3. Diskrete Mathematik

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1 Diophantos von Alexandria, um 250 Georg Cantor, Pythagoras um 570 v. Chr Pierre de Fermat 1607/ Seite 1 Inhalt der Vorlesung Teil 3: Diskrete Mathematik 3.1 Zahlentheorie: Abzählbarkeit, Primzahlen, Teilbarkeit. 3.2 Diophantische Gleichungen 3.3 Modulare Arithmetik, Addition und Multiplikation in Z m, Kongruenzrechungen 3.4 Verschlüsselung Zusammenfassung Seite 2

2 Diskrete Mathematik: Ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit endlichen oder abzählbar unendlichen Mengen befasst. Abzählbarkeit einer Menge Definition 3.1 Die Menge M heißt abzählbar unendlich, wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat, wie die Menge N. Also, man kann die Menge M durchnummerieren. Satz 3.1: Die Menge N ist abzählbar (Axiome von Peano). Seite 3 Abzählbarkeit der Menge rationalen Zahlen Q (Satz 3.2) 1, 2, ½, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, ¼, 1/5, 5, 6, 5/2, 4/3, Georg Cantor, Bildquelle: Seite 4

3 Abzählbarkeit der Menge reellen Zahlen R Satz 3.3: Die Menge R ist nicht abzählbar. Beweis (Cantor): Wenn R abzählbar ist, dann sind auch die Zahlen im Intervall (0,1) abzählbar. 0, , , , , neue Zahl konstruieren: je Ziffer auf der Diagonal auf 1 erhöhen: neue Zahl: 0,15349 steht nicht in der Liste Widerspruch! Seite 5 Abzählbarkeit der Menge der Primzahlen Definition 3.2: Zahl p (p N) heißt Primzahl, wenn sie nur zwei Teiler hat: 1 und p. Satz 3.4: Die Menge der Primzahlen ist unendlich abzählbar. N: p: Unendlich? abzählbar! Seite 6

4 Abzählbarkeit der Menge der Primzahlen Beweis durch Widerspruch: Endliche Liste aller Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,, n Konstruiere neue Zahl: q= (n-1) n + 1 q ist entweder prim oder nicht q ist nicht prim man kann q durch eine Primzahl dividieren! q:2 Rest 1 q:3 Rest 1 q durch keine Primzahl dividierbar q:n Rest 1 7 = :2 Rest 1 7:3 Rest 1 selbst eine Primzahl Widerspruch mit der Annahme, dass die Liste alle Primzahlen enthält. es gibt unendlich viele Primzahlen Seite 7 Hauptsatz der Zahlentheorie (Primfaktorzerlegung) Satz 3.5: Jede natürliche Zahl n > 1 kann als Produkt von Primzahlpotenzen eindeutig (bis auf ihre Reihenfolge) dargestellt werden: n Beispiel: e1 e2 = p1 p2... p e s s a) 18 = = b) 700 = = größter gemeinsamer Teiler kleinste gemeinsame Vielfache ggt(18,700) = 2 1 kgv(18,700) = = 6300 Seite 8

5 Größter gemeinsamer Teiler Definition 3.3: Sei a,b Z, a,b 0 und T = {t N: t a und t b}. Offensichtlich gilt T, da z Z: 1 z. Falls T = 1, dann heißen a und b teilerfremd, sonst für T > 1: maximale Zahl g T wird als größter gemeinsamer Teiler von a und b genannt, kurz g = ggt(a,b). Wie bekommt man T? T = T(a) T(b), wobei T(x) die Menge der Teiler der Zahl x bezeichnet. Seite 9 Beispiel: a) ggt(12,14) =? 2 ggt(6,8) = 2 T(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} ggt(3,7) = 1 T(14) = {1, 2, 7, 14} T = T(12) T (14) = {1, 2} g = max T = 2 b) ggt (-4,16) = 4 T(-4) = {1, 2, 4}; T(16) = {1, 2, 4, 8, 16} T = T(-4) T (16) = {1, 2, 4} g = max T = 4 Seite 10

6 Sätze 3.6 (zum ggt): Sei a,b N, dann gilt: 1) ggt(a,a) = a 2) ggt(a,1) = 1 3) ggt(a,0) = a 4) ggt(a,b) = ggt(b,a) 5) ggt(a,b) = ggt (a-b,b) Seite 11 Euklidischer Algorithmus ggt (539,231) = 5) ggt(a,b) = ggt (a-b,b) ggt ( ,231) = 5) ggt(a,b) = ggt (a-b,b) ggt (308,231) = ggt ( ,231) = ggt (77,231) = ggt (154,77) = ggt (77,77) = 4) ggt(a,b) = ggt(b,a) 5) 1) ggt(a,a) = a 3) ggt(a,0) = a ggt (77,0) = oder ggt (231,77)= 5) Seite 12

7 Euklidischer Algorithmus 539 = = = ggt (231,539) Test: 231 = ; 539 = Noch mehr Platz sparen: Tabellenform (in der Mitschrift) Übung: ggt(172,30) = 2 Seite 13 Diophantische Gleichungen Definition 3.4: Eine lineare diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = c, mit i: a i Z, c Z. Lösung: i, x i Z (ganzzahlig!!!) Diophantos von Alexandria, um 250 Lineare diophantische Gleichung mit 2 Variablen x und y: A x + B y = C Seite 14 Bildquelle:

