1. Di erenzialrechnung für Funktionen einer Veränderlichen

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1 . Di erenzialrechnung für Funktionen einer Veränderlichen. estimmen Sie die Grenzwerte a) x + x lim x! x d) x + x lim x! x ; b) lim x! ; e) lim x! x x x + x + ; x + x x x. x x c) lim x! x + ; e an.. estimmen Sie die bleitungen der Funktionen a) f(x) = x ln x; b) f(x) = p x x + x = x p x + x + tan x; c) f(x) = ex x x + ; d) f(x) = p ln(x) + ; e) f(x) = cos x ; f) f(x) = x epx ; g) f(x) = ln (e x + ) ; h) f(x) = x sin(x + ); i) f(x) = x + x ; j) f(x) = e x + x ; k) f(x) = p x + x + :. Geben Sie zur Funktion in ufgabe.a) die Gleichung der Tangente an der Stelle. Führen Sie für die folgende Funktionen eine Kurvendiskussion durch: a) f(x) = (x x + )e x ; b) f(x) = ex x ; c) f(x) = ln( + x ); d) f(x) = x + x ; e) f(x) = xe x ; f) f(x) = x x + ; g) f(x) = ln x x ; h) f(x) = x 8x + ; x + i) f(x) = x (ln x) x ln x + x; k) f(x) = x x x + ; l) f(x) = (x ) e =x Geben Sie den De nitionsbereich, die Nullstellen, die Polstellen, die Extremstellen und die Wendepunkte der jeweiligen Funktion an. Ein Nachweis mit Hilfe der dritten bleitung ist nicht erforderlich. Notieren Sie außerdem die Intervalle, auf denen die Funktion monoton wachsend bzw. fallend ist, und jene Intervalle, auf denen sie konkav bzw. konvex ist.. etrachten Sie die folgende Funktion: a) f(x) = x x ; b) f(x) = x x x (x + ) : Ermitteln Sie die lokalen Extremstellen (rt und Funktionswert), die Wendepunkte sowie

2 die symptoten. e x+=x :. estimmen Sie die zweite bleitung und die Extremwerte der Funktion f(x) =. estimmen Sie die Grenzwerte x x + x a) lim, b) lim x! x x x! x x +, ln x sin x c) lim x ln x, d) lim, e) lim x! x! x x! e x, cos x f) lim, g) lim, x! e x x! x sin x sin(x) sin x cos x h) lim ; i) lim x! ex x!= tan x : Hinweis: bei g) sind die rüche auf den Hauptnenner zu bringen. 8. estimmen Sie die erste bleitung der Funktion f(x) = x px. Geben Sie den De nitionsbereich der Funktion an. estimmen Sie die Extremwerte der Funktion ohne Zuhilfenahme der zweiten bleitung. 9. Geben Sie das Taylorpolynom zweiten Grades (Schmiegeparabel) der Funktion f(x) = p x + an der Stelle an. Vereinfachen Sie die zweite bleitung dabei so weit wie möglich.. Geben Sie das Taylorpolynom dritten Grades der Funktion f(x) = xe x an der Stelle an.. Geben Sie das Taylorpolynom dritten Grades der Funktion f(x) = ln x an der Stelle an. Vergleichen Sie die Funktionswerte von f(x) und des Taylorpolynoms an der Stelle :.

