Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure und BWL am

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure und BWL am B Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe gesamt erreichbare P erreichte P. Bemerkungen: Bitte für jede Aufgabe eine neue Seite anfangen und jeweils angeben zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Lösung gehört. Die Bedeutung von Symbolen und Bezeichnungen sowie verwendete Formeln und Gleichungen sind anzugeben. Jeder Lösungsweg muß nachvollziehbar sein. Fragen sind jeweils mit einem Antwortsatz zu beantworten. Aufgabe 1 : Bei einer Umfrage werden 1500 Studenten zu ihrem Verkehrsverhalten befragt. Die Ergebnisse der Umfrage sind in folgendem Venn-Diagramm zusammengefaßt. Die angegebenen Mengen haben folgende Bedeutung: 1500 A - S - Z - Menge der Studenten, die regelmäßig Auto fahren Menge der Studenten, die regelmäßig Straßenbahn fahren und Menge der Studenten, die regelmäßig Zug fahren. S A Z Wieviele der befragten Studenten benutzen keines der drei Verkehrsmittel regelmäßig? Wieviele Studenten fahren regelmäßig Auto oder Straßenbahn (oder beides)? Wieviele Studenten fahren regelmäßig Auto, aber nicht regelmäßig Zug? Wieviele Studenten fahren weder regelmäßig Zug noch Straßenbahn?

2 Aufgabe : Emma Ehrlich wird am ein Guthaben von e auf ihrem Konto haben. Das Geld wird mit 1% p.a. verzinst. Beantworten Sie die folgenden Fragen unabhängig voneinander. Geben Sie die Rechenwege an. (a) Wie hoch wird ihr Guthaben am sein? (b) Emma Ehrlich möchte am sofort 0 000e und dann vom bis jährlich 5 000e abheben (1. Abhebung am 1.1.0, letzte Abhebung am ). Wie hoch ist ihr Guthaben am (nach dem Abheben)? (c) Emma Ehrlich möchte ab Januar 018 monatlich nachschüssig 1 000e abheben. In welchem Monat welchen Jahres kann sie zum letzten Mal die volle Rate von 1 000e abheben? (d) Emma Ehrlich möchte das Guthaben in 0 gleichhohen Jahresraten verbrauchen, wobei die 1. Rate am ausgezahlt werden soll. Wie hoch sind die Jahresraten? (e) Emma Ehrlich möchte nach 5 Jahren (1.1.0), 10 Jahren (1.1.08) und nach 15 Jahren (1.1.0) jeweils 6 000e abheben. Reicht das Guthaben dafür? Aufgabe : Ludwig Leichtfuß hat Schulden von 5 000e, die mit % p.a. verzinst werden. Es wird eine Annuitätentilgung mit jährlich nachschüssiger Zahlung mit einer Laufzeit von 10 Jahren vereinbart. (a) Wie hoch sind die jährlichen Raten? (b) Wieviel Prozent der 5 000e werden im 1. Jahr und wieviel Prozent der 5 000e werden im 10. Jahr der Rückzahlung getilgt? Aufgabe 4 : Gegeben sind die Matrizen A = sowie die Matrizengleichung A + A X = B A. (a) Ist C = A 1? Begründen Sie Ihre Antwort. und C = (b) Geben Sie die Typen der Matrizen X und B an, damit die Matrizengleichung definiert ist? (c) Stellen Sie die Matrizengleichung nach B um und vereinfachen Sie die Gleichung. Zusatzaufgabe: (d) Stellen Sie die Matrizengleichung nach X um. Berechnen Sie X für den Fall, dass B = E ist.,