8 Diophantische Gleichungen, Beispiel a) x + 2 y = 2 (0,1) (-2,2) (-4,3) unendlich viele Lösungen b) 6x 9y = 2 3 (2x-3y) = 2 3 = ggt(6,9) 3 teilt 2 nicht keine Lösungen Seite 15 Diophantische Gleichungen, Lösbarkeit Ax + By = C Satz 3.7: Wenn der größte gemeinsame Teiler (ggt) der Koeffizienten A, B die Konstante C nicht teilt, dann hat die Gleichung Ax + By = C keine ganzzahligen Lösungen! Alternativ, als Bedingung formuliert: C = k ggt (A,B), k Z 6x 9y = 18 ggt(6,9)= 3; 3 teilt 18 lösbar Seite 16

9 Diophantische Gleichungen, Algorithmus: 1. Wähle die Variable mit dem betragsmäßig kleinsten Koeffizienten: Ax + By = C. Nennen wir diese Variable x. 2. Löse die Gleichung nach x auf. Ax = C By; x = C/A (B/A)y Gruppiere die rechte Seite nach ganzzahligen Teilen und rationalen Teile z.b.: x = y = 4 2y y Falls kein rationaler Teil existiert Schritt 3. Sonst konstruiere durch Einführung einer neuen ganzzahligen Variablen a aus dem rationalem Teil eine neue lineare Diophantische Gleichung Schritt 1. z.b.: a = y. 3. Mache alle Substitutionen rückgängig. Seite 17 Algorithmus, Beispiel: Löse 30x + 22y = 24 (:2) 1. Zuerst durch 2 dividieren! 15x + 11y = ggt(15,11) = 1 1 teilt 12 lösbar < 15 Löse die Gleichung nach y auf: y = (12 15x)/11 = 1+ 1/11 x 4x/11 a = 1/11-4x/11 neue Gleichung 11a = 1 4x oder 11a + 4x = < 11 Löse die Gleichung nach x auf: x = (1 11a)/4 = 1/4 2a 3a/4 Seite 18

10 Algorithmus, Beispiel: Löse 15x + 11y = 12 (Fortsetzung) b = 1/4 3a/4 neue Gleichung 4b = 1 3a oder 4b + 3a = < 4 Löse die Gleichung nach a auf: a = (1 4b)/3 = 1/3 b 1b/3 c = 1/3-1b/3 neue Gleichung 3c = 1 1b 6. 1 < 3 Löse nach b auf: oder 3c + 1b = 1 b = 1/1 3c/1 = 1-3c Schluss Rücksubstitutionen x und y müssen durch c ausgedruckt werden!!! Seite 19 Algorithmus, Beispiel: Löse 15x + 11y = 12 (Fortsetzung) 1. b = 1-3c Setze in die Formel für a ein: a = (1 4b)/3 = (1-4+12c)/3 = c 2. Setze a = c in die Formel für x ein: x = (1 11a)/4 = ( c)/4 = 3-11c 3. Setze x = 3-11c in die Formel für y ein: y = (12 15x)/11 = ( c)/11 = c Antwort: x = 3-11c x = 3 x = -8 c = 0 c = 1 y = c y = -3 y = 12 Seite 20

11 Übung: Bestimmen Sie die allgemeine und zwei spezielle Lösungen der diophantischen Gleichung 5x - 3y = ggt(5,-3) = 1 1 teilt 1 lösbar 2. 3 < 5 Löse die Gleichung nach y auf: y = (5x 1)/3 = x+ 2x/3 1/3 a = 2x/3-1/3 neue Gleichung 3a = 2x 1 oder 3a - 2x = < 3 Löse die Gleichung nach x auf: x = (3a + 1)/2 = 1a/2 + a + 1/2 Seite 21 b = a/2 + 1/2 neue Gleichung 2b = a + 1 oder a 2b = < 2 Löse die Gleichung nach a auf: a = 2b 1 keine Brüche mehr Rücksubstitutionen: x und y durch b ausdrucken!!! 1. Setze a in die Formel für x ein: x = (3a + 1)/2 = (3(2b 1)+1)/2 = 3b 1 2. Setze x in die Formel für y ein: y = (5x 1)/3 = (5(3b 1) 1)/3 = 5b 2 Seite 22

12 Allgemeine Lösung: x = 3b 1 y = 5b 2 Spezielle Lösungen: b = 0: x = 1, y = 2 b = -1: x = -4, y = -7. Test: 5 (-1) 3 (-2) = 1; 5 (-4) 3 (-7) = 1; Seite 23 Pythagoräischer Satz: x 2 + y 2 = z 2, x,y,z Z Lösung: v, w N; v w 1 x = v 2 w 2 (v 2 w 2 ) 2 +4v 2 w 2 = y = 2vw v 4-2v 2 w 2 +w 4 +4v 2 w 2 = z = v 2 + w 2 v 4 + 2v 2 w 2 +w 4 = (v 2 + w 2 ) 2 Lösungstabelle: v = Pythagoras w = x = y = z = Bildquelle: Seite 24

