Klausur zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler

Transkript

1 Wintersemester 2006/ Dr. Priska Jahnke Klausur zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler Bitte lesbar ausfüllen, Zutreffendes ankreuzen Herr Frau Name, Vorname: Anschrift: Geburtsdatum: Studiengang: Matrikelnummer: Semester: Platz-Nr.: Hinweise: Tragen Sie auf dieser Seite Ihre persönlichen Daten und auf jedem der folgenden Blätter Ihre Matrikelnummer und Ihren Namen ein. Blätter ohne Namen können nicht bewertet werden. Beginnen Sie Ihre Lösungen unter dem Aufgabentext und schreiben Sie gegebenenfalls auf die zugehörige Rückseite. Falls der Platz nicht ausreicht, befinden sich am Ende der Klausur zusätzliche leere Blätter. Soweit nötig, benutzen Sie für jede Aufgabe ein separates Zusatzblatt. Die Heftung darf nicht geöffnet werden. Stellen Sie den Lösungsweg ausführlich und begründet dar. Die Angabe eines Ergebnisses allein kann nicht mit Punkten honoriert werden. Schreiben Sie von links nach rechts und von oben nach unten. Es sind maximal 128 Punkte erreichbar. Sicher bestanden ist die Klausur ab 56 Punkten. Bearbeitungszeit: 240 Minuten Bewertung Aufgabe erzielte Punkte /8 /16 /12 /16 /12 /12 /18 /14 /10 /10 /128

2 Aufgabe 1 Punkte: / 8 Berechnen Sie folgendes Matrixprodukt: Antwort: Rechnung:

3 Fortsetzung von Aufgabe 1:

4 Aufgabe 2 Punkte: / 16 Gegeben sind folgende Matrizen: E = A = ( ) ( 2 1, B = 2 1 ( ) , F = Sind sie invertierbar? ), C =, G = , D = und H = , ( Geben Sie an, ob die folgenden Matrixinversen existieren. Tragen Sie hier Ihre Antwort ein (nur Ja / Nein): ). a) A 1 : b) B 1 : c) C 1 : d) D 1 : e) E 1 : f) F 1 : g) G 1 : h) H 1 : Begründen Sie hier Ihre Antworten. (Sie brauchen die Inversen auch im Falle der Existenz nicht auszurechnen.)

5 Fortsetzung von Aufgabe 2:

6 Aufgabe 3 Punkte: / 12 Maximieren Sie die Zielfunktion unter den Nebenbedingungen und Z(x 1, x 2 ) = 2x 1 + x 2 x 1 + x 2 7, x 1 + 3x 2 20, x 1 4 x 1, x 2, 0 mit Hilfe des Simplexalgorithmus. (Sie können die vorgezeichneten Tableaus benutzen, EP steht hierbei für den Engpass, oder die folgende freie Seite.) Antwort: Der optimale Zielfunktionswert lautet: Die optimale Mengenkombination (x 1, x 2 ) lautet: Rechnung: x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b Z EP x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b Z EP x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b Z EP x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b Z EP x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b Z EP x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b Z EP

7 Fortsetzung von Aufgabe 3:

8 Aufgabe 4 Punkte: / 16 Konvergieren folgende Reihen? Bestimmen Sie ggf. den Wert der Reihe. a) n=1 n n 2, b) n=0 ( 1 2) n, c) 5 2 3n 7 1 n, d) n=0 2 7 n 3 1 2n. n=0 Hinweis: Für die Geometrische Reihe gilt: n k=0 q k = 1 qn+1 1 q Konvergenz (Ja/Nein) Grenzwert a) b) c) d) Begründen Sie hier Ihre Antwort:

9 Fortsetzung von Aufgabe 4:

10 Aufgabe 5 Punkte: / 12 Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen und die kritischen Stellen folgender Funktionen: a) f 1 (x, y) = 5x 2 + xy y 2 + 8x 2y + 5 b) f 2 (x, y) = x2 y y + 17 (Sie brauchen nicht zu entscheiden, ob und wo Extrema liegen.) Tragen Sie die kritischen Stellen ein: a) b) Rechnung:

