Klausur zum Fach Mathematik 1 Teil 1

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1 (Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever Klausur zum Fach Mathematik Teil Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: ein (beidseitig) handbeschriebenes DinA4-Blatt, keintaschenrechner Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter. Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Die Klausureinsicht findet voraussichtlich am statt. Ggf. notwendige mündliche Ergänzungsprüfungen finden voraussichtlich am statt. Mit meiner Unterschrift bestätige ich, dass ich die obigen Klausurbedingungen gelesen habe,unddassalle8aufgaben(aufgabe-aufgabe8)ingutleserlichemdruckvorliegen. Viel Erfolg! (Unterschrift) Aufgabe Σ Σ 2 B. Σ Max Ist Note:

2 Aufgabe ( = 5 Punkte) Die Funktion f : R R besitze den folgenden Funktionsgraf: f Wie lautet der funktionale Zusammenhang zwischen g und f bei folgenden Funktionsgrafen zu g? Notieren Sie die Formel neben die Bildern. a) g g(x) = b) g g(x) = c) g g(x) = d) g g(x) =

3 Aufgabe 2 ( = 5 Punkte) Zu einer differenzierbaren Funktion f : [0,] R sind die Werte an den folgenden Stützstellen gespeichert: Stelle x Wert f(x) a) Zwischen den Stützstellen sollen die Funktionswerte durch eine Gerade approximiert werden. a) Geben Sie eine Geradengleichung g(x) für den Abschnitt x [0.4, 0.6] an. a2) Welche Approximation erhält man für f(0.54)? b) Wieviel Nullstellen besitzt die Funktion f mindestens? c) Geben Sie auf Basis der angegebenen Werte eine Abschätzung für die Ableitung f (0.7) an.

4 Aufgabe 3 (maximal 5, minimal 0 Punkte) Welche der folgenden Aussagen gelten für alle a,b R mit 0 < a < b? Jeder richtige Eintrag zählt +0.5 Punkte, jeder falsche 0.5; kein Eintrag zählt 0 Punkte. Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen. gilt gilt nicht a 2 < b 2 a < b a < b a < b log 2 a < log 2 b log a 2 < log b 2 2 a < 2 b 0.5 a < 0.5 b sina < sinb arctana < arctanb

5 Aufgabe 4 (6 Punkte) Geben Sie ein quadratisches Polynom p(z) an, das Nullstellen in z = +3j und z = 2+j besitzt, und für das p(j) = +4j gilt. Tipp: Nutzen Sie eine geeignete Ansatz-Darstellung für p.

6 Aufgabe 5 (6 Punkte) Geben Sie den Wert (in R {,+ }) der folgenden Grenzwerte an. (Sie brauchen Ihre Aussage nicht zu begründen.) 6n a) lim n 3+2n = (3n) 2 b) lim n n 3 + = c) lim n (2n+) 2 +n 2 = n 2 d) lim n n = x 3 e) lim x x 2 + = x 2 + f) lim = x x 3 x g) lim x e = x h) lim x i) lim x + x e = x x 3 x = x j) lim x + x 2 = k) 2 k = l) k=0.2 k = k=0

7 Aufgabe 6 (4 Punkte) Geben Sie die Koeffizienten a 0 bis a 5 der Potenzreihe a k x k zu f(x) = sin(x+ π) an. 6 Tipp: Additionstheorem! (Es reichen Angaben, in denen noch Wurzel-Terme stehen.) k=0

8 Aufgabe 7 (3 Punkte) Sei f : R R, f(x) = cx+sin(3x) mit einem Parameter c R. Für welche Parameterwerte c ist die Funktion f monoton wachsend? (Tipp: Nutzen Sie die Ableitung!)

9 Aufgabe 8 ( = 6 Punkte) Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung zu den folgenden Funktionen. Beachten Sie, was jeweils die Variable ist; der Rest sind Parameter. Vereinfachen Sie (falls möglich) die entstehenden Ausdrücke. Tipp: Ggf. geht s schneller, wenn man den Funktionsausdruck zunächst umformt. a) f(x) = x+2 bx, b) f(s) = s+ (s+b) 2 c) g(y) = ln(cy 2 ), d) h(a) = a 3 a sina,

10 (Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever Klausur zum Fach Mathematik Teil 2 Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: ein (beidseitig) handbeschriebenes DinA4-Blatt, keintaschenrechner Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter. Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Die Klausureinsicht findet voraussichtlich am statt. Ggf. notwendige mündliche Ergänzungsprüfungen finden voraussichtlich am statt. Mit meiner Unterschrift bestätige ich, dass ich die obigen Klausurbedingungen gelesen habe, und dass alle 8 Aufgaben (Aufgabe 9 - Aufgabe 6) in gut leserlichem Druck vorliegen. Viel Erfolg! (Unterschrift) Aufgabe Σ 2 Max Ist

11 Aufgabe 9 (5 Punkte) Für welche Stelle a [0,4] wird die Fläche des Rechtecks unter der Geraden (s. Skizze) maximal? Begründen Sie Ihre Aussage! a