13 Fermatsche Satz Der Große Fermatsche Satz (Satz 3.8): x n + y n = z n, x,y,z Z; 2 < n N Es gibt keine von 0 verschiedene ganzzahlige Lösungen!!! x,y,z 0 Zuerst bewiesen für die Zahlen 3,4 und Vielfache dieser Zahlen (1753), dann für 5 (1825) und später für 7 (1839). Pierre de Fermat 1607/ Für alle n > 2 bewiesen im Jahr 1995 durch Andrew Wiles Fields-Medaille Seite 25 Kongruenzrechnung Jedes n Z mit vorgegebenen m > 1 (m N) lässt sich eindeutig durch m mit Rest r dividieren: n = q m + r Definition 3.5: Sei m > 1. Zwei Zahlen a, b Z heißen kongruent modulo m, wenn m (a b). Schreibweise: a b mod m Beispiel: 5 3 mod 2, da 2 teilt (5 3) 8 4 mod 2, da 2 teilt (8 4) Seite 26

14 Satz 3.9: a b mod m, sie bei der Division durch m den gleichen Rest haben. Beispiel: m = 3 m = 4 11 = =3 11 = = mod mod 4 8 = = Übung: Berechnen Sie 111 mod 23, 45 mod 4, 1 5 n+1 mod n, 2n + 5 mod n (für n > 5). Seite 27 Definition 3.6: Die Restklasse von a modulo m besteht aus allen Zahlen, die den gleichen Rest bei Division durch m haben. Bemerkung: für die Zahl m gibt es m Restklassen [0], [1], [2],, [m 1]; die Zahl in [ ] nennt man auch der Repräsentant der Restklasse [ ]. Beispiel: Für m = 2 gibt es zwei Restklassen [0] und [1]. [0] = {, -4, -2, 0, 2, 4, 6, } [1] = {, -3, -1, 1, 3, 5, 7 } Seite 28

15 Beispiel 2: für m = 6 gibt es sechs Restklassen [0], [1], [2], [3], [4], [5]. [0] = {, -18, -12, -6, 0, 6, 12, 18, } [1] = {, -17, -11, -5, 1, 7, 13, 19, } [2] = {, -16, -10, -4, 2, 8, 14, 20, } [3] = {, -15, -9, -3, 3, 9, 15, 21, } [4] = {, -14, -8, -2, 4, 10, 16, 22, } [5] = {, -13, -7, -1, 5, 11, 17, 23, } Seite 29 Übung: Zählen Sie die Restklassen mod 3 auf und geben Sie alle Repräsentanten dieser Klassen an. [0] = [1] = [2] = {, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, } {, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, } {, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, } Seite 30

16 Mit Z m bezeichnet man die Menge aller Restklassen modulo m: Z m = { [0], [1], [2], [3],, [m 2], [m 1] }. Beispiel: Z 2 = { [0], [1] } Z 6 = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } Z 12 = { [0], [1], [2], [3], [4],, [11] } Seite 31 Addition und Multiplikation in Z 2 : Additionstafel: Multiplikationstafel: Beispiel: Für m = 2 gibt es zwei Restklassen [0] und [1]. [0] = {, -4, -2, 0, 2, 4, 6, } [1] = {, -3, -1, 1, 3, 5, 7 } Seite 32

17 Addition in Z m : Um das Ergebnis der Summe zweier Zahlen in Z m zu berechnen, addiere die beiden wie üblich. Falls die Summe größer oder gleich m ist, dividiere die Summe durch m und nehme den Rest als das Ergebnis. Beispiel: = 8 2 mod 6 Seite 33 Addition und Multiplikation in Z 6 : Additionstafel: Seite 34

18 Multiplikation in Z m : Um das Produkt zweier Zahlen in Z m zu berechnen, multipliziere die beiden wie üblich. Falls das Produkt größer oder gleich m ist, dividiere das Produkt durch m und nehme den Rest als das Ergebnis der Multiplikation. Beispiel: 5 3 = 15 3 mod 6 Seite 35 Addition und Multiplikation in Z 6 : Multiplikationstafel: Seite 36

19 Übung: erstellen Sie die Additions- und Multiplikationstafel in Z 4. Additionstafel: Multiplikationstafel: Seite 37 Seien [a] und [b] zwei Restklassen, dann [a] + [b]:= [a+b]. Satz 3.10: (Eigenschaften der Addition) Die Addition in Z n hat folgende Eigenschaften: [a] + [b] = [b] + [a] Kommutativität [a] + ([b] + [c]) = ([a] + [b]) + [c] Assoziativität Es gibt ein neutrales Element [0] in Z n, so dass [a] + [0] = [a] Zu jede Restklasse [a] gibt es ein inverses Element [b], d.h. [a] + [b] = [0] Seite 38

20 Beispiel: Additionstafel in Z 6 : [a] + [0] = [a] [a] + [b] = [0] Neutrales Element: 0 Inverses bzgl. + in Z 6 : zu 0 ist 0 zu 1 ist 5 zu 2 ist 4 etc Seite 39 Seien [a] und [b] zwei Restklassen, dann [a] [b] := [a b]. Satz 3.11 (Eigenschaften der Multiplikation) Die Multiplikation in Z n hat folgende Eigenschaften: [a] [b] = [b] [a] Kommutativität [a] ([b] [c]) = ([a] [b]) [c] Assoziativität Es gibt ein neutrales Element ([1]) in Z n, so dass [a] [1] = [a] Bemerkung: Nicht zu jeder Restklasse [a] gibt es ein inverses Element [b], d.h. [a] [b] = [1] Seite 40