11 Fortsetzung von Aufgabe 5:

12 Aufgabe 6 Punkte: / 12 In einem Produktionsbetrieb werden zwei Produkte P 1 und P 2 hergestellt. Bisher werden sie mit einer Maschine M 1 produziert. Kürzlich wurde zusätzlich eine neuartige Maschine M 2 angeschafft. Ab sofort sollen beide Maschinen parallel laufen. Die Maschinen können beliebig zwischen der Produktion von Produkt P 1 und P 2 hin- und herschalten. Es kann aber zu einem Zeitpunkt nur jeweils ein Produkt in jeder Maschine verarbeitet werden. Die Maschinen laufen 5 Tage die Woche jeweils 9 Stunden lang. Die Produktionszeiten pro Stück (gemessen in Minuten) sind in folgender Tabelle zusammengefasst: Maschine P 1 P 2 M M Der Deckungsbeitrag (Erlöse minus variable Kosten) von Produkt P 1 beträgt 5 EUR pro Stück und der Deckungsbeitrag von Produkt P 2 beträgt 6 EUR pro Stück. Aus Absatzgründen soll von Produkt P 1 nicht mehr produziert werden als von Produkt P 2. Ansonsten kann aber, dank des guten Marketings, davon ausgegangen werden, dass alle produzierten Produkte auch abgesetzt werden können. Ihr Auftrag: Modellieren Sie ein lineares Programm, um den Deckungsbeitrag (der Produkte P 1 und P 2 ) an einem Produktionstag zu maximieren. (Sie brauchen es nicht zu lösen!) Modellierung:

13 Fortsetzung von Aufgabe 6:

14 Aufgabe 7 Punkte: / 18 Betrachten Sie folgende Nutzenfunktion N(x, y) = x 2 2y x + 7 eines Schafs. Sie ist dadurch gegeben, an welcher Stelle der Wiese das Schaf grast. Da es an einem Pfahl angebunden ist, muss sich das Schaf an die Nebenbedingung halten. x 2 + y 2 25 Bestimmen Sie die zugehörige Lagrangefunktion. Wie lauten die globalen Nutzenextrema und an welchen Stellen liegen sie? Betrachten Sie hierzu die partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion. Antwort: Die Lagrangefunktion lautet: Das globale Nutzenmaximum liegt bei: Die globalen Nutzenminima liegen bei: Rechnung:

15 Fortsetzung von Aufgabe 7:

16 Aufgabe 8 Punkte: / 14 Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale: a) 1 1 (x 3 + 1) dx b) 1 0 x 2 e x3 dx c) ex e x dx Tragen Sie die richtige Antwort ein: a) b) c) Rechnung:

17 Fortsetzung von Aufgabe 8:

18 Aufgabe 9 Punkte: / 10 Ist f : [a, b] R eine Funktion, die im Intervall [a, b] keinen negativen Wert annimmt, so ist das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen von f um die x-achse rotieren läßt, gegeben durch V = π b a f(x) 2 dx. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers von f : [ 1, 1] R, x 1 x. Volumen des Rotationskörpers: Rechnung:

19 Fortsetzung von Aufgabe 9:

20 Aufgabe 10 Punkte: / 10 Nach einem aufsehenerregenden Bericht des Entenhausener Forschungsinstitutes hängt die Höhe H des Barvermögens von Onkel Dagobert einzig und allein ab von der Höhe R in (RE) des von ihm eingesetzten Raffs und der Höhe S (in SE) des von ihm aufgewendeten Schnapps. Es konnte außerdem jetzt erstmalig der zugrundeliegende funktionale Zusammenhang beschrieben werden: H = H(R, S) = 200 R S, (R, S > 0). a. Kann Onkel Dagobert durch intelligenten Raffeinsatz und Schnappaufwand sein Barvermögen beliebig hoch auftürmen? b. Später stellt sich heraus, dass aus umwelthygienischen Gründen die insgesamt eingesetzte Menge von Raff und Schnapp zusammen nur 130 Einheiten betragen kann. Bei welchem Raffeinsatz und welchen Schnappaufwand wird nunmehr Onkel Dagoberts Vermögen maximal? Antwort: a. (Ja/Nein): b. H(R, S) = R = S = Rechnung:

21 Fortsetzung von Aufgabe 10:

22 Fortsetzung von Aufgabe: Hilfsüberlegungen, bitte nicht bewerten. Zusatz-Blatt

23 Fortsetzung von Aufgabe: Hilfsüberlegungen, bitte nicht bewerten. Zusatz-Blatt

24 Fortsetzung von Aufgabe: Hilfsüberlegungen, bitte nicht bewerten. Zusatz-Blatt