funktion Z k := {i 1 i k 1 und ggt (i, k) = 1} Definition Für eine positive Zahl k gibt die Euler-Funktion ϕ(k) die Anzahl der positiven Zahlen i k mit ggt (i, k) = 1 an. Insbesondere, für k > 1, ϕ(k) = Z k.

11 Die Euler-Funktion Z k := {i 1 i k 1 und ggt (i, k) = 1} Definition Für eine positive Zahl k gibt die Euler-Funktion ϕ(k) die Anzahl der positiven Zahlen i k mit ggt (i, k) = 1 an. Insbesondere, für k > 1, ϕ(k) = Z k. ϕ(m n) = ϕ(m) ϕ(n), für alle m, n N mit ggt (m, n) = 1. ϕ(p) = p 1 für jede Primzahl p.

12 Sätze zur Euler-Funktion Theorem Ist n = p q für Primzahlen p, q mit p q, so ist ϕ(n) = (p 1)(q 1).

13 Sätze zur Euler-Funktion Theorem Ist n = p q für Primzahlen p, q mit p q, so ist ϕ(n) = (p 1)(q 1). Theorem Für jedes a Z n gilt a ϕ(n) 1 mod n.

14 Sätze zur Euler-Funktion Theorem Ist n = p q für Primzahlen p, q mit p q, so ist ϕ(n) = (p 1)(q 1). Theorem Für jedes a Z n gilt a ϕ(n) 1 mod n. Theorem (Kleiner Satz von Fermat) Ist p eine Primzahl und ist a Z p, dann gilt a p 1 1 mod p.

15 Primitivwurzel Definition (Primitivwurzel) Eine Primitivwurzel (oder primitives Element) einer Zahl n N ist ein Element r Z n, für das r d 1 mod n für jedes d mit 1 d < ϕ(n) gilt.

16 Primitivwurzel Definition (Primitivwurzel) Eine Primitivwurzel (oder primitives Element) einer Zahl n N ist ein Element r Z n, für das r d 1 mod n für jedes d mit 1 d < ϕ(n) gilt. Theorem Sei p eine Primzahl. Dann hat p genau ϕ(p 1) Primitivwurzeln.

17 Primitivwurzel Definition (Primitivwurzel) Eine Primitivwurzel (oder primitives Element) einer Zahl n N ist ein Element r Z n, für das r d 1 mod n für jedes d mit 1 d < ϕ(n) gilt. Theorem Sei p eine Primzahl. Dann hat p genau ϕ(p 1) Primitivwurzeln. Theorem Sei p eine Primzahl und sei x eine Primitivwurzel von p. Ein Element x i mod p ist genau dann ein primitives Element von p, wenn ggt (p 1, i) = 1 gilt.

18 Square and Multiply: m e mod n 1. Sei die Binärentwicklung des Exponenten gegeben durch e = k i=0 e i2 i, wober e i {0, 1}. 2. Sukzessive berechne die Werte m 2i mod n unter Benutzung der Gleichung m 2i+1 = (m 2i ) Berechne m e = k i=0 m2i für e i = 1.

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Lösungen der Aufgaben Aufgabe 1.3.1 Es gibt 42 mögliche Verschlüsselungen. Aufgabe 2.3.4 Ergebnisse sind 0, 4 und 4 1 = 4. Aufgabe 2.3.6 Da in Z 9 10 = 1 ist, erhalten wir x = c 0 + + c m = c 0 + + c m.