21 Beispiel: Multiplikationstafel in Z 6 : neutrales Element: 1 inverses bzgl. in Z 6 : zu 1 ist 1 zu 5 ist 5 zu 0, 2, 3, 4 gibt es ein inverses? Seite 41 Satz 3.12 (Existenz von inversen Element) Sei n N und sei a Z n. Dann hat a genau dann ein inverses Element bzgl. der Multiplikation in Z n, wenn a und n teilerfremd sind. Beispiel: Betrachte Z 6. ggt(1,6) = ggt(5,6) = 1 es gibt ein inverses Element. ggt(2,6) = ggt(4,6) = 2 ; ggt(3,6) = 3 es gibt kein inverses Element. Seite 42

22 Übung: Bestimme Elemente in Z 12, die kein inverses Element bzgl. der Multiplikation in Z 12 haben. Lösung: Z 12 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Welche Elemente Z 12 in sind nicht teilerfremd zu 12? Für 0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 gibt es kein inverses Element. Es gibt ein inverses Element für 1, 5, 7 und 11, diese Menge wird als Z * 12 = {1,5,7,11} bezeichnet. Seite 43 Eulersche Phi-Funktion: Sei n N, dann ist ϕ(n) die Anzahl der Elemente a aus {1,2,3,4,, n}, die zu n teilerfremd sind, d.h. ggt(a,n) = 1. ϕ(n) heißt Eulersche ϕ - Funktion (Phi-Funktion). Beispiel: ϕ(12) = 4; {1, 5, 7, 11}; ϕ(1) = 1; {1}; ϕ(4) = 2; {1,3}; ϕ(6) = 2; {1,5}; Seite 44

23 Eigenschaften: Anzahl der Elemente aus {1,2,3,4,, n}, die zu n teilerfremd sind ϕ(p) = p 1, wenn p eine Primzahl ist. ϕ(p k ) = p k p k-1, wenn p eine Primzahl ist. ϕ(m n) = ϕ(m) ϕ(n), wenn ggt(m,n) = 1 Beispiel: ϕ(7) = 6; ϕ(5) = 4; ϕ(3) = 2; ϕ(12) = ϕ(3) ϕ(4) = 2 2 = 4 ϕ(25) = ϕ(5 2 ) = = 20 Seite 45 Übung: ϕ(28) = ϕ(4) ϕ(7) = 2 6 = 12 ϕ(39) = ϕ(3) ϕ(13) = 2 12 = 24 ϕ(16) = /Mitschrift/ ϕ(100) = /Mitschrift/ ϕ(360) = ϕ( ) = ϕ(2 3 ) ϕ(3 2 ) ϕ(5) = = ( ) ( ) (4) = = 96 Seite 46

24 Beispiel (Clock-Arithmetic) a) Wie spät ist 50 Stunden nach 4 Uhr? b) Die Schichtarbeit fängt um 5 Uhr morgens an. Wie lang sollte jede Schicht sein, wenn es nur 7 Mitarbeiter gibt und die letzte Schicht um 9 Uhr beendet sein sollte (die Schichten sind gleich lang und nicht länger als 12 Stunden)? Lösung: a) mod 24 b) 5 + 7x 9 mod 12 (Lösung später!!!) Seite 47 Lineare Gleichungen x + a b mod m: x + a b in Z m Stets lösbar, da die Inverse immer existiert. Lösung: 1. Addiere zu den beiden Seiten die additive Inverse, -a, von a: x + a + (-a) b + (-a) x b + (-a) mod m 2. Die Lösung ist: x b + (-a) mod m, in Z m!!! also die Restklasse [b+(-a)] in Z m Seite 48

25 Beispiel: Löse 4 + x = 3 Z 6 1. Additive Inverse für 4 in Z 6 ist =6 0 in Z m!!! 2. Lösung: x = mod 6, also Restklasse [5] in Z Alle mögliche Lösungen: [5] = {, -7, -1, 5, 11, 17, } Test: 4 7 = -3 3 mod 6; = 9 3 mod = 21 3 mod 6 Hinweis: man kann auch a als Inverse wählen, da a + a = 0 Seite 49 Beispiel (alternative Lösung): Löse: 4 + x 3 mod 6 x 3 4 = -1 5 mod 6 Lösung: x 5 mod 6 Seite 50

26 Lineare Gleichungen ax b mod m: Lösen Sie die Gleichung ax = b in Z m m (ax b) oder (ax b) = mq oder ax - mq = b Lösung: 1. Überprüfe, ob die Gleichung lösbar ist: ggt(a,m) b lösbar. 2. Multipliziere beide Seiten mit der multiplikativen Inversen, a -1, von a: a -1 ax a -1 b mod m 3. Die Lösung ist: x a -1 b mod m Seite 51 Beispiel: Löse 3x = 2 in Z 4 1. Lösbar? ggt(3,4)=1; 1 2 lösbar. 2. Definiere die multiplikative Inverse von 3 in Z 4 (existiert, da ggt(3,4) = 1): Inverse zu 3 ist 3 (siehe Folie 38). 3. Multipliziere beide Seiten mit 3: 3 3x 3 2 mod 4 x 6 2 mod 4 4. Die Lösung ist: [2] = {,-6,-2,2,6,10,14, } Jede Zahl aus [2] ist die Lösung der Gleichung 3x = 2 in Z 4. Seite 52

