Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II
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- Wilhelm Böhmer
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1 Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II Jonathan Hacker Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
2 Gliederung Einführung Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
3 Gliederung Einführung Maximales Matching Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
4 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
5 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
6 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
7 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
8 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
9 Einführung Definition bipartiter Graph G=(V,E), wobei gilt: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
10 Einführung Definition bipartiter Graph G=(V,E), wobei gilt: V = L R, ( : disjunkte Vereinigung) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
11 Einführung Definition bipartiter Graph G=(V,E), wobei gilt: V = L R, ( : disjunkte Vereinigung) e = {u, v} E : (u L v R) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
12 Einführung Definition bipartiter Graph G=(V,E), wobei gilt: V = L R, ( : disjunkte Vereinigung) e = {u, v} E : (u L v R) Graph, der sich in zwei Mengen aufteilen lässt Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
13 Bipartit?? Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
14 Bipartit? Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
15 Bipartit? Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
16 Anwendungen Aufgabenverteilung Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
17 Anwendungen Aufgabenverteilung Paarbildung Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
18 Anwendungen Aufgabenverteilung Paarbildung Petri-Netze Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
19 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
20 Definitionen Matching Ein Matching M E ist eine Menge von Kanten, wobei kein Knoten an zwei Kanten aus M liegt. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
21 Definitionen Matching Ein Matching M E ist eine Menge von Kanten, wobei kein Knoten an zwei Kanten aus M liegt. Maximal Ein Matching ist maximal, wenn es kein Matching mit mehr Kanten gibt. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
22 Definitionen Matching Ein Matching M E ist eine Menge von Kanten, wobei kein Knoten an zwei Kanten aus M liegt. Maximal Ein Matching ist maximal, wenn es kein Matching mit mehr Kanten gibt. Perfekt Ein Matching ist perfekt, wenn jeder Knoten an einer Kante in M liegt. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
23 Beispiel Wie findet man ein maximales Matching in Bipartitem Graph? Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
24 Beispiel Wie findet man ein maximales Matching in Bipartitem Graph? Lösung: Zurückführen auf maximalen Fluss Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
25 Beispiel Wie findet man ein maximales Matching in Bipartitem Graph? Lösung: Zurückführen auf maximalen Fluss Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
26 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
27 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
28 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
29 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
30 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
31 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
32 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
33 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
34 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
35 Laufzeit Ford-Fulkerson: O( E f ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
36 Laufzeit Ford-Fulkerson: O( E f ) f : maximaler Fluss Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
37 Laufzeit Ford-Fulkerson: O( E f ) f : maximaler Fluss in Bipartitem Graph: f = V Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
38 Laufzeit Ford-Fulkerson: O( E f ) f : maximaler Fluss in Bipartitem Graph: f = V Maximales Matching in O( V E ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
39 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
40 Minimales Vertex Cover Vertex Cover Ein Vertex Cover U V ist eine Menge von Knoten, wobei jede Kante an einem Knoten aus U liegt. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
41 Minimales Vertex Cover Vertex Cover Ein Vertex Cover U V ist eine Menge von Knoten, wobei jede Kante an einem Knoten aus U liegt. Minimal Ein Vertex Cover ist minimal, wenn es kein Vertex Cover mit weniger Knoten gibt. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
42 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
43 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
44 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
45 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
46 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Gehe auf Kanten M nach links Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
47 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Gehe auf Kanten M nach links Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
48 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Gehe auf Kanten M nach links Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Minimales Vertex Cover U Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
49 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Gehe auf Kanten M nach links Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Minimales Vertex Cover U = (L \ T ) (R T ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
50 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Gehe auf Kanten M nach links Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Minimales Vertex Cover U = (L \ T ) (R T ) Alle nicht markierten Knoten aus L und alle markierten Knoten aus R Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
51 Beispiel Gesucht: minimales Vertex Cover Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
52 Beispiel 1. Berechne maximales Matching Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
53 Beispiel 1. Berechne maximales Matching Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
54 Beispiel 2. Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
55 Beispiel 2. Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
56 Beispiel 3.1 Gehe auf Kanten / Matching nach rechts Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
57 Beispiel 3.1 Gehe auf Kanten / Matching nach rechts Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
58 Beispiel 3.3 Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
59 Beispiel 3.3 Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
60 Beispiel 3.2 Gehe auf Kanten Matching nach links Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
61 Beispiel 3.2 Gehe auf Kanten Matching nach links Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
62 Beispiel 3.3 Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
63 Beispiel 3.3 Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
64 Beispiel 3.1 Gehe auf Kanten / Matching nach rechts Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
65 Beispiel 3.1 Gehe auf Kanten / Matching nach rechts Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
66 Beispiel 3.3 Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
