Übungsaufgaben zu Kapitel 1 bis 4 (Studiengang Produktionstechnik)

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1 Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Wintersemester 8/9 Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. B. Jung Übungsaufgaben zu Kapitel bis 4 (Studiengang Produktionstechnik) Aufgabe : Vereinfachen Sie die folgenden komplexen Ausdrücke so weit wie möglich (Angabe in arithmetischer Form): z = Aufgabe : (6 + j)( j) + j, z = (5 + j)( j) + 4j, z = Gegeben ist die komplexe Zahl z = a + bj. Berechnen Sie: z z z z, z und z. Aufgabe : 5 + 6j ( j)(4 + j) a) Gegeben sind: w =.5.5j und w = +.5j. Berechnen Sie: w w w + w b) Gegeben sind: z = 4j und z = 5 e (π/)j. Berechnen Sie: z + z sowie z z. c) Berechnen Sie: z z sowie z mit z und z aus Teilaufgabe b). Geben Sie die Ergebnisse in Exponentialform an. Aufgabe 4: z a) Sei z = 6 + 5j und z = α + βj (α, β: beliebige reelle Zahlen). Unter welcher Bedingung an α und β ist das Produkt z z eine reelle Zahl? b) Sei z die zu z konjugiert-komplexe Zahl. Unter welcher Bedingung an α und β ist das Produkt z z eine reelle Zahl? Aufgabe 5: Gegeben sei die Ebene E: x + y z =. Geben Sie eine Gleichung der Ebene E (in Parameterform) an, die auf E senkrecht steht und die Punkte P (,, ) und P (,, ) enthält. Aufgabe 6: Gegeben seien der Punkt P (,, ) und die Gerade g : r(λ) = (λ R). Stellen Sie die Gleichung der Ebene E, welche durch P verläuft und die Gerade g enthält, auf (Parameterform und parameterfreie Form). Aufgabe 7: Berechnen Sie das Volumen und den Oberflächeninhalt des Spates, der von den Vektoren a = 5, b = 4 und c = aufgespannt wird. weiter siehe S.

2 Aufgabe 8: Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E: g : r(λ) = (λ R), E : n ( r r ) = (x ) + (y ) + (z + ) =. Zeigen Sie, dass die Gerade und die Ebene sich schneiden und berechnen Sie den Schnittpunkt sowie den Schnittwinkel. Aufgabe 9: Die Ebene E soll durch den Punkt P (,, ) verlaufen und den Normalenvektor n = besitzen. a) Geben Sie eine Gleichung der Geraden g, welche senkrecht auf E steht und durch den Punkt P (6, 5, ) verläuft, an. b) In welchem Punkt schneidet die Gerade g die Ebene E? c) Wie groß ist der Abstand des Punktes P von der Ebene? Aufgabe : Die Ebene E sei bestimmt durch die Punkte P (,, ), P (,, ) und P (,, ). Die Ebene E verlaufe durch die Punkte Q (5,, ), Q (, 8, ) und Q (4, 5, ). a) Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen parallel verlaufen. b) Stellen Sie fest, ob die Ebenen E und E zusammenfallen oder keinen Punkt gemeinsam haben. Aufgabe : Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus: a) x + x x + 6x 4 = x 5x + 4x + x 4 = 5x x x 6x 4 = 7 Aufgabe : Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem: x + x + 5x = x 4x + 8x = 7 4x x x = α. b) x + x x = x + x = 5x x + x = 4 x + 6x x = 5 a) Für welchen Wert des reellen Parameters α ist dieses Gleichungssystem lösbar? b) Berechnen Sie die Lösung dieses Gleichungssystems, wenn α den unter a) ermittelten Wert annimmt. Aufgabe : Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem: x x + x = 4 6x + 8x = 4x + x + βx = β. Für welchen Wert des reellen Parameters β besitzt dieses Gleichungssystem keine Lösung? weiter siehe S.