27 Lösung der Aufgabe b), Folie 49: Mitschrift Bestimme alle Lösungen von 5 + 7x = 9 in Z Addiere -5 zu den beiden Seiten. 2. 7x mod 12; Also, 7x 4 mod Multipliziere beide Seiten mit der Inversen von 7 in Z 12 : multiplikative Inverse zu 7 ist 7 (siehe Folie 44) x 7 4 mod 12; x mod 12; Also x = 4. Jede Schicht sollte 4 Stunden lang sein. Seite 53 Wie findet man das zu a inverse Element bzgl. in Z n? 1. Multiplikationstabelle in Z n erstellen (für kleine n). In der a -Zeile das neutrale Element 1 finden und die Spaltenzahl ablesen, siehe z.b. Folie Menge Z * n erstellen und die Elemente in der Menge als Kandidaten für das inverse Element testen. 3. Wir suchen x: xa 1 mod n (xa 1) n xa 1 =nk; Löse die Diophantische Gleichung: xa nk = 1 und finde den kleinsten positiven Wert für x. Seite 54

28 Fortsetzung: Finde das zu 3 inverse Element in Z Multiplikationstabelle in Z 5 erstellen (als Übung überlassen). 2. Z * 5 = {1,2,3,4}. Für jedes x Z * 5 gibt es x -1 : x -1 Z * , da 1 1 1mod 5 3, da 2 3=6 1mod 5 2, da 3 2=6 1mod 5 4, da 4 4=16 1mod 5 3. Löse Diophantische Gleichung: 3x 5k = 1 und finde den kleinsten positiven Wert für x: Mitschrift. Lösung: x = 2. Seite 55 Beispiel: Bestimme alle Lösungen von 2 + 3x = 7 in Z 11 Mitschrift 1. Additive Inverse zu 2 in Z 11 ist 9: 3x mod Multiplikative Inverse zu 3 in Z 11 ist 4: x= mod Antwort: Restklasse [9] = {, -13, -2, 9, 20, 31, } 4. Teste: (2-6) = -4 7 mod 11 (2+ 3*9) = 29 7 mod 11 Allgemein: [9] = 11k + 9, k Z Seite 56

29 Übung: Bestimme alle Lösungen von 6x + 3 = 5 in Z 7 1. Addiere (-3) zu beiden Seiten: 6x mod Multiplikative Inverse zu 6 in Z 7 ist 6: x= mod Antwort: Restklasse [5] = {, -9, -2, 5, 12, 19, } 4. Teste: ( ) = 33 = mod 7 ( ) = -9 = mod 7 [5] = {, -9, -2, 5, 12, 19, 26, } Allgemein: [5] = 7k + 5, k Z Seite 57 Satz 3.12: (Rechenregeln) Sei a,b,c,d Z, m N und es gelte: a b mod m und c d mod m, dann folgt: 1. (a + c) (b + d) mod m 2. (a c) (b d) mod m 3. (a c) (b d) mod m Hinweis: Die Division ist allgemein in der modularen Arithmetik nicht definiert, z.b. 6 2 mod 4 es gilt nicht: 3 1 mod 4 Seite 58

30 Beweis: 1. (a + c) (b + d) mod m m (a+c) (b+d) Es gilt: a b mod m und c d mod m (a b) = km und (c d) = lm a = b + km und c = d +lm Berechne: (a + c) (b + d) = b + km + d + lm b d = = km + lm = m(k+l) m ((a+c) (b+d)), q.e.d. Beweis zu 2. ist analog zu 1. Seite 59 Beweis (Übungsblatt 4): 3. ac bd mod m m (ac bd) Es gilt: a b mod m und c d mod m (a b) = km und (c d) = lm Es gilt weiter: (a b)c = ckm und (c d)b = blm ac bc = ckm und cb db = blm Bereche: ac bc + cb db = ckm + blm ac + bd = m (ck + bl) m (ac bd), q.e.d. Seite 60

31 Motivierendes Beispiel: Es gilt: 6 2 mod 4, aber es gilt nicht: 3 1 mod 4 Was können wir trotzdem machen? Betrachte 6 2 mod 4 4 teilt (6 2 ) (6 2) = 4k (für k = 1) 2(3 1) = 4k (für k = 1) 3 1 = 2k (für k = 1) 3 1 mod mod 2 ggt(6,2) = 2, 2 4 kürzen durch 2 Seite 61 Verkürzen auf ggt (allgemein): Sei ax b mod m Wenn g = ggt(a,m) b, dann a = a 1 g; b = b 1 g; m = m 1 g und gilt a 1 x b 1 mod m 1. Beweis: (ax b) = mk ax mk = b und g = ggt(a,m) teilt b g ausklammern: (ga 1 x gm 1 k) = gb 1 g(a 1 x m 1 k) = gb 1 (a 1 x m 1 k) = b 1 (a 1 x b 1 ) = m 1 k a 1 x b 1 mod m 1 Seite 62

