Prüfungsklausur Operations Research,

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Operations Research, A Name, Vorname Matr. Nr. Aufgabe gesamt erreichbare P. 1 () erreichte P. Bemerkungen: Die angewendeten Algorithmen müssen erkennbar und nachvollziehbar sein. Fragen sind mit einem Satz zu beantworten. Aufgabe 1 Frau Fleissig bekommt den Auftrag in der Ort Werbematerial zu verteilen. Auf dem Arbeitsblatt sehen Sie das für Frau Fleissig relevante Strassennetz, wobei die Zahlen jeweils die Länge der Strasse in Längeneinheiten angeben. Eine Längeneinheit entspricht Meter. Frau Fleissig wohnt an der Kreuzung 1, möchte dort starten, jede Strasse durchlaufen und nach Hause zurückkehren. (a) Bestimmen Sie die kürzesten Wege von der Kreuzung zu allen anderen Kreuzungen. Verwenden sie das Arbeitsblatt. Markieren Sie die zum Gerüst gehörigen Kanten. (b) Welche Strassen muss Frau Fleissig doppelt laufen, wenn sie die Gesamtstrecke minimieren will? Wie viele Meter legt sie damit zusätzlich zurück? (c) Ein Kollege bietet Frau Fleissig an, die Strassen 6 und 6 zu übernehmen. Um wie viele Meter verkürzt sich damit die Gesamtstrecke von Frau Fleissig? Begründen Sie Ihre Antwort mit wenigen Stichpunkten. Tipp: Der kürzeste Weg von 2 nach ist 1 LE lang, von 2 nach sind es 20 LE und von nach sind es 1 LE. Zusatzaufgabe 2 (ohne Arbeitsblatt) Besitzt der vollständig paare Graph K 6,6 einen offenen, oder einen geschlossenen oder gar keinen Eulerzug? Begründen Sie Ihre Antwort. Sei G eine Graph, der durch Entfernung von zwei Kanten aus dem K 6,6 entsteht. Unter welcher Voraussetzung (an die entfernten Kanten) besitzt G einen Eulerzug? Ist dieser Eulerzug offen oder geschlossen? Begründen Sie Ihre Antwort.

2 Aufgabe : Die Verkehrsbetriebe wollen die aktuell zur Verfügung stehenden Fahrzeuge,,..., den verschiedenen Linien L 1, L 2,..., L 6 zuordnen. Dabei ist nicht jedes Fahrzeug für jede Linie gleichgut geeignet (Größe, Ausstattung, Reichweite,..). Um die Eignung eines Fahrzeuges für eine Linie zu bewerten, wurden für fünf Kriterien Noten zwischen 1 und vergeben und aufsummiert. Damit ist also die Eignung eines Fahrzeuges für eine Linie umso besser, je niedriger die Bewertung ist. Auf dem Arbeitsblatt sehen Sie diese Bewertung. Ermitteln Sie eine Zuordnung der Fahrzeuge zu den Linien, die die Summe der Bewertungen minimiert. Geben Sie die Zuordnung der Fahrzeuge zu den Linien, sowie die minimale Bewertungssumme an. Aufgabe Für das gegebene Netzwerk (s. unten) N = (G, c, s, t) mit s = 1 und t = 11 bestimme man mit Hilfe des Algorithmus von Ford und Fulkerson einen maximalen (s, t)-fluß, sowie einen minimalen (s, t)-schnitt F = I + (A). Es ist bereits ein Fluß f vorgegeben. Die Werte an den Kanten bedeuten f(e)/c(e), wobei c(e) die maximale Kapazität der jeweiligen Kante angibt. Verdeutlichen Sie den Verlauf des Algorithmus, insbesondere die Markierungen mit Tabellen. Geben Sie den Wert des maximalen Flusses und die Kantenmenge des minimalen Schnittes an. Um wieviele Einheiten erhöht sich der maximale Fluss, wenn die Kapazität der Kante auf 0 Einheiten erhöht wird? Begründen Sie Ihre Antwort mit 1 bis 2 Stichpunkten. 1 2 /0 / 0/0 / / 1/1 6/6 11/20 / / / 2/2 /1 16/16 / 6 / 22/22 26/26 /1 / 20/20 /0 20/0 16/ /0 x y V or(y) d(y) Fortsetzung auf dem Arbeitsblatt

