Die Ungarische Methode für das Assignment Problem von H. W. Kuhn (1955)

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1 Die Ungarische Methode für das Assignment Problem von H. W. Kuhn (1955) Seminar Kombinatorische Optimierung SS08: Christof Schulz

2 1 Harold William Kuhn 2 Das Assignmentproblem Einfaches Assignmentproblem Das allgemeine Assignmentproblem Duale Programm Nachbesserung Zusammenfassung 3 Ungarische Methode Start Schritt 1 Schritt 3 Schritt 2 4 Aufwand Aufwandsanalyse 5 aktuelle Entwicklung

3 Harold William Kuhn Geboren: Bildung: Laufbahn: in Santa Monica, Californien, USA California Institute of Technology(1947) Magister Artium(1948) Doktor der Mathematik Princeton University(1950) Dozent( ), Assistensprofessor( ), Junior-Professor( ), Professor( ) Aktuell: Emeritus Professor(seit 1995) Ungarische Methode: 1955, Vorarbeit von Dénes König und Jeno Egerváry

4 Einfaches Assignmentproblem Das Assignmentproblem

5 Einfaches Assignmentproblem Das einfache Assignmentproblem n Personen n Jobs n x n Qualikationsmatrix Q { 1 Person i ist für Job j qualiziert q ij = 0 sonst Q= gesucht: Maximale Anzahl unabhängiger einsen

6 Einfaches Assignmentproblem komplettes Assignment Personen werden Jobs zugeordnet Denition (komplett) Es kann keine weitere Person mehr einem Job zugeordnet werden kann nur noch durch Transfer verbessert werden.

7 Einfaches Assignmentproblem Transfer ändert die Zuordnung von r verschiedenen Personen i 1..i r und Jobs j 1..j r ordnet i 1 freien Job j 0 zu und Person i k Job j k 1 für k=2..r. i 1 i 2... i r j 0 j 1... j r 1 j r

8 Einfaches Assignmentproblem Wesentlich Denition (wesentliche Person) Person kann in einen Transfer involviert werden Denition (wesentlicher Job) Job ist einer unwesentlichen Person zugeordnet Für eine gegebene Zuordnung (i,j) ist entweder i oder j wesentlich, aber nicht i und j. #(Personen haben Job)= #(wesentliche Personen) + #(wesentliche Jobs)

9 n i=1 r ij i Das allgemeine Assignmentproblem Das allgemeine Assignmentproblem n Personen, n Jobs n x n Matrix R=(r ij ) mit r ij N Den n Personen wird eine Permutation der n Jobs zugeordnet. Person n Job j 1 j 2... j n Maximiere: über allen Permutationen J = (j i ) von 1 - n.

10 Das allgemeine Assignmentproblem allg. Assignmentproblem als LP Variablen: x ij = { 1 Person i erledigt Job j 0 sonst Maximiere n i=1 n j=1 x ij r ij s.t. n i=1 x ij = 1, für j=1..n n j=1 x ij = 1, für i=1..n x ij 0 x ij Z

11 Duale Programm Dualisieren Minimiere n i=1 u i + n i=1 v i s.t. u i + v j r ij u i 0 v i 0 u i, v i Z

12 Duale Programm Für jedes Assignment Z=((1, j i ); (2, j 2 );...; (n, j n )) gilt: u u n + v v n r 1j r nj n opt Lösung Dual = opt Lösung Primal (Dualitätssatz) Konstruiere ein einfaches Assignmentproblem: Person i ist für Job j qualiziert, wenn u i + v j = r ij

13 Duale Programm Theorem Wenn allen n Personen ein Job, für den sie qualiziert sind, im konstruierten einfachen Assignmentproblem zugeordnet werden kann, dann löst dieses Assignment(Z) das allgemeine Problem optimal. Beweis. u i + v j = r ij (i, j) Z i u i + v i = (i,j) Z r ij

14 Nachbesserung Nachbesserung Kann nicht allen n Personen ein Job zugeordnet werden, muÿ nachgebessert werden. Folgende Bedingungen gelten: r ij > 0 u i + v j r ij u i > 0 oder v i > 0 Es können nur m < n Personen zugeordnet werden und das Assignment ist komplett nach jedem Transfer m=r+s r wesentliche Personen s wesentliche Jobs

15 Nachbesserung Nachbesserungsregeln obda alle u i > 0 Theorem u 1 = u 1,..., u r = u r, u r+1 = u r+1 1,..., u n = u n 1 v 1 = v 1 + 1,..., v s = v s + 1, v s+1 = v s+1,..., v n = v n Die neue Zuordnung ist eine zulässige Lösung für das duale LP.