32 Beispiel 2: Bestimme alle Lösungen von 9x = 6 in Z ggt (9,12) = 3 3 teilt 6 alles durch ggt teilen 2. Erhalte neue Gleichung 3x = 2 in Z 4 ; ggt(3,4) = 1 3x 2 mod 4 1. Multiplikative Inverse zu 3 in Z 4 ist 3: x=2 3=6 2 mod Antwort: Restklasse [2] = {, -6, -2, 2, 6, 10, 14, } Z 4 3. Lösung der Ursprungsgleichung: passende (0 < < 12) Repräsentanten aus [2] = {, -2, 2, 6, 10, 14, 18, }, 4. also: [2], [6], [10] Z 12. Seite 63 Allgemein: Sei ax b mod m Betrachte ggt(a,m). Es gilt: - es gibt eine Lösung, wenn ggt(a,m) = 1. - es gibt genau t Lösungen, wenn ggt(a,m) = t 1 und t b - keine Lösungen, wenn ggt(a,m) = t 1 und t teilt b nicht. Beispiel 2 (Fortsetzung): 9x = 6 in Z 12 ggt(9,12) = 3 3 teilt 6 es gibt 3 Lösungen (also 3 Restklassen in Z 12 mit unendlich vielen kongruenten Lösungen außerhalb Z 12 ). Seite 64

33 Übung: Bestimme alle Lösungen 5 + 2x = 9 in Z x 9 mod 12 2x 9 5 mod 12; 2x 4 mod 12; Lösbar? ggt (2,12) = 2; 2 teilt 4 lösbar; es gibt 2 Lösungen Teilen durch ggt neue Gleichung: x 2 mod 6 [2] = {, -10, -4, 2, 8, 14, } Wähle positive Zahlen, die < 12 In Z 12 zwei Lösungen: [2] und [8]. [2] = {, -22, -10, 2,14, 26, } in Z 12 [8] = {, -16, -4, 8, 20, 32, } in Z 12 Seite 65 Kongruenzrechnen mit Potenzen: a n mod m? 2 32 mod 5? (Mitschrift) (-1) 16 1 mod (2 2 ) 16 (4) 16 (-1) 16 mod mod (2 2 ) 16 2 (4) mod 3 Euler Satz: Wenn ggt(a,m) = 1, dann a ϕ(m) 1 mod m Kleiner Satz von Fermat: Wenn p prim ist und ggt(a,p) = 1, dann a p-1 1 mod p 2 32 mod 5; 5 prim; ggt(2,5) = 1 kleiner Fermat-Satz ϕ(5) = (2 4 ) mod 5 Seite 66

34 a ϕ(m) 1 mod m Beispiel: mod 100; ggt(3,100) = 1 Euler Satz 3 ϕ(100) 1 mod 100; Berechne ϕ(100): ϕ(100) = 40 ϕ(100) = ϕ( ) = ϕ(2 2 ) ϕ(5 2 ) = ( ) ( ) = 2 20 = = = 3 3 ( ) 27 (3 40 ) (1) mod mod 7, 4 33 mod 5 Atw.: 2 ; 4 Hausaufgabe: mod 21. Seite 67 Cäsar-Verschlüsselung (50 v. Chr.): Die Antwort ist vier. ANTWORT IST VIER 00,13,19,22,15,17,19,08,18,19,21,08,04,17. x-3 x+3 DQWZSUW LVW YLHU 03,16,22,25,18,20,22,11,21,22,24,11,07,20. Cäsar-Verschlüsselung (Alphabet): A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Seite 68

35 Cäsar-Verschlüsselung: + 3 Y (24)? e = 3 Z (25)? e encoding (eng.) d decoding (eng.) = 27 1 mod 26 B = 28 2 mod 26 C Verschlüsselungsfunktion e(x): Z 26 Z 26 mit e(x) = x + c Schlüssel e := c Entschlüsselungsfunktion d(x): Z 26 Z 26 mit d(x) = x c Schlüssel d := -c 26 c mod 26 Seite 69 Cäsar-Verschlüsselung (Alphabet): A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Verschlüsseln Sie den Klartext mit Cäsar-Verfahren und dem Schlüssel 8: Informatik macht Spass QVNWZUIBQS UIKPB AXIAA Entschlüsseln Sie den Geheimtext mit dem Schlüssel 17: DRKYV DRTYK RSVI RLTY JGRJJ Mathe macht aber auch Spass Seite 70

36 Knacken von Cäsar-Schlüssel: 25 Möglichkeiten ausprobieren Häufigkeitsanalyse - E (17,40%) DATA - N (9,78%) e = 4 HEXE A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übung: Knacken Sie die Geheimnachricht FCSRC QAFCGLR BGC QMLLC Seite 71 Alternativer Vorschlag (Affine-Chiffre): Verschieben nach der Formel: y = 3x + 2 mod 26 ANTWORT IST VIER 00,13,19,22,15,17,19,08,18,19,21,08,04,17. 3x + 2 mod 26 CPHOVBH AEH NAOB 02,15,07,14,21,01,07,00,04,07,13,00,14,01. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Seite 72

