Netzwerk-Simplex. MinCostFlow als Lineares Programm. 1 of 12 Netzwerksimplex

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1 Netzwerk-Simplex MinCostFlow als Lineares Programm of 2 Netzwerksimplex

2 MinCostFlow geg: gerichteter Graph G, Kapazitäten u R R 0 { }, Bedarfe b V R, Pfeilkosten c R R ges: zulässiger b-fluss f mit minimalen Kosten c(f ) Primales Programm min c T x Ix = b x u x 0 y π (mc) 2 of 2 Netzwerksimplex

3 MinCostFlow geg: gerichteter Graph G, Kapazitäten u R R 0 { }, Bedarfe b V R, Pfeilkosten c R R ges: zulässiger b-fluss f mit minimalen Kosten c(f ) Primales Programm Duales Programm min c T x Ix = b x u x 0 y π (mc) max ( b) T y + u T π (mc D ) I (G) T y + π c π 0 I : (Knoten-Pfeil-)Inzidenzmatrix,, wenn r = (u, ), I u,r =, wenn r = (, u), 0 sonst 2 of 2 Netzwerksimplex

4 , wenn r = (u, ), I u,r =, wenn r = (, u), 0 sonst v r v 2 r 3 r 2 r 5 = v 3 r 4 v of 2 Netzwerksimplex

5 , wenn r = (u, ), I u,r =, wenn r = (, u), 0 sonst v r v 2 r 3 r 2 r 5 = v 3 r 4 v Basis enthält n Spalten und zugehörige Pfeile geben Baum 3 of 2 Netzwerksimplex

6 , wenn r = (u, ), I u,r =, wenn r = (, u), 0 sonst v r v 2 r 3 r 2 r 5 = v 3 r 4 v Basis enthält n Spalten und zugehörige Pfeile geben Baum Baumlösungen x ist Baumlösung zu Baum T, wenn x r = 0 x r = u r für alle r T aus LO: es existiert immer optimale Baumlösung 3 of 2 Netzwerksimplex

7 0 < x < u Baumlösungen x ist Baumlösung zu Baum T, wenn G 0 < x < u x = u 0 < x < u u x 0 < x < u x r = 0 x r = u r für alle r T u x x x x u x x G f x u x 4 of 2 Netzwerksimplex

8 0 < x < u Baumlösungen x ist Baumlösung zu Baum T, wenn G 0 < x < u x = u 0 < x < u u x 0 < x < u x r = 0 x r = u r für alle r T u x x x x u x x G f x u x Kreis K mit 0 < f (r) < u(r) Kreis K + und K in G f enthalten Fluss könnte entlang K + oder K um erhöht werden 4 of 2 Netzwerksimplex

9 DLP (mc D ) max ( b) T y + u T π I (G) T y + π c π 0 Dualvariablen n Variablen y v, m Variablen π r : y v y u + π r c r für alle r = (u, v) π r 0 für alle r 5 of 2 Netzwerksimplex

10 DLP (mc D ) max ( b) T y + u T π I (G) T y + π c π 0 Dualvariablen n Variablen y v, m Variablen π r : y v y u + π r c r für alle r = (u, v) π r 0 für alle r übersetzt in G primal: Fluss x dual: Potential y 5 of 2 Netzwerksimplex

11 DLP (mc D ) max ( b) T y + u T π I (G) T y + π c π 0 Dualvariablen n Variablen y v, m Variablen π r : y v y u + π r c r für alle r = (u, v) π r 0 für alle r übersetzt in G primal: Fluss x dual: Potential y für optimale Basislösung Gleichheit für alle r T : y v = c r + y u (eine freie Variable) mit reduzierten Kosten c y (u, v) = c uv + y u y r reduzierte Kosten Kriterium 5 of 2 Netzwerksimplex

