Prüfungsklausur Mathematik I für Bauingenieure am

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik I für Bauingenieure am A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe gesamt erreichbare P (6) (+6) erreichte P. Bemerkungen: Bitte für jede Aufgabe eine neue Seite anfangen und jeweils angeben zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Lösung gehört. Die Bedeutung von Symbolen und Bezeichnungen sowie verwendete Formeln und Gleichungen sind anzugeben. Jeder Lösungsweg soll nachvollziehbar sein. Fragen sind mit einem Satz zu beantworten. Aufgabe : Geben Sie für jede der folgenden Aussagen an, ob sie wahr oder falsch ist. Begründen Sie Ihre Antworten. { ( ) ( )} 3 (a) A: {(2, ) T } x R 2 x = (b) B: {x R x 2 + 2x 3 = 0} = {} Aufgabe 2 : Der Winterdienst einer Stadt hat verschiedene Fahrzeuge zur Verfügung. Diese Fahrzeuge können Schnee schieben, Salz oder Split streuen oder mehrere dieser Tätigkeiten ausführen. Nur 5 der Fahrzeuge sind für alle drei Tätigkeiten ausgerüstet. 8 Fahrzeuge können nur Split streuen und weder Schnee schieben noch Salz streuen. 0 der Fahrzeuge können Schnee schieben und Salz streuen, aber keinen Split. Insgesamt 25 der Fahrzeuge können Salz streuen, insgesamt 23 können Split streuen und insgesamt 38 sind zum Schneeschieben ausgerüstet. Wieviele Fahrzeuge stehen insgesamt zur Verfügung? Wieviele der Fahrzeuge können nur Schnee schieben und weder Salz noch Split streuen? Wieviele der Fahrzeuge sind nicht zum Salz streuen ausgerüstet? Wieviele Fahrzeuge haben wenigstens eine der Ausrüstungen zum Split oder Salz streuen? Lösen Sie die Aufgabe mit Hilfe eines Venn-Diagramms.

2 Aufgabe 3 : Stellen Sie die folgende Menge L als Vereinigung von Intervallen dar. { L = x R 3x + 3 } < x +. x 7 Geben Sie den Rechenweg einschließlich der zu behandelnden Fälle, sowie die zugehörigen Teillösungsmengen an. Zusatzaufgabe 4 : Geben Sie den Definitionsbereich D der Wurzelgleichung 8 + x 2 + x + 2 = 2x an. Lösen Sie die Wurzelgleichung und geben Sie die Lösungsmenge L an. Aufgabe 5 : (a) Bestimmen Sie die algebraische Form der komplexen Zahl (Angabe des Lösungsweges) w = 2 + 4i 2 + i 8i4 3 ( i). 2 (b) Bestimmen Sie alle Lösungen z C der Gleichung z 3 = w 2 mit w 2 = 4i in exponentieller Form. Skizzieren Sie die Lage aller Lösungen in der Gaußschen Zahlenebene. Aufgabe 6 : Gegeben sei die Funktion f : D(f) R R mit f(x) = p(x) q(x) = 5x 2 + 5x + 30 x 4 3x 3 + 5x 2 5x. (a) Bestimmen Sie den Grenzwert lim x 3 f(x). Ist x 0 = 3 Nullstelle, Polstelle oder Lücke von f(x) oder nichts von alledem? (b) Berechnen Sie alle Nullstellen der Funktion f(x) und geben Sie diese an. (c) Ermitteln Sie die komplexe und die reelle Faktorzerlegung des Nenners q(x). (d) Machen Sie den Ansatz für die Partialbruchzerlegung von f(x) und ermitteln Sie das Gleichungssystem für die Berechnung der unbekannten Koeffizienten. Die Berechnung ist nicht gefordert.

3 Aufgabe 7 : Gegeben sei die Gerade Γ = { x R 3 x = (, 3, 4) T + s (, 3, 5) T, s R} sowie der Punkt C = (5,, 0). (a) Zeigen Sie, dass der Punkt C nicht auf Γ liegt. (b) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung und eine parameterfreie Darstellung der Ebene Γ 2, welche die Gerade Γ und den Punkt C enthält. Aufgabe 8 : Gegeben sei das lineare Gleichungssystem (LGS) x + 3x 2 2x 3 = 0 2x 5x 2 + 6x 3 = 3 4x 8x 2 + αx 3 = β Bestimmen Sie alle Paare α, β R für die das LGS genau eine Lösung besitzt. Geben Sie alle Paare α, β R an, für die das LGS unendlich viele Lösungen besitzt. Gibt es α, β R für die das LGS keine Lösung besitzt? Wenn ja, geben Sie diese an. Bestimmen Sie alle Lösungen des LGS für α = 6 und β = 2, sowie für α = 0 und β = 2 in Parameterschreibweise bzw. Vektordarstellung. Aufgabe 9 : Gegeben sind die Matrizen A = sowie B = (a) Ist B die inverse Matrix zu A? Begründen Sie Ihre Antwort (b) Formen Sie die Gleichung x B = (5,, ) nach x = (x, x 2, x 3 ) um und berechnen Sie x. (c) Formen Sie die Gleichung A X B = E nach X um und berechnen Sie X. (E ist die Einheitsmatrix aus R (3,3) ).