37 Alternativer Vorschlag: Entschlüsselung?: Löse y = 3x+2 mod 26 nach x auf. (3x+2)=y mod 26 3x=(y-2) mod 26 x=3-1 (y-2) mod 26 Inverses für 3 mod 26? Ja, da ggt(3,26) = = 9 (Beweis als Übung) x=9(y-2) mod 26 02,15,07,14,21,01,07,00,04,07,13,00,14,01 9(y-2) mod 26 00,13,19,22,15,17,19,08,18,19,21,08,04,17 Seite 73 Wie sicher ist Verschlüsselung y = ax + b mod 26? Wann gibt es die Lösung von ax + b = y mod 26? x = a -1 (y b) mod 26 Wie viele Möglichkeiten gibt es für b? Wie viele Möglichkeiten gibt es für a? Welche Elemente haben ein inverses in Z 26?!!! Z * 26={1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25} Sonst keine Entschlüsselung Nach Produktformel: = 300 Möglichkeiten unsicher Seite 74

38 Vigenére-Verschlüsselung (16. Jahrh.): Schlüssel: CODE (2,14, 3, 4) A N T W O R T I S T D R E I C B W A Q F W M U H G V G W A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Seite 75 Vigenére-Verschlüsselung: A N T W O R T I S T D R E I C O D E C O D E C O D E C O Schlüssel C B W A Geknackt (19. Jahrh): Kasiski, Babbage. Seite 76

39 Vigenére-Verschlüsselung (Übung): Verschlüsseln Sie den Satz Schnee von Morgen mit dem Schlüsselwort : Heute Entschlüsseln Sie den Satz BDGHOT LGWEYW mit dem Schlüsselwort : bald A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Seite Schnee von Morgen Seite 78

40 Vigenére-Verschlüsselung (Übung): Verschlüsseln Sie den Satz Schnee von Morgen mit dem Schlüsselwort : Heute ZGBGIL ZIG QVVAXR Entschlüsseln Sie den Satz BDGHOT LGWEYW mit dem Schlüsselwort : bald Advent Advent A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Seite 79 Vigenére-Verschlüsselung (Übung): Verschlüsseln Sie das Wort Vorlesung mit dem Schlüsselwort : heute Csleizyhz Entschlüsseln Sie das Wort LLLXTUC mit dem Schlüsselwort : bald Klausur A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Seite 80

41 Symmetrische Verschlüsselung: Der Empfänger und der Absender verwenden zum Ent- und Verschlüsselung denselben Schlüssel t (bzw. Empfänger kann die Entschlüsselung leicht bei Kenntnis von t ausführen). t muss vor Dritten geheim gehalten werden!!! Cäsar-Verschlüsselung, Vigénere, Affine-Chiffre, Seite 81 Asymmetrische Verschlüsselung: Zum Ver- und Entschlüsselung werden zwei verschiedene Schlüsseln verwendet (öffentlichen, e und privaten, d). e dürfen alle kennen!!! d kennt nur der Empfänger!!! RSA-Verschlüsselung, Merkle-Hellman, Rabin Seite 82

42 RSA-Algorithmus (Rivest + Shamir + Adleman, 1978): Schlüssel zur Verschlüsselung (öffentlich) und Schlüssel zur Entschlüsselung (privat). Seite 83 RSA-Algorithmus: 1. Wähle p,q zwei Primzahlen (p q) 2. Berechne N = p q. 3. Berechne ϕ(n) = Größte bekannte Primzahl: hat 17,4 Millionen Stellen - ausgedruckt braucht 5800 Seiten ϕ(p) ϕ(q) = (p-1)(q-1) 4. Wähle 1 < e < ϕ(n): ggt(e, ϕ(n)) = 1 (z.b. Primzahl) Öffentlicher Schlüssel: (e,n) In der Praxis sind p und q SEHR SEHR große Zahlen Seite 84

43 RSA-Algorithmus (Fortsetzung): 5. Berechne d: e d 1 mod ϕ(n). Löse die diophantische Gleichung e d ϕ(n) k = 1 zur Bestimmung von d, eines inversen Elementes zu e. Lösbar, da ggt(e, ϕ(n)) = 1 erhalte d. Geheimer Schlüssel: (d,n) Wenn man e und N kennt, kann man d ohne Kenntnis von ϕ(n) nur sehr schwer (wenn überhaupt) bestimmen. Nur möglich, wenn p und q bekannt sind schwieriges Problem! Seite 85 RSA-Algorithmus (Verschlüsselung): Öffentlicher Schlüssel: (e,n) T Text, der verschlüsselt werden soll 1. Berechne T e mod N, 2. Erhalte geheimen Text G T e mod N 3. G wird an den Empfänger gesendet. Seite 86