12 Aufgabe 0 (++ = 3 Punkte) Das folgende Bild zeigt den Funktionsgraf zu einer Funktion f : [ 3;6] R. (Bei ganzzahligen x-werten ist f(x) auch ganzzahlig;.5 und 5 sind Maximalstellen, 2 eine Minimalstelle.) 2 f(x) x f(x)dx bei einer Zer- 2 a) Welchen Wert hat die Riemannsche Zwischensumme S zu legung x 0 = 3, x =, x 2 = 3, x 3 = 4, x 4 = 6 und den Zwischenstellen x = 2, x 2 =, x 3 = 4, x 4 = 5? 6 3 b) Skizzieren Sie in dem Bild oben die Situation aus a). c) Geben Sie an, bei welchen Zwischenstellen zu der Zerlegung aus a) die Riemannsche Zwischensumme gleich der Untersumme ist: x = x 2 = x 3 = x 4 =

13 Aufgabe (++2 = 4 Punkte) Berechnen Sie 2 a) (x 2 2)dx b) e 2x dx c) 0 π x sinxdx 0

14 Aufgabe 2 (maximal 5, minimal 0 Punkte) Welche der folgenden Aussagen gelten für alle paarweise zueinander senkrecht stehenden Vektoren a, b, c R 3? (Mit 0 ist dabei je nach Zusammenhang die Zahl 0 R bzw. der Nullvektor in R 3 gemeint.) Jeder richtige Eintrag zählt +0.5 Punkte, jeder falsche 0.5; kein Eintrag zählt 0 Punkte. Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen. gilt gilt nicht a b = 0 a b = 0 ( a b) c = 0 ( a b) c = 0 ( a b) c = 0 ( a+ b) c = 0 ( a+ b) c = 0 a b = a b a b = a b a+ b = a + b

15 Aufgabe 3 ( = 6 Punkte) Gegeben sind die drei Vektoren a = 3 0, b = 2 und c = t 2 0 mit einem Parameter t R. a) Für welche Werte von t hat das von den Vektoren a und b aufgespannte Paralellogramm den Flächeninhalt 9? b) Für welche Werte von t hat der von den Vektoren a, b und c aufgespannte Spat das Volumen 4?

16 Aufgabe 4 (4 Punkte) Liegt die Gerade { g = +λ 2 } λ R 0 2 in der Ebene E = { 4 2 +α 3 (Begründen Sie Ihre Aussage!) 3 +β 0 α,β R }? 4

17 Aufgabe 5 (maximal 5, minimal 0 Punkte) Ein Backwarenhersteller bietet Produkte P,P 2,...,P n an und nutzt dazu Grundsubstanzen G,G 2,...,G k (k n). Die Matrix a... a k A =.. a n... a nk beschreibt die Zusammensetzung der einzelnen Produkte: Für das Produkt P i sind a i Einheiten von G, a i2 Einheiten von G 2 usw. nötig. Die Preise der Grundprodukte sind im Vektor p = (p i ist der Preis einer Einheit von G i ). Der Hersteller möchte z k mal das Produkt P k herstellen, z = p. p k zusammengefasst a) Kreuzen Sie an, durch welchen Ausdruck sich die entsprechenden Größen darstellen lassen. Jeder richtige Eintrag zählt + Punkt, jeder falsche ; kein Eintrag zählt 0 Punkte. z. z n. A p A T p A z A T z Warenwert der einzelnen Produkte Einheiten der Grundsubstanzen für die gesamte Produktion b) Notieren Sie bei den folgenden Ausdrücken, falls der Ausdruck den Gesamtpreis der Produktion angibt, o, falls man den Ausdruck zwar bilden kann, das Ergebnis aber nicht den Gesamtpreis der Produktion angibt,, falls man den Ausdruck gar nicht bilden kann. Jeder richtige Eintrag zählt +0.5 Punkte, jeder falsche 0.5; kein Eintrag zählt 0 Punkte. (A z) p T (A p) z T (A z) T p (A p) T z p T A z z T A p (Sie brauchen Ihre Antworten nicht zu begründen.)

18 Aufgabe 6 (2+++4 = 8 Punkte) c 2 Sei A = 0 mit Parametern c,d R. d 2 Tipp: Nutzen Sie für die Aufgabenteile a2) und a3) die Information aus der Aufgabenstellung von a); das Ergebnis von a) brauchen Sie dazu nicht! 0 2 a) Für welche Parameterwerte c, d ist 4 3 die inverse Matrix zu A? 5 3 (Sie können davon ausgehen, dass es derartige Parameterwerte gibt!) a2) Wie lautet zu den Parameterwerten aus a) die inverse Matrix zu A T? a3) Geben Sie zu den Parameterwerten aus a) eine Lösung zu A x = 2 an. 3 b) Wie lautet die inverse Matrix zu A bei c = und d = 0?