67 Beispiel T hat sich nicht vergrößert Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
68 Beispiel T hat sich nicht vergrößert Minimales Vertex Cover: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
69 Beispiel T hat sich nicht vergrößert Minimales Vertex Cover: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
70 Zusammenhang VC-Matching Satz von König In einem bipartiten Graphcn ist die Anzahl an Knoten in einem minimalem Vertex Cover gleich der Anzahl an Kanten in einem maximalen Matching. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
71 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
72 Assignment-Problem Arbeiter L und Aufträge R Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
73 Assignment-Problem Arbeiter L und Aufträge R Jeder Arbeiter kann jeden Auftrag bearbeiten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
74 Assignment-Problem Arbeiter L und Aufträge R Jeder Arbeiter kann jeden Auftrag bearbeiten Aber die jeweiligen Kosten variieren Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
75 Assignment-Problem Arbeiter L und Aufträge R Jeder Arbeiter kann jeden Auftrag bearbeiten Aber die jeweiligen Kosten variieren Gesamtkosten so gering wie möglich halten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
76 Ungarische Methode Löst das Assignment-Problem Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
77 Ungarische Methode Löst das Assignment-Problem Minimiert Gesamtkosten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
78 Ungarische Methode Löst das Assignment-Problem Minimiert Gesamtkosten Benutzt maximales Matching und minimales Vertex Cover Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
79 Ungarische Methode Löst das Assignment-Problem Minimiert Gesamtkosten Benutzt maximales Matching und minimales Vertex Cover Läuft in O(n 4 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
80 Ungarische Methode Löst das Assignment-Problem Minimiert Gesamtkosten Benutzt maximales Matching und minimales Vertex Cover Läuft in O(n 4 ) Voraussetzung: nichtnegative Kantengewichte Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
81 Vorarbeiten Beispiel: WG-Putzplan Alfred Bertram Chris Dieter Esszimmer Fegen Geschirrspüler Hausmüll Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
82 Vorarbeiten Beispiel: WG-Putzplan Maximiere Prioritäten Alfred Bertram Chris Dieter Esszimmer Fegen Geschirrspüler Hausmüll Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
83 Vorarbeiten Beispiel: WG-Putzplan Maximiere Prioritäten Esszimmer Fegen Geschirrspüler Hausmüll Alfred Bertram Chris Dieter Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
84 Vorarbeiten Beispiel: WG-Putzplan Maximiere Prioritäten E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
85 Vorarbeiten 0.1 Addiere Betrag des kleinsten Wertes auf alle Werte E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
86 Vorarbeiten 0.1 Addiere Betrag des kleinsten Wertes auf alle Werte E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
87 Vorarbeiten 0.1 Addiere Betrag des kleinsten Wertes auf alle Werte E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
88 Vorarbeiten 0.2 Ziehe jede Zelle vom Maximum ab E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
89 Vorarbeiten 0.2 Ziehe jede Zelle vom Maximum ab E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
90 Vorarbeiten 0.2 Ziehe jede Zelle vom Maximum ab E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
91 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
92 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
93 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
94 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
95 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
96 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales Vertex Cover des Matchings Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
97 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales Vertex Cover des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
98 Ungarische Methode 1. Zeilen-/Spaltenminimierung E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
99 Ungarische Methode 1. Zeilen-/Spaltenminimierung E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
100 Ungarische Methode 1. Zeilen-/Spaltenminimierung E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
101 Ungarische Methode 1. Zeilen-/Spaltenminimierung E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
102 Ungarische Methode 1. Zeilen-/Spaltenminimierung E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
103 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
104 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
105 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Perfekt? Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
106 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Perfekt? Nein. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
107 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Perfekt? Nein. Schritt 3 Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
108 Ungarische Methode 3. Finde minimales Vertex Cover E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
109 Ungarische Methode 3. Finde minimales Vertex Cover E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
110 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
111 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Suche Minimum in nicht überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
112 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Suche Minimum in nicht überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
113 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Subtrahiere Minimum in nicht überdeckten Zellen und addiere Minimum in doppelt überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
114 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Subtrahiere Minimum in nicht überdeckten Zellen und addiere Minimum in doppelt überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
115 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Subtrahiere Minimum in nicht überdeckten Zellen und addiere Minimum in doppelt überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
116 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Subtrahiere Minimum in nicht überdeckten Zellen und addiere Minimum in doppelt überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
117 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
118 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
119 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Perfektes Matching gefunden Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
120 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Perfektes Matching gefunden Algorithmus terminiert Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
121 Ungarische Methode WG-Putzplan Esszimmer Fegen Geschirrspüler Hausmüll Alfred Bertram Chris Dieter Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
122 Ungarische Methode WG-Putzplan Esszimmer Fegen Geschirrspüler Hausmüll Alfred Bertram Chris Dieter Gesamtspaß wurde auf -5 maximiert Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
123 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
124 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
125 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
126 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching O( V E ) Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