3 . Vektoren. Gegeben seien die Vektoren ; ~ b = ; ~c = a) estimmen Sie ~a + ~ b, ~a + ~ b, ~a ~c, ~a ~ b + ~c, ~ b und die Länge der Vektoren ~a und ~ b. b) estimmen Sie ~a ~ b und ~a (~c). c) Wie großist der Winkel zwischen ~a und ~ b? Geben Sie den Winkel in Grad- und ogenmaßan.. Zeigen Sie, dass von den drei Vektoren ; ~ b = ; ~c = jeweils zwei senkrecht aufeinander stehen. erechnen Sie ~a ; ~ b ;~c. Welche Vektoren stehen senkrecht auf ~a und ~ b?. Gegeben seien die Vektoren 8 ; ~ b = ; ~c = a) Wie großist der Winkel zwischen ~a und ~ b? b) Wie großist der Winkel von ~c mit der x-chse? c) Stehen die beiden Vektoren ~a und ~ b + ~c senkrecht aufeinander?. Vorgegeben sind die Punkte (; ; ), (; ; ), ( ; ; ). estimmen Sie die Innenwinkel des Dreiecks. Wie großist der Flächeninhalt des Dreiecks?. Vorgegeben sind die Vektoren 8 ; ~ b = : a) erechnen Sie ~a ~ b; ~ b ~a. b) Wie großsind ~a ~i, ~a ~a, ~j (~j + ~ k)?

4 !. Gegeben seien die Punkte P (; ; ); P (; ; ); P ( ; ; ). Wie großist P P! P P? Wie großist der Flächeninhalt des Dreiecks P P P?. Gegeben seien die Vektoren a) b) c) ; ~ b = ; ~ b = ; ~ b = ; ~c = ; ~c = ; ~c = ; : Untersuchen Sie die Vektoren auf lineare bhängigkeit bzw. Unabhängigkeit. ei bhängigkeit ist die entsprechende bhängigkeitsgleichung anzugeben. 8. Gegeben sind die Vektoren ; ~ b = ; ~c = ; d ~ = a) Man untersuche, ob die Vektoren ~a; ~ b;~c linear unabhängig oder linear abhängig sind. Im letzteren Falle gebe man die zugehörige Vektorgleichung an. b) Untersuchen Sie, ob die Vektoren ~a; ~ b; ~ d linear unabhängig oder linear abhängig sind. c) Welche Winkel schließen ~ b und ~c bzw. ~a und ~ b ~ d ein? d) Welchen Winkel schließt ~ b mit der x-chse ein? 9. Zeigen Sie mit Hilfe des Spatprodukts, dass die drei Vektoren in einer Ebene liegen. ; ~ b = ; ~c =. erechnen Sie das Volumen des Tetraeders (dreieckige Pyramide) mit den Eckpunkten (; ; ), (; ; ), ( ; ; ) und S(; ; ). ; :

5 . ilden die Vektoren ; ~ b = ; ~c = eine asis? Wenn ja, dann stelle man den Vektor ~d = in dieser asis dar.. Gegeben sind die Vektoren ; ~ b = ; ~c = ; ~ d = Zeigen Sie, dass die Vektoren f~a; ~ b;~cg eine orthonormale asis bilden. Stellen Sie den Vektor d ~ in der asis f~a; ~ b;~cg dar.. Gegeben seien die Punkte P (; ; ); P (; ; ); P ( ; ; ); P ( ; ; 9), P (8; ; 9). Die Punkte P ; P ; P liegen auf der Ebene E. estimmen Sie den Schnittpunkt der Ebene E und der Geraden g, die durch P und P verläuft.. Ebene E wie in ufgabe. a) Geben Sie die Gleichung der Geraden h an, die senkrecht auf E steht und durch den Punkt Q(8; 9; ) verläuft. estimmen Sie den Schnittpunkt von E und h. b) estimmen Sie den bstand des Punktes R(; ; ) zur Ebene E.. Gegeben seien die Punkte P (; ; ); P (; ; ); P (; ; ); P (; ; ), P (8; ; ). Die Ebene E verläuft durch die Punkte P ; P ; P. a) Geben Sie eine Parameterdarstellung und eine parameterfreie Gleichung der Ebene E an. b) estimmen Sie den Schnittpunkt der Ebene E und der Geraden g, die durch die Punkte P und P geht.. Die Punkte P (8; ; ); P ( ; ; ); P (; ; ) und P (; ; 8) seien gegeben. Die Gerade g verlaufe durch die Punkte P ; P. Die Punkte P ; P liegen auf der Geraden h. Untersuchen Sie, ob sich die Geraden g und h schneiden.