16 Nachbesserung Beweis. z.z. u i + v j r ij

17 Nachbesserung Beweis. z.z. u i + v j r ij kann nur verletzt werden, wenn u i + v j = r ij und u i = u i 1, = v j v j

18 Nachbesserung Beweis. z.z. u i + v j r ij kann nur verletzt werden, wenn u i + v j = r ij und u i = u i 1, = v j v j i und j sind unwesentlich Aber: da u i + v j = r ij Person i für Job j qualiziert (q ij = 1)

19 Nachbesserung Beweis. z.z. u i + v j r ij kann nur verletzt werden, wenn u i + v j = r ij und u i = u i 1, = v j v j i und j sind unwesentlich Aber: da u i + v j = r ij Person i für Job j qualiziert (q ij = 1) 3 Fälle: 1 i ist j zugeordnet: nach Denition entweder i oder j wesentlich.

20 Nachbesserung Beweis. z.z. u i + v j r ij kann nur verletzt werden, wenn u i + v j = r ij und u i = u i 1, = v j v j i und j sind unwesentlich Aber: da u i + v j = r ij Person i für Job j qualiziert (q ij = 1) 3 Fälle: 1 i ist j zugeordnet: nach Denition entweder i oder j wesentlich. 2 i ist einem anderen Job zugeordnet: i ist wesentlich(i kann j durch einen Transfer zugeordnet werden).

21 Nachbesserung Beweis. z.z. u i + v j r ij kann nur verletzt werden, wenn u i + v j = r ij und u i = u i 1, = v j v j i und j sind unwesentlich Aber: da u i + v j = r ij Person i für Job j qualiziert (q ij = 1) 3 Fälle: 1 i ist j zugeordnet: nach Denition entweder i oder j wesentlich. 2 i ist einem anderen Job zugeordnet: i ist wesentlich(i kann j durch einen Transfer zugeordnet werden). 3 i ist keinem Job zugeordnet: j ist wesentlich (j kann durch keinen Transfer i zugeordnet werden, da Z komplett nach jedem Transfer ist)

22 Nachbesserung Die u i und v j sind also eine zulässige Lösung Neuer Zielfunktionswert(NW) < Alter Zielfunktionswert (AW), da :

23 Nachbesserung Die u i und v j sind also eine zulässige Lösung Neuer Zielfunktionswert(NW) < Alter Zielfunktionswert (AW), da : NW= AW (n r) 1 + s 1

24 Nachbesserung Die u i und v j sind also eine zulässige Lösung Neuer Zielfunktionswert(NW) < Alter Zielfunktionswert (AW), da : NW= AW (n r) 1 + s 1 = AW -n + r +s = AW -n + m < AW, da -n+m <0

25 Nachbesserung Die u i und v j sind also eine zulässige Lösung Neuer Zielfunktionswert(NW) < Alter Zielfunktionswert (AW), da : NW= AW (n r) 1 + s 1 = AW -n + r +s = AW -n + m < AW, da -n+m <0 Neuer Zielfunktionswert < Alter Wert optimaler Zielfunktionswert >0 endliches Verfahren

26 Zusammenfassung Zusammenfassung Primal: gegeben: n x n Matrix R= (r ij ) gesucht : Permutation j 1,.., j n die n i=1 r ij i maximiert Dual: gegeben: n x n Matrix R= (r ij ) gesucht : u 1,.., u n v 1,.., v n so dass n i=1 u i + v i minimal und u i + v j r ij