3 Aufgabe 4: In einem Betrieb werden drei Arten von Betonfertigteilen (Typ, Typ und Typ ) hergestellt. Der Verbrauch an Beton und Arbeitszeit (pro Stück) ist der folgenden Verbrauchsmatrix zu entnehmen: Typ Typ Typ Beton (in t)..8. Arbeitszeit (in h) 4 5 Pro Monat stehen 66 t Beton und 7 Arbeitsstunden zur Verfügung. a) Wieviele Betonfertigteile von jedem Typ können pro Monat hergestellt werden, wenn die o.g. Ressourcen restlos verbraucht werden und dabei mindestens 45 Teile vom Typ produziert werden sollen? b) Wieviele Betonfertigteile von vom Typ und Typ können pro Monat hergestellt werden, wenn die Ressourcen restlos verbraucht werden und dabei genau 4 Teile vom Typ produziert werden sollen? Hinweise zu dieser Aufgabe: - zu dem Begriff Verbrauchsmatrix siehe auch: Übungsblatt 8, Aufgabe 5 - Es ist zu beachten, dass nur ganzzahlige Lösungen in Frage kommen. Aufgabe 5: Für welche Werte des reellen Parameters s gilt: s s s =? Aufgabe 6: Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte (Grenzwerte von Zahlenfolgen): a) lim n + (n 6) b) lim n (n ) 9 (n + ) c) lim n + n 6n + 9 d) lim (n ) e) lim 6n + 8n 6n + 8n f) lim 8n 9n + 5n + Aufgabe 7: Wird ein Kondensator mit der Kapazität C über einen ohmschen Widerstand R entladen, so nimmt seine Ladung q exponentiell mit der Zeit t nach der Gleichung q(t) = q e t RC ab. a) Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, von dem an die Kondensatorladung unter % ihres Anfangswertes q() = q gesunken ist, wenn für die Zeitkonstante gilt: RC =. ms. b) Wie verhält sich die Funktion q(t) für t? Aufgabe 8: Führen Sie eine Kurvendiskussion für die Funktion f(x) = (x + ) (ln(x + )) durch. Aufgabe 9: Gegeben ist die Funktion g(x) = x x. a) Geben Sie den Definitionsbereich dieser Funktion an. b) An welchen Stellen besitzt g(x) lokale Extrema (Art d. Extremums u. Funktionswert jeweils mit angeben)? c) An welchen Stellen hat g(x) Wendepunkte ( Funktionswert jeweils mit angeben)? weiter siehe S. 4

4 Aufgabe : Die Bremskraft einer Wirbelstromscheibenbremse ist durch die Gleichung K(v) = a v v + b als Funktion der Umfangsgeschwindigkeit v gegeben (a, b: Konstanten). Bei welcher Umfangsgeschwindigkeit ist die Bremskraft am größten? Geben Sie für diesen Fall die Bremskraft an. Aufgabe : Der Querschnitt eines Lüftungskanals für eine Werkhalle hat die Form eines Rechtecks mit einem angesetzten gleichschenkligrechtwinkligem Dreieck (siehe nebenstehende Abbildung). Die Querschnittsfläche soll A = m betragen. Welche Maße a, b und h müssen das Rechteck und das Dreieck haben, damit zur Herstellung des Lüftungskanals möglichst wenig Material verbraucht wird (d.h. der Umfang der Querschnittsfläche soll möglichst gering werden)? h b a a Aufgabe : Ein Sportplatz hat die Form eines Rechtecks mit zwei gleich großen angesetzten Halbkreisen. Der Umfang des Platzes ist mit 4 m fest vorgegeben. Berechnen Sie die Seitenlängen des Rechtecks so, dass die Rechteckfläche maximal wird. Wie groß ist dann die Rechteckfläche? Aufgabe : Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte (Grenzwerte von Funktionen): a) lim x x x + x + d) lim x π 6 sin x cos(x) b) lim x x ln x e) lim x cos(x) cos x c) lim x sin(x) x Aufgabe 4: Berechnen Sie für die Funktion f(x) jeweils das Taylor-Polynom an der Stelle x = : a) f(x) = ( + x) /4 (Taylor-Polynom. Grades) b) f(x) = ln( x) (Taylor-Polynom 4. Grades) c) f(x) = x e x (Taylor-Polynom. Grades) Aufgabe 5: Berechnen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die erste Ableitung. Verwenden Sie dazu die logarithmische Differentiation. a) f (x) = (x) cos x (x > ) b) f (x) = (sinh x) x (x > ) c) f (x) = x tan x (x > und x π + nπ, n N) Aufgabe 6: Gegeben sind die Funktionen f(x) = x 54x und g(x) = x + 8x. a) Welches Symmetrieverhalten besitzt die Funktion f(x)? Begründen Sie Ihre Entscheidung. b) In welchen Intervallen ist die Funktion f(x) streng monoton wachsend? c) Die Funktion h(x) wird definiert als: h(x) = f(x). Welchen Definitionsbereich hat die Funktion h(x)? g(x) d) Berechnen Sie lim x h(x) (mit h(x) aus Teilaufgabe c)). 4