3 Aufgabe 5 : Ein Unternehmen fertigt aus den Rohmaterialien R 1, R, R, R 4 drei Zwischenprodukte Z 1, Z, Z und daraus wiederum die drei Endprodukte E 1, E und E. Im nebenstehenden Graph ist angegeben wieviel Rohstoffe von welcher Sorte (in Stück) für die Produktion jeweils eines Teiles der Zwischenprodukte Z 1, Z bzw. Z benötigt werden. Die Matrix 1 1 A = beschreibt den Zusammenhang zwischen Zwischen- und Endprodukten, wobei des Element a ij (i-te Zeile, j-te Spalte) angibt, wieviel Stück vom Zwischenprodukt Z i für die Produktion eines Endproduktes E j benötigt werden. R 1 R R R Z 1 Z Z Sei r = (r 1, r, r, r 4 ) T, z = (z 1, z, z ) T und x = (x 1, x, x ) T, wobei r i die Anzahl von Rohstoffteilen R i, z j die Anzahl von Zwischenprodukten Z j und x k die Anzahl von Endprodukten E k darstellt. (a) Geben Sie die Matrix B = (b ij ) an, wobei das Element b ij jeweils angibt, wieviele Teile vom Rohstoff R i für die Produktion eines Zwischenproduktes Z j benötigt werden. (b) Geben Sie die Matrizengleichung für die Berechnung von r an, sofern x gegeben ist. Berechnen Sie r für x = (1, 1, ) T. (c) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung x des linearen Gleichungssystems A x = (8, 8, 4) T unter Verwendung der Teillösung: T 0 x 1 x x 1 y y y T 1 x 1 y 1 x 1 x 1 8 y 5 8 y 8 0. (d) Geben Sie alle möglichen Produktionsvektoren x von Endprodukten (ganzzahlig) an, sofern z = (8, 8, 4) T Zwischenprodukte vorhanden sind.

4 Aufgabe 6 : Eine Firma stellt Fertiggerichte her. Unter anderem werden die Gerichte Roulade (mit Rotkraut und Kloß), Leber (mit Zwiebelsoße und Kartoffelbrei), sowie Bratwurst (mit Sauerkraut und Kartoffeln) produziert. Aus technischen Gründen beträgt die Losgröße in der Produktion jeweils 100 Portionen. Für 100 Portionen Roulade wird ein Gewinn von 0e erwirtschaftet, für 100 Portionen Leber sind es 5e Gewinn und für 100 Portionen Bratwurst beträgt der Gewinn 0e. Jedes Gericht durchläuft die Abteilungen Vorbereitung (V), Zubereitung der Komponenten (Z), Kontrolle (K) und Portionierung (P). In der folgenden Tabelle ist der Zeitaufwand pro 100 Portionen in der jeweiligen Abteilung in Stunden angegeben. Dabei steht die Vorbereitung pro Woche 46 Stunden zur Verfügung, die Zubereitung steht wöchentlich 48 Stunden zur Verfügung, bei der Kontrolle sind es 40 Stunden pro Woche und bei der Portionierung sind es 0 Stunden pro Woche. Roulade Leber Bratwurst V 5 4 Z K P Für die Gewinnmaximierung der Wochenproduktion ergibt sich das folgendes LOP. Das angegebene Tableau erhält man nach Optimierungsschritten. Z = 0x 1 + 5x + 0x max 5x 1 + 4x + x 46 (y 1 ) 6x 1 + 5x + 4x 48 (y ) x 1 + x + x 40 (y ) x 1 + x + x 0 (y 4 ) x 1, x, x 0 (a) Geben Sie die genaue Bedeutung der Variablen x 1, x und x an. T y x y y x y x Z (b) Wieviele Portionen der jeweiligen Gerichte sollten entsprechend T produziert werden, um maximalen Gewinn zu erzielen und wie hoch ist dieser? (c) Wie wirkt sich eine Senkung der wöchentlichen Arbeitszeit in der Kontrollabteilung um 10 Stunden auf den maximalen Gewinn und das optinale Produktionsprogramm entsprechend T aus? (d) Wie wirkt sich eine Gewinnerhöhung für 100 Portionen Bratwurst auf 6,-e auf den Gewinn und das optimale Produktionsprogramm entsprechend T aus? (e) In welcher Abteilung (ausgehend vom Tableau T ) sollte die Arbeitszeit erhöht werden, um eine Gewinnsteigerung zu erreichen. Geben Sie anhand von Tableau T die maximal mögliche Steigerung der Arbeitszeit, sowie ein zugehöriges Produktionsprogramm und den entsprechenden Gewinn an. (f) Ist folgendes Produktionsprogramm optimal: 500 Portionen Roulade, 00 Portionen Leber und 00 Portionen Bratwurst? Begründen Sie Ihre Antwort. Zusatzaufgaben: (g) Geben Sie eine weitere Basislösung x = (x 1, x, x ) T an, für die maximaler Gewinn erzielt wird. (h) Wie ändert sich das Modell, wenn pro Woche insgesamt maximal Portionen Fertiggerichte hergestellt werden können? Welche Auswirkungen hat dies auf die optimale(n) Lösung(en)?