27 Der Algorithmus

28 Ungarische Methode Gestartet wird mit einer zulässigen Lösung für das duale Problem Erzeuge Matrix A=(a ij )=u i + v j r ij Suche n unabhängige Nullen in A

29 Start Start-Lösung u i = max j r ij (Zeilenmaxima) v j = 0 für j=1..n Beispiel: R = u 1 = 9 u 2 = 8 v 1 = 0 v 2 = 0 u 3 = 9 u 4 = 6 v 3 = 0 v 4 = 0

30 Start Beispiel A = Vor Start noch das Minimum in jeder Spalte ermitteln und von der ganzen Spalte abziehen A =

31 Start

32 Schritt 1 Vorher: Markiere unabhängige Nullen und die jeweilige Spalte in A Schritt 1 Suche nicht markierte Null (keine vorhanden Schritt 3) keine 0 in der Zeile Schritt 2 0 in der Zeile und Spalte k: Zeile wird markiert, Spalte k Markierung löschen Bis alle Nullen in markierter Zeile/Spalte Schritt 3 Im Bsp: unmarkierte Null in Zeile 1 Zeile 1 markieren, Spalte 3 Markierung löschen Danach alle Nullen markiert Schritt 3

33 Schritt Schritt 3 h=min a ij Zeile i, Spalte j unmarkiert a ij = a ij + h a ij in markierter Zeile a ij = a ij h a ij in unmarkierter Spalte Schritt 1

34 Schritt Schritt 3 h=min a ij Zeile i, Spalte j unmarkiert a ij = a ij + h a ij in markierter Zeile a ij = a ij h a ij in unmarkierter Spalte Schritt 1 Im Bsp: h=

35 Schritt 3 Schritt 1: Unmarkierte Null in Zeile 2, Zeile 2 markieren, Spalte 4 Markierung löschen unmarkierte 0 in Zeile 3, keine 0 in Zeile 3 Schritt 2

36 Schritt 2 Schritt Starte mit unmarkierter 0 bei (i 1,j 1 ) 1 Suche 0 in Spalte j 1 (gefunden bei (i 2,j 1 )) 2 Suche 0 in Zeile i 2 (gefunden bei (i 2,j 2 )) Weiter bei 1 bis keine 0 mehr in der Spalte Ändere jede 0 in Sequenz in eine 0 und jede 0 in eine 0 Alle Markierungen löschen, alle Spalten mit 0 markieren Wenn alle Spalten markiert Lösung gefunden sonst Schritt 1

37 Schritt unmarkierte 0 in Zeile 1 Zeile 1 markieren, Spalte 1 Markierung löschen unmarkierte 0 in Zeile 4, keine 0 in Zeile 4 Schritt 2

38 Schritt 2 Schritt 2: keine 0 in Spalte 2, nur eine 0 in der Sequenz: Lösung gefunden: (1,1) ; (2,4) ; (3,2) ; (4,3)

39 Aufwand

40 Aufwandsanalyse Aufwand Maximale Anzahl Operationen im Worst-Case Operationen sind Zeile/Spalte scannen Zeile/Spalte markieren bzw. Markierung löschen Zu einer Zeile/Spalte addieren/subtrahieren Null auswählen bzw. Auswahl löschen

41 Aufwandsanalyse Start mit m 0 Aufwand bis m+1 0 vorhanden sind Schritt 1 1 Jede Zeile scannen: n Operationen 2 genau eine markierte Zeile erzeugen: 2 Operationen (Jede unmarkierte Spalte enthält mind. eine 0) Aufwand: n+2 Schritt 3 1 Minimum suchen: n Operationen 2 Zu markierten Zeilen addieren: m Operationen 3 Von unmarkierten Spalten subtrahieren: n Operationen Aufwand: 2n + m

42 Aufwandsanalyse beide Schritte werden höchstens m-mal wiederholt (bis alle Zeilen markiert sind) Aufwand: m (3n + m)) Danach Schritt 2 1 Suche 0 : m 1 Operation (Spalte scannen) 2 Suche 0: m 1 Operation (Zeile scannen) 3 0/0 in 0 /0 ändern: 2 m + 1 Operationen 4 alle Markierungen löschen: m Operationen 5 alle 0 suchen: m+1 Operationen 6 jeweilige Spalte markieren: m+1 Operationen Aufwand: 7m + 3