44 RSA-Algorithmus (Entschlüsselung): Geheimer Schlüssel: (d,n) G Text, der entschlüsselt werden soll 1. Berechne G d mod N 2. Erhalte T G d mod N 3. T ist der ursprüngliche Text (Klartext) Frage: Warum T G d mod N? Seite 87 Beweis (Mitschrift): T G d mod N 1. Es gilt G d mod N (T e ) d mod N 2. Es gilt dazu: e d 1 mod ϕ(n) e d = 1 + ϕ(n) k Euler Satz: wenn ggt(a,m) = 1, dann a ϕ(m) 1 mod m. 3. Berechne (T e ) d T ed T 1 + ϕ(n) k T T ϕ(n) k T (T ϕ(n) ) k T (T ϕ(n) ) k T (1) k T mod N Hinweis: Vorausgesetzt, dass T und N teilerfremd sind (N = pq; p und q sind prim wenn T < p, T < q ggt (T,N) = 1) Seite 88

45 Beispiel (Mitschrift): 1. Konstruktion von Schlüsseln Wähle zwei Primzahlen: 7 und 11 Berechne N = 7 11 und ϕ(77) = ϕ(7) ϕ(11) = 6 10 = 60 Wähle e: ggt (e,60) = 1, z.b. e = 17 Öffentlicher Schlüssel (17,77) Berechne d: ed 1 mod 60 17d 1 mod 60 d = 53 Privater Schlüssel: (53,77) (siehe nächste Folie) Seite 89 Beispiel (Mitschrift): Hilfsrechnung (Bestimmung von d) Berechne d: 17d 1 mod 60 Löse die entsprechende diophantische Gleichung 17d 1 = 60k <-> 17d 60k = 1 Löse nach d: d = (1 + 60k)/17 = 3k + (1+9k)/17 a = (1+9k)/17 17a = 1 + 9k 9k = 17a 1 Löse nach k: k = (17a 1)/9 = a + (8a 1)/9 b = (8a 1)/9 9b = 8a 1 8a = 9b + 1 Seite 90

46 Beispiel (Mitschrift): Hilfsrechnung (Bestimmung von d) Löse nach a: a = (9b + 1)/8 = b + (b+1)/8 c = (b+1)/8 8c = b + 1 b = 8c 1 Drücke a, k, d durch c aus. a = (9(8c 1) + 1)/8 = 9c 1 k = (17(9c 1) 1)/9 = 17c 2 d = (1 + 60(17c 2))/17 = 60c 7. für c = 1 d = 53. Seite 91 Beispiel (Mitschrift): 2. Verschlüsselung des Textes Sei der Klartext: T = 2 (teilerfremd zu N) Öffentlicher Schlüssel (17,77) Geheimtext ist G = 2 17 mod (2 8 ) mod 77 G=18 wird an Empfänger gesendet. Seite 92

47 Beispiel (Mitschrift): 3. Entschlüsselung des Textes Empfänger hat den Geheimtext G = 18 erhalten. Privater Schlüssel: (53,77) Bestimme Klartext T als G 53 = mod (18 2 ) (16 2 ) (25 2 ) (9 2 ) mod mod 77 T =2 (ursprünglicher Klartext). Seite 93 Übung: Öffentlicher Schlüssel ist (7,143). Knacken Sie den privaten Schlüssel (d,143) 1. Primfaktorzerlegung für 143 N = 143 = Berechne ϕ(143) ϕ(143) = ϕ(11) ϕ(13) = = 120 Privater Schlüssel: (d,143) 3. Bestimme d als Lösung von 7d 1 mod 120 Seite 94

48 Übung: Berechne d: 7d 1 mod 120 Löse die entsprechende diophantische Gleichung 7d 1 = 120k <-> 7d 120k = 1 Löse nach d: d = ( k)/7 = 17k + (1+k)/7 a = (1+k)/7 7a = 1 + k k = 7a 1 Drücke d durch a aus. d = ( (7a 1 ))/7 = 120a 17. für a = 1 d = 103. Privater Schlüssel: (d,n) = (103,143) Seite 95 Test: Verschlüssele Text T = 3 mit öffentl. Schlüssel (7,143), erhalte G. G = 42 Hausaufgabe: Entschlüssele den verschlüsselten Text G mit (103,143) und überprüfe, ob G 103 mod 143 = 3 Seite 96

49 Vor- und Nachteile: Symmetrisches Verfahren Vorteil: schnelle Ver- und Entschlüsselung Nachteil: Schlüsselaustausch unsicher! Asymmetrisches Verfahren Vorteil: kein Schlüsselaustausch kein Risiko Nachteil: komplizierte Ver- und Entschlüsselung Hybrid-Verfahren: hat Vorteile beider Methoden!!! Seite 97 Hybrid-Verschlüsselung: Klartext symmetrisch (AES) verschlüsseln erhalte Geheimtext + symmetrischer Schlüssel t. Schlüssel t asymmetrisch mit dem öffentlichen Schlüssel (RSA) verschlüsseln, erhalte t. Geheimtext + verschlüsselter Schlüssel t an den Empfänger senden. Schlüssel t mit dem privaten Schlüssel entschlüsseln erhalte t Geheimtext mit dem Schüsseln t entschlüsseln erhalte Klartext Seite 98

50 Hybrid-Verschlüsselung Session Key Geheimtext Seite 99 Primfaktorzerlegung Diophantische Gleichungen Kongruenzrechnung (Restklassen, Operationen, inverse Elemente, Gleichungen, Potenzrechnung, Eulersche phi- Funktion etc.) Verschlüsselungsalgorithmen (Cäsar-, Vigenere-, RSA-) Seite 100