5 1: Ergebnisse 160 der befragten Studenten benutzen keines der drei Verkehrsmittel regelmäßig Studenten fahren regelmäßig Auto oder Straßenbahn (oder beides). 70 Studenten fahren regelmäßig Auto, aber nicht regelmäßig Zug. 40 Studenten fahren weder regelmäßig Zug noch Straßenbahn. : Geg.: K 0 = , q = 1.01 (a) K 8 = q 8 = 81 14, 5e Ihr Guthaben am wird 81 14,5e betragen. (b) K = ( ) q q9 1 = 15 1, 74e q 1 Ihr Guthaben am nach dem Abheben wird 15 1,74e betragen. (c) R = 1 000, q m = n = 1 ln q m (ln R ln(r K 0 (q m 1))) = 77, 47, 77 Monate=6 Jahre und 5 Monate Im Mai 04 kann sie zum letzten Mal die volle Rate abheben. (d)! vorschüssige Zahlung: K 0 = 1 q , n = 0, Ges.: R K0 q 0 = R q0 1 R = K q 1 0 q 19 q 1 = 4 115e q 0 1 Die Jahresraten betragen 4 115e. (e) K 1.1. = K 0 q q q = 5 06, 4e Ja, das Guthaben reicht dafür. : K 0 = 5 000e, q = 1.0, n = 10 (a) Ges.: R; q 10 = R q10 1 R = q 1 q10 Die jährlichen Raten betragen 90,76e. (b) Ges.: T 1 und T 10 prozentual q 1 q 10 1 = 90, 76e T 1 = A Z 1 = 90, = 180, 76 = 8, 7% von Die Restschuld K 9 wird im 10. Jahr vollständig getilgt (weil n=10) K 9 = T 10 = q 9 A q9 1 q 1 = 845, 4 = 11, 8% von Im ersten Jahr werden rund 8,7% und im 10. Jahr rund 11,4% der Schulden getilgt. 4: (a) C = A 1 weil A C = E ist. (b) Beide Matrizen müssen vom Typ (, ) sein. (c) Multiplikation mit A 1 von rechts ergibt B = 5E + A X A 1. Zusatzaufgabe: (d) Multiplikation mit A 1 von links ergibt X = A 1 B A 5E. Für B = E erhält man dann X = 4E.

6 5: (a) B = 6: (c) T y y 1 x 1 11 x 1 x y 0 0, (b) r = B A x, B A (1, 1,, )T = (08, 40, 160, 168) T x 1 = t (x 1, x, x ) T = ( 4, 1, 0) T + t( 5, 11, 1)T, t R (d) x 0 t 8 5, x 0 t 4 11, x 1 0 t 0 t [ 8 5, 4 11 ] t Z t = und x = (1, 1, ) T ist der einzige mögliche Produktionsvektor. (a) x 1 Produzierte Anzahl vom Gericht Roulade pro Woche in ME (100 Portionen) x Produzierte Anzahl vom Gericht Leber pro Woche in ME (100 Portionen) x Produzierte Anzahl vom Gericht Bratwurst pro Woche in ME (100 Portionen) (b) Es sollten 400 Portionen Roulade und 600 Portionen Bratwurst hergestellt werden, um maximalen Gewinn von 40e zu erzielen. (c) y, BV, t = 10 [ 16, ) die Senkung der Arbeitszeit in der Kontrollabteilung hat keine Auswirkung auf das optimale Programm und den Gewinn. (d) x, BV, t = 6 (5, 0, 0, 40) + 6( 1, 1,, 6) = (,, 9, 76) (0, 0, 0, 0) Das optimale Programmm ändert sich nicht. Der Gewinn steigt auf 76e. (e) y ist die einzige NBV mit positivem Schattenpreis t t [ 8, 8]. Wähle t maximal: t = 8 (y 1, x 1, y, x ) T = (0, 8, 1, ) T Es sollte die Arbeitszeit in der Zubereitung um maximal 8 Stunden erhöht werden. Dann sollten 800 Portionen Roulade und 00 Portionen Bratwurst produziert werden, um maximalen Gewinn von = 80e zu erzielen. (f) x 1 = 5, x =, x = Z = 40, 5x 1 + 4x + x = 9 < 46, 6x 1 + 5x + 4x = 48, x 1 + x + x = < 40, x 1 + x + x = 18 < 0 Ja, das Programm ist optimal. Zusatzaufgaben: (g) x = (8, 0, 0) T oder x = (0, 8, ) T (h) zusätzliche Bedingung: x 1 + x + x 10 Die Bedingung hat keine Auswirkungen auf die optimalen Lösungen, weil sie identisch ist mit der schon vorhandenen Bedingung für die Portionierungsabteilung: x 1 + x + x 0.