Kombinatorische Optimierung

Transkript

1 Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Vorlesung 9 Programm: Übungsblatt 4 Anwendungen des Maximaler-Fluss-Problems An Algorithm for Improving Graph Partitions by Andersen and Lang, SODA Henning Meyerhenke:

3 Inhalt Flüsse in Netzwerken Anwendungen 3 Henning Meyerhenke:

4 Zirkulation Definition Definition Ein Zirkulationsnetzwerk ist ein Tripel (G, b, u) mit einem gerichteten Graphen G = (V, E) und b, u : E R mit b(e) u(e) für alle e E. 4 Henning Meyerhenke:

5 Zirkulation Definition Definition Ein Zirkulationsnetzwerk ist ein Tripel (G, b, u) mit einem gerichteten Graphen G = (V, E) und b, u : E R mit b(e) u(e) für alle e E. Definition Eine Zirkulation f ist ein Fluss ohne Quelle und ohne Senke. Formal ist f : E R mit 1. b(e) f (e) u(e) e E (Kapazitätsbedingung) 2. (u,v) E f (u, v) = (v,w) E f (v, w) v V (Flusserhaltung) 4 Henning Meyerhenke:

6 Zirkulation Definition Definition Ein Zirkulationsnetzwerk ist ein Tripel (G, b, u) mit einem gerichteten Graphen G = (V, E) und b, u : E R mit b(e) u(e) für alle e E. Definition Eine Zirkulation f ist ein Fluss ohne Quelle und ohne Senke. Formal ist f : E R mit 1. b(e) f (e) u(e) e E (Kapazitätsbedingung) 2. (u,v) E f (u, v) = (v,w) E f (v, w) v V (Flusserhaltung) Beispiel: Siehe Tafel 4 Henning Meyerhenke:

7 Zirkulation Formale Aufgabenbeschreibung Problem Eingabe: Ein Zirkulationsnetzwerk (G, b, u) Ausgabe: Eine Zirkulation f für (G, b, u) 5 Henning Meyerhenke:

8 Zirkulation Formale Aufgabenbeschreibung Problem Eingabe: Ein Zirkulationsnetzwerk (G, b, u) Ausgabe: Eine Zirkulation f für (G, b, u) Redefinition des Residualnetzwerkes G f = (V, E f ) mit E f = {(v, w) V V u f (v, w) > 0} und u f (v, w) = u(v, w) f (v, w) + max{f (w, v) b(w, v), 0 }{{}}{{} }. Dabei nimmt man an, dass f (w, v) und b(w, v) gleich 0 sind, wenn (w, v) / E. Beispiel: Siehe Tafel 5 Henning Meyerhenke:

9 Zirkulation Algorithmus Algorithm 1 Berechnung einer Zirkulation 1: function CIRCULATE(G, b, u) 2: f (e) = 0 e E Triviale Initialisierung, unzulässige Zirkulation 3: while e E : f (e) < b(e) do 4: Wähle (v, w) E mit f (v, w) < b(v, w) Fluss auf Kante zu klein 5: if ein Pfad P von w nach v in G f then Redef. von G f beachten! 6: C = (P, (v