4 Aufgabe 0 : Die Punkte P = (0, 0, 0), P 2 = (2, 0, 0), P 3 = (3, 9, 3), sowie P 4 = (0, 6, 2) liegen in einer Ebene und spannen somit ein ebenes Viereck (mit den Seiten P P 2, P 2 P 3, P 3 P 4, P 4 P ) auf. (a) Berechnen Sie den Schnittpunkt S der Diagonalen des Vierecks. (b) Bestimmen Sie einen der Winkel, den die Diagonalen einschließen (der Cosinus des Winkels ist ausreichend). (c) Handelt es sich bei dem Viereck um ein Parallelogramm? Begründen Sie Ihre Antwort. (d) Geben Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes F des Vierecks an. Die Berechnung ist nicht gefordert. Aufgabe : Von einer Funktion f : R \ {, 2} R ist nur die. Ableitung f (x) = 6x (x + ) 2 (x 2) 3 bekannt. Für jedes der folgenden Intervalle ist zu entscheiden, ob die Funktion f(x) auf diesem Intervall monoton wachsend oder monoton fallend ist: I = (, ), I 2 = (, 0), I 3 = (0, 2). Begründen Sie Ihre Antworten. Besitzt die Funktion f(x) an der Stelle x 0 = 0 eine lokale Extremwertstelle und falls ja, was für eine? Begründen Sie Ihre Antwort ohne Bestimmung der 2. Ableitung.

5 Ergebnisse - keine vollständigen Lösungen ( ) ( ) ( ) 3 2. (a) = Aussage A ist wahr, (b) x 2 = 3 löst die Gleichung ebenfalls Aussage B ist falsch. 2: A - Menge der Fahrzeuge, die zum Salz streuen ausgerüstet sind P - Menge der Fahrzeuge, die zum Split streuen ausgerüstet sind C - Menge der Fahrzeuge, die zum Schnee schieben ausgerüstet sind A C P -) Insgesamt stehen 46 Fahrzeuge zur Verfügung. -) 3 Fahrzeuge können nur Schnee schieben. -) 2 Fahrzeuge können kein Salz streuen. -) 33 Fahrzeuge können Split oder Salz streuen. 3. L = (, 5) (7, ) 4. D = [ 3, 4], L = {4} 5. (a) w = 2i, (b) w 2 = 4e i( π 2 ), z 0 = 3 4 e i( π 6 ), z = 3 4 e i( π 2 ), z 2 = 3 4 e i( 5π 6 ) 6. (a) lim f(x) = 25 (l Hopital), (b) Nullstelle: x x = 2 p(x) = 5(x 3)(x + 2) (c) q(x) = x(x 3)(x 2 + 5) = x(x 3)(x 5 i)(x + 5 i) (d) 5x2 +5x+30 = A + B + Cx+D 5x 0 oder = A + Bx+C x(x 3)(x 2 +5) x x 3 x 2 +5 x(x 2 +5) x x 2 +5 x 3 : 0 = A + B + C, x 2 : 5 = 3A 3C + D x : 5 = 5A + 5B 3D, : 30 = 5A 5 7. (a) = 3 + s (b) Γ 2 = x R s oder x2 : 0 = A + B, x : 5 = C, : 2 = A ist nicht lösbar C liegt nicht auf Γ t Γ 2 = { x = (x, y, z) T 8x 6y + 8z = 24} , s, t R Das LGS besitzt genau eine Lösung für α 6 und β beliebig. Das LGS besitzt unendlich viele Lösungen für α = 6 und β = 2. Das LGS besitz keine Lösung für α = 6 und β α = 6, β = 2 : x = 3 + t 2, t R 0

6 α = 0, β = 2 : x = (a) B ist die inverse Matrix zu A, da A B = E, (b) x = (5,, ) B = (5,, ) A = ( 0, 2, 45) (c) X = A EB = BEA = BA = E 0. (a) S = (, 3, ) T, (b) cos α = 9 (c) F = ( P 2 P 2 P P 4 + P 3 P 2 P 3 P 4 ). (a) I = (, ), f + : < 0 f ist monoton fallend auf I +, I 2 = (, 0), f + : < 0 f ist monoton fallend auf I + 2, I 3 = (0, 2), f : > 0 f ist monoton wachsend auf I + 3 (b) f besitzt an der Stelle x 0 = 0 eine lokale Minimalstelle, weil f (0) = 0 und f ist monoton fallend auf I 2 und monoton wachsend auf I 3.