5 Aufgabe 7: Gegeben ist die Funktion f(x) = 4 x x + sin x. Überprüfen Sie, ob diese Funktion an der Stelle x = ein lokales Extremum besitzt. Wenn dies nicht der Fall ist, dann entscheiden Sie, ob die Funktion f(x) in einer Umgebung der Stelle x = streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist. Aufgabe 8: Die Periodendauer T eines mathematischen Pendels wird nach der Formel l T = π g berechnet (l: Länge des Pendels, g = 9.8 m/s : Erdbeschleunigung). Für die Länge des Pendels liegt der Messwert 6 cm vor, wobei die Messungenauigkeit ±. cm beträgt. Schätzen Sie den absoluten und den relativen Fehler (in %) bei der Berechnung der Periodendauer dieses Pendels. Verwenden Sie dazu das Differential der Funktion T. Aufgabe : Ergebnisse Hinweise: Dezimalzahlen sind auf drei Nachkommastellen gerundet. z =.4 9.8j, z = j, z = j Aufgabe : z z = a + b, z z = a b a + b + j ab a + b und z z = a b a + b j ab a + b. Aufgabe : a).55.67j b) z + z = j, z z =.5 +.j (vor der Berechnung muss z in die arithmetische Form umgewandelt werden: z =.5 4.j) c) z z = 5 e.974j z, = e.j z (vor der Berechnung muss z in die Exponentialform umgewandelt werden: z = 5 e.97j ) Aufgabe 4: a) Für β = 5 6 α ist das Produkt z z eine reelle Zahl. b) Für β = 5 6 α ist das Produkt z z eine reelle Zahl. Im weiteren bezeichnen λ und µ reelle Konstante. Aufgabe 5: E : r(λ, µ) = Aufgabe 6: E : r(λ, µ) = + µ + µ, parameterfrei: z = 5

6 Aufgabe 7: V = 7 [VE], A O = [FE] Aufgabe 8: Schnittpunkt: S( 4,, ), Schnittwinkel: ϕ = 6.64 Aufgabe 9: a) g : r(λ) = 6 5 b) Schnittpunkt: S( 46 4, 4, 9 4 ) c) Abstand: d = 5.78 [LE] Aufgabe : (λ R) a) Beide Ebenen besitzen den Normalenvektor n = b) kein gemeinsamer Punkt Aufgabe : a) x = 67 7 t, x = + 9 t, x = t, x 4 = (t R) b) keine Lösung Aufgabe : a) α = 4 b) Lösung für α = 4: x = t, x = t, x = t ( t R) Aufgabe : β = 6 Aufgabe 4: a) Typ : Stck., Typ : 45 Stck., Typ : 6 Stck. oder Typ : Stck., Typ : 5 Stck., Typ : Stck. b) Typ : Stck., Typ : Stck. Aufgabe 5: s =, s =, s = 4. Aufgabe 6: a) b) 4 c) d) e) f) 5 Aufgabe 7: a) t =.69 ms = s b) lim t q(t) = Aufgabe 8: DB: (, ), keine Symmetrien; Nullstelle für x = ; im gesamten Definitionsbereich stetig; lim x f(x) =, keine Asymptote angebbar; lokales Minimum für x = mit f(x ) = ; lokales Maximum für x = e =.8647 mit f(x ) =.54; Wendepunkt für x 4 = e =.6 mit f(x 4 ) =.679 Aufgabe 9: a) R \ { ; } b) x E = =.7 (lokales Maximum mit Funktionswert g(x E ) =.6) x E = =.7 (lokales Minimum mit Funktionswert g(x E ) =.6) c) x W = mit g(x W ) = Aufgabe : Maximum für v = b, es gilt: K(b) = a b Aufgabe : a =.7 m, b =.7 m, h =. m Aufgabe : x = m, y = 6.66 m, A = 666. m Dabei ist y diejenige Seite des Rechtecks, wo die Halbkreise angesetzt sind. 6

7 Aufgabe : a) b) c) d).577 e) 9 (bei allen Teilaufgaben: Anwendung der Regel von Bernoulli-de l Hospital!) Aufgabe 4: a) T (x) = + x 8 x b) T 4 (x) = x x x x4 4 c) T (x) = x + x Aufgabe 5: a) f (x) = [ sin x ln(x) + cos x b) f (x) = [ln(sinh x) + x coth x] (sinh x)x c) f (x) = [ ( + tan x) ln x + tan x x (alternativ: mit cos x statt ( + tan x) ) x ] (x)cos x = [ x sin x ln(x) + cos x] cos x xcos x ] x tan x = [x ( + tan x) ln x + tan x] xtan x Aufgabe 6: a) f(x) ist eine ungerade Funktion Begründung: Summe zweier ungerader Funktionen bzw. nachrechnen: f( x) = f(x) b) f(x) ist streng monoton wachsend in den Intervallen (, ) und (, ) (dort gilt jeweils: f (x) > ) c) D h = R \ { 6, } d) lim x h(x) = Aufgabe 7: Die Funktion f(x) besitzt an der Stelle x = kein lokales Extremum, denn es gilt: f () = f () = sowie f () =.5. Somit ist die Funktion f(x) in einer Umgebung der Stelle x = streng monoton fallend. Aufgabe 8: absoluter Fehler: T. s, relativer Fehler: T T.8 % 7