3 Aufgabe Frau Fleissig soll das Werbematerial auch in anderen Orten verteilen, d.h, sie soll ausgehend vom Ort A auch die Orte B, C, D, E und F bereisen. Die Entfernungen in km zwischen je zwei Orten sind auf dem Arbeitsblatt angegeben. Frau Fleissig möchte ihre Rundreise natürlich so kurz, wie möglich gestalten. Weisen Sie mit Hilfe der Branch & Bound Methode nach, dass eine solche Rundreise nicht kürzer als 1 km sein kann. Untersuchen Sie dazu, ob die Verbindung vom Ort C zum Ort D zur Rundreise gehört, oder nicht. Geben Sie den Entscheidungsbaum an und erläutern Sie Ihr Ergebnis mit wenigen Stichpunkten. Aufgabe 6 (ohne Arbeitsblatt) Sei K 2n der vollständige Graph mit den Knoten {1, 2,..., 2n}, sowie w : E(K 2n ) N eine Kantengewichtsfunktion. Die (2n, 2n)-Matrix W = (w(ij)) enthält die Kantengewichte. (a) Algorithmus (A1) Eingabe: n, Matrix W, sowie ein perfektes Matching M = {v 1 v 2, v v,..., v 2n 1 v 2n } (A2) Berechne die Summe der Kantengewichte des gegebenen Matchings W (M) = e M w(e) = w(v 1 v 2 ) + w(v, v ) w(v 2n 1 v 2n ). (A) Ausgabe: W (M) Bestimmen Sie eine obere Schranke S(n) für die Anzahl der Operationen des Algorithmus in Abhängigkeit von n. Wie viele Sekunden benötigt der Algorithmus für n = höchstens (ungefähr), sofern der verwendete Rechner 6 Operationen pro Sekunde durchführt? (b) Wir betrachten den vollständigen Graphen K 20 mit V = {1, 2,..., 20}. Wir möchten alle perfekten Matchings dieses Graphen auflisten lassen. Wieviele Tage benötigt der Rechner dafür ungefähr, wenn er Matchings pro Sekunde ausgibt und 2 Stunden am Tag arbeitet? Geben Sie den Rechenweg an Tipp: Wie man die Anzahl dieser Matchings berechnet, haben Sie sich in Serie 2, Aufgabe 2 überlegt.

4 Aufgabe (ohne Arbeitsblatt) c l 6 d e g f b n m k j 1 2 a h i G 1 G 2 G (a) Geben Sie eine einfache Begründung dafür an, dass die chromatische Zahl des Graphen G 1 nicht kleiner als ist. (b) Ist der Graph G 1 mit Farben färbbar? Wenn ja, geben Sie eine -Färbung an, wenn nein begründen Sie warum es keine -Färbung gibt. Tipp: Versuchen Sie, den Graphen mit Farben zu färben und starten Sie damit beim Knoten. (c) Bestimmen Sie mit Hilfe einer Minimalgradfolge die Coloring Number col(g 1 ) des Graphen G 1. (d) Färben Sie die Knoten des Graphen G 2 mittels Greedy-Algorithmus und der folgenden Knotenreihenfolge: c, d, e, b, f, g, a. (e) Für den Graphen G 1 ist die nebenstehende Listenzuordnung L gegeben. Ist G 1 für diese Listenzuordnung L-färbbar? Falls ja, geben Sie eine Färbung an, falls nein begründen Sie warum es keine solche Färbung gibt. {1, 2, } {1, 2, } {1, 2, } {2,, } {1, 2, } (f) Geben Sie für G 1 sowohl die chromatische Zahl χ(g 1 ), als auch die listenchromatische Zahl χ l (G 1 ) an. {1, 2, } {1, 2, } G 1 (g) Welche der Graphen G 1, G 2 und G sind isomorph zueinander? Geben Sie für jedes der Paare G 1 G 2, G 1 G sowie G 2 G entweder eine Knotenzuordnung an, oder eine Begründung dafür, dass die Graphen nicht isomorph sind.

5 Aufgabe 1, Gruppe A (a) Antwort (b): Antwort (c):

6 Aufgabe, Gruppe A L 1 L 2 L L L L F F 11 F F F F L 1 L 2 L L L L 6 F F F L 1 L 2 L L L L 6 F F F L 1 L 2 L L L L 6 F F F L 1 L 2 L L L L 6 F F F L 1 L 2 L L L L 6 Gesamtsumme: Zuordnung:

7 Aufgabe, Gruppe A / /20 / /26 1 /0 /0 /1 2 / / /6 / / /2 /16 /1 / 6 / /22 /1 / /20 /0 /16 /0 11 /0 x y V or(y) d(y) / /20 / /26 1 /0 /0 /1 2 / / /6 / / /2 /16 /1 / 6 / /22 /1 / /20 /0 /16 /0 11 /0 x y V or(y) d(y) W ert(f) = I + (A) = Antwort:

8 Aufgabe, Gruppe A A B C D E A - B - C - D - E - F - A - B - C - D - E - F - A - B - C - D - E - F - A - B - C - D - E - F - A - B - C - D - E - F -