127 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching O(n 3 ) Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
128 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching O(n 3 ) Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings O(n 2 ) Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
129 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching O(n 3 ) Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings O(n 2 ) Minimiere Kanten O(n 2 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
130 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching O(n 3 ) Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings O(n 2 ) Minimiere Kanten O(n 2 ) Gesamtlaufzeit O(n 5 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
131 Optimierungen Verwenden des letzten Matchings verringert Laufzeit von Schritt 2 auf O(n 2 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
132 Optimierungen Verwenden des letzten Matchings verringert Laufzeit von Schritt 2 auf O(n 2 ) Gesamt: O(n 4 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
133 Optimierungen Verwenden des letzten Matchings verringert Laufzeit von Schritt 2 auf O(n 2 ) Gesamt: O(n 4 ) Komplexe Implementierung in O(n 3 ) existiert Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
134 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
135 Stabiles Heiraten Zwei zu verheiratende Gruppen: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
136 Stabiles Heiraten Zwei zu verheiratende Gruppen: Alfred Bertram Chris Dieter Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
137 Stabiles Heiraten Zwei zu verheiratende Gruppen: Alfred Bertram Chris Dieter Elke Frauke Gertrud Hannah Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
138 Stabiles Heiraten Prioritätslisten von jeder Person: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
139 Stabiles Heiraten Prioritätslisten von jeder Person: Alfred Bertram Chris Dieter Elfriede Hannah Elfriede Elfriede Gertrud Gertrud Hannah Hannah Frauke Elfriede Gertrud Gertrud Hannah Frauke Frauke Frauke Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
140 Stabiles Heiraten Prioritätslisten von jeder Person: Alfred Bertram Chris Dieter Elfriede Hannah Elfriede Elfriede Gertrud Gertrud Hannah Hannah Frauke Elfriede Gertrud Gertrud Hannah Frauke Frauke Frauke Elfriede Frauke Gertrud Hannah Chris Chris Bertram Dieter Bertram Bertram Chris Chris Dieter Dieter Alfred Bertram Alfred Alfred Dieter Alfred Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
141 Stabiles Heiraten Instabil Es gibt eine Person A, die eine andere Person B mehr mag als ihren Partner und Person B mag Person A mehr als ihren Partner Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
142 Stabiles Heiraten Instabil Es gibt eine Person A, die eine andere Person B mehr mag als ihren Partner und Person B mag Person A mehr als ihren Partner Ziel: Paare so bilden, dass sie zusammenbleiben (nicht instabil sind). Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
143 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
144 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
145 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
146 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
147 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Frauen suchen ihre höchsten Prioritäten aus. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
148 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Frauen suchen ihre höchsten Prioritäten aus. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
149 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Frauen suchen ihre höchsten Prioritäten aus. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
150 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Frauen suchen ihre höchsten Prioritäten aus. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
151 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
152 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
153 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
154 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
155 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
156 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
157 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
158 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
159 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
160 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
161 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
162 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
163 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
164 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
165 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
166 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
167 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
168 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
169 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
170 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
171 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
172 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
173 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
174 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
175 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
176 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
177 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
178 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
179 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
180 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
181 Analyse Terminierung: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
182 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
183 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
184 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: O(n 2 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
185 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: O(n 2 ) Stabilität: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
186 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: O(n 2 ) Stabilität: Jeder Mann bekommt die schlechtmöglichste Frau Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
187 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: O(n 2 ) Stabilität: Jeder Mann bekommt die schlechtmöglichste Frau Jede Frau bekommt den bestmöglichen Mann Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
188 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: O(n 2 ) Stabilität: Jeder Mann bekommt die schlechtmöglichste Frau Jede Frau bekommt den bestmöglichen Mann Eine Gruppe wird benachteiligt: Antragsteller Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
189 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
190 Quellen Cormen/Leiserson/Rivest: Introduction to Algorithms Kolman/Beck: Elementary Linear Programming with Applications Numberphile: Stable Marriage Problem Topcoder: Assignment Problem and Hungarian Algorithm Vergangene Hallo Welt Vorträge: Jana Martschinke: Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen I Lukas Dresel: Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen II Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
191 Das wars! Fragen? Fragen! Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
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