43 Aufwandsanalyse Im Worst-Case Start mit einer 0 (m=1) Obige Schritte müssen n- Mal ausgeführt werden: Gesamtaufwand O( n m=1 7m m (3n + m)) = O( n m=1 m (3n + m)) = O( n m=1 m 3n + m2 ) = O(3n n m=1 m + n m=1 m2 ) = O(n 3 ) Vergleiche und Addition als Operationen: Aufwand von O(n 4 )

44 aktuelle Entwicklung

45 Vor Kuhn Erster Algorithmus 1946 von Eastereld in O(2 n n 2 ) 1950 drei Heuristiken von Thorndike seit 1952 als Assignmentproblem bekannt (Votaw und Orden)

46 nach Kuhn 1960 erster Computercode von Sylver Beste Implementation der ungarischen Methode O(n 3 ) Lawler 1976 erster O(n 3 ) Algorithmus von Dinic und Kronrod 1969 Auktionsalgorithmen O(n 1/2 m log(nc) ) von Orlin und Ahuja Cost Scaling Technik O(n 1/2 m log(nc) ) von Gabow 1989 C: maximale Kosten, m: Anzahl Kanten

47 Transportproblem n Startknoten und m Zielknoten Startknoten liefern Einheiten an Zielknoten Jede Kante hat Kosten und Kapazität Finde minimale Kosten um alle Zielknoten zu beliefern

48 Transportproblem Umwandlung von Assignmentproblem in Transportproblem bipartiter Digraph G=(V=X Y,E) X: n Knoten für Personen Y: n Knoten für Jobs Kosten der Kante (i,j): c(i,j)=-r ij Kapazität jeder Kante: u(i,j)=1 alle Knoten v X senden 1 Einheit Fluÿ (d(v)=1), alle Knoten w Y empfangen 1 Einheit Fluÿ (d(w)=-1) Für einen Fluÿ f muÿ für jeden Knoten v V gelten: d(v) + (u,v) E f (u, v) (v,w) E f (v, w) = 0

49 Cost Scaling Algorithmen Residualkantenmenge E f = {(v, w) : (v, w) E mit f (v, w) < u(v, w)} {(v,w) : (w,v) E} (c(v,w)=-c(w,v)) Preisfunktion p: V R: c p (u, v) = c(v, w) + p(v) p(w) Ein Fluÿ heiÿt { ɛ - optimal wenn c p (u, v) 0 (u,v) E (u, v) E f c p (u, v) ɛ (v,u) E Wenn alle Kantenkosten ganzzahlig sind, ist ein ɛ - optimaler Fluÿ mit ɛ < 1/N ein optimaler Fluÿ.

50 Cost Scaling Algorithmen Vor Start: p(v)=0 v, ɛ = max c(ij) Solange ɛ 1/n tue: ɛ = ɛ/a p(v)= -min (v,w) E c(v,w) - p(w) v X (c p (v, w) 0) f(v)=0 v Erzeuge zulässigen, ɛ- optimalen Fluÿ (durch push- und relabel Operationen) Wenn ɛ< 1/n ist der Fluÿ optimal und die Lösung gefunden

51 Push/Relabel Push(v,w): Sendet Fluÿ von v nach w Relabel(v): Modiziert die Preisfunktion p(v) Laufzeit hängt von der Auswahl der Knoten v und w ab Beste Laufzeit O(n 1/2 m log(nc) )

52 Quellen The Hungarian Method for the assignment problem (Kuhn [1955]) Algorithms for the Assignment and Transportation Problems (Munkres [1957]) ADM 2 Skript Assignment Problems, by Rainer Burkard, Mauro Dell'Amico, Silvano Martello An ecient cost scaling algorithm for the assignment problem Andrew v. Goldberg und Robert Kennedy 1995