9 Ergebnisse - nicht vollständig Aufgabe 1, Gruppe A (a) s = d(x i )/v(x i ) 11/ - / / - - e = d(x i )/v(x i ) 11/ 1/ - 21/ 1/ 11/ - - e = 1 d(x i )/v(x i ) 1/ 2/1 21/ 1/ 11/ - - e = d(x i )/v(x i ) 1/ 2/1 21/ 1/ - 2/ e = 2 d(x i )/v(x i ) 2/2 21/ 1/ - 2/ e = d(x i )/v(x i ) 2/2 21/ - 2/ e = 6 d(x i )/v(x i ) 26/6 /6 2/ e = 6 d(x i )/v(x i ) /6 2/ e = d(x i )/v(x i ) 2/ e = d(x i )/v(x i ) Antwort (b): Sie muss die Straßen {2,,, } doppelt laufen und legt damit 0LE=00 Meter zusätzlich zurück. Antwort (c): Sie spart die Straßen 6 und 6 (21 LE), sowie die doppelten Straßen und (1LE), da jetzt die Knoten und auch geraden Grad haben Sie läuft damit 6LE = 60 Meter weniger.

10 Aufgabe, Gruppe A L 1 L 2 L L L L F F 11 - F L 1 L 2 L L L L F F 6 0 F L 1 L 2 L L L L F F F L 1 L 2 L L L L F F F L 1 L 2 L L L L 6 L 1 L 2 L L L L 6 F F F F F F Gesamtsumme: 6 Zuordnung: L, L 1, F L, F L, F L 2, L 6

11 Aufgabe, Gruppe A / 1/20 / 26/ /0 / 0/0 / 1/1 6/6 / / 2/2 /1 16/16 / 6 / 22/22 1/1 / 20/20 /0 16/16 2/0 11 /0 W ert(f) = x y V or(y) d(y) I + (A) = {, 6, 6,,,, } Antwort: Die Kapazität des Netzwerkes würde sich um Einheiten erhöhen. Bis zur kommen noch Einheiten durch (s. Tabelle), die dann auch über die zur 11 weiterkommen würden.

12 Aufgabe, Gruppe A A B C D E A B 2-0 C D E F A B 2-0 C D E F Rundreise? A-E-A, Widerspruch ohne CD A B 2-0 C D E F mit CD A B 2-0 C D E F A - B - C - D - E - F - Nach Zeilen- und Spaltenreduktion existiert noch keine Rundreise. Dann ergibt sich sowohl mit CD, als auch ohne CD eine untere Schranke von 1 km, so dass eine Rundreise auf jeden Fall nicht kürzer als diese 1 km sein kann.

13 Aufgabe 2, Gruppe A K 6,6 besitzt einen geschlossenen Eulerzug, da alle Knoten geraden Grad (6) haben. Haben die entfernten Kanten einen Knoten gemeinsam, so hat dieser Knoten dann Grad, die anderen beiden Endknoten Grad. Somit hat der Graph 2 Knoten mit ungeradem Grad und somit einen offenen Eulerzug. Haben die entfernten Kanten keinen Knoten gemainsam, so entstehen Knoten mit Grad und es existiert kein Eulerzug. Aufgabe 6, Gruppe A (a) Anzahl der Operationen: (A1): 1 + n 2 + n, (A2): n, (A): 1 L(A) = n 2 + 2n + 2 für n = ergibt sich L(A) = 22 Der Rechner benötigt etwa 22 6 =, 22 Sekunden. (b) Anzahl der Matchings: Z = = (2n)! 2 n n! Der Rechner benötigt damit Z/( ) =, Tage. Aufgabe, Gruppe A (a) χ(g 1 ), weil G 1 Dreiecke (ungerade Kreise) besitzt. (b) Nein, G 1 ist nicht mit Farben färbbar, weil: 1 muss dieselbe Farbe erhalten wie, 2 ebenso. Da 1 und 2 benachbart sind, führt das zum Widerspruch. (c) z.b. 1(), (2), 6(1), (2), (2), (1), 2(0) col(g 1 ) = + 1 = (d) c(1), d(2), e(), b(2), f(), g(1), a() (e) Ja, G 1 ist für die gegebene Liste L-färbbar, z.b. 1(2), 2(1), (), (), 6(), (), (1) (f) χ(g 1 ) = χ l (G 1 ) = (g) G 1 ist nicht isomorph zu G 2, da = χ(g 1 ) χ(g 2 ) =, s (b), (d) G 1 ist isomorph zu G, z.b. j, h, 6 i, 1 k, m, n, 2 l G 2 ist nicht isomorph zu G, da G isomorph zu G 1 ist und dieser nicht isomorph zu G 2.