12 Netzwerk-Simplex Verfahrensidee starte mit Baumlösung x (zu Baum T ) und dualer Basislösung y betrachte r = (k, l) T falls x r = 0 und cr y < 0: T + r hat eindeutigen (einfachen) Kreis erhöhe x in +r -Richtung um maximales {mindestens für einen Pfeil auf Kreis x r {0, u r }} Basisaustausch: r r {x Baumlösung für neue Basis} falls x r = u r und c y r > 0: T + r hat eindeutigen (einfachen) Kreis erhöhe x in r -Richtung um maximales {mindestens für einen Pfeil auf Kreis x r {0, u r }} Basisaustausch: r r 6 of 2 Netzwerksimplex

13 Matching Eine nwendung von Flüssen 7 of 2 Matchings

14 G = (V, E) heißt bipartit, wenn V = B mit B = und, B und für alle e E gilt: γ(e) = {a, b} für ein a und ein b B. B 8 of 2 Matchings

15 G = (V, E) heißt bipartit, wenn V = B mit B = und, B und für alle e E gilt: γ(e) = {a, b} für ein a und ein b B. B M E heißt Matching, wenn e e M γ(e) γ(e ) =. 8 of 2 Matchings

16 G = (V, E) heißt bipartit, wenn V = B mit B = und, B und für alle e E gilt: γ(e) = {a, b} für ein a und ein b B. B M E heißt Matching, wenn e e M γ(e) γ(e ) =. 8 of 2 Matchings

17 G = (V, E) heißt bipartit, wenn V = B mit B = und, B und für alle e E gilt: γ(e) = {a, b} für ein a und ein b B. B M E heißt Matching, wenn e e M γ(e) γ(e ) =. 8 of 2 Matchings

18 G = (V, E) heißt bipartit, wenn V = B mit B = und, B und für alle e E gilt: γ(e) = {a, b} für ein a und ein b B. B M E heißt Matching, wenn e e M γ(e) γ(e ) =. 8 of 2 Matchings

19 G = (V, E) heißt bipartit, wenn V = B mit B = und, B und für alle e E gilt: γ(e) = {a, b} für ein a und ein b B. B M E heißt Matching, wenn e e M γ(e) γ(e ) =. maximales Matching inklusionsweise maximal M = max{ M M ist Matching in G} 8 of 2 Matchings

20 Lösung mit maxflow in G bipartit 9 of 2 Matchings

21 Lösung mit maxflow in G bipartit u = s u = u = t 9 of 2 Matchings

22 Lösung mit maxflow in G bipartit s t maximaler Fluss ganzzahlig 9 of 2 Matchings

23 Lösung mit maxflow in G bipartit s t maximaler Fluss ganzzahlig ˆ= maximales Matching ( M = val(f )) 9 of 2 Matchings

24 G = ( B, E) bipartit heißt vollständig, wenn E = {[a, b] für alle a und b B}. Matching M heißt perfekt, wenn jede Ecke v V inzident zu (genau einer) Kante e M ist. B 0 of 2 Matchings

25 G = ( B, E) bipartit heißt vollständig, wenn E = {[a, b] für alle a und b B}. Matching M heißt perfekt, wenn jede Ecke v V inzident zu (genau einer) Kante e M ist. B perfektes Matching in G bipartit nur möglich wenn = B = n 0 of 2 Matchings

26 rbeiterverteilungsproblem verfügbare rbeiter anfallende Jobs 2 3 kann erledigen für Kosten c() oder 3 für Kosten c(3) of 2 Matchings

27 rbeiterverteilungsproblem verfügbare rbeiter anfallende Jobs 2 3 kann erledigen für Kosten c() oder 3 für Kosten c(3) Zuordnungsproblem geg: bipartiter Graph G mit n = = B, Pfeilgewichte c R R ges: finde perfektes Matching mit minimalem Gesamtgewicht c(m) = e M c(e) of 2 Matchings

28 c() c() c(3) c(2) c(2) c(3) of 2 Matchings

29 u =, b c() c() c(3) c(2) 2 c(2) c(3) 3 MinCostFlow b-fluss 2 of 2 Matchings

30 u =, b c() c() c(3) c(2) 2 c(2) c(3) 3 MinCostFlow b-fluss Minimalkostenfluss ganzzahlig ˆ= beste Zuordnung 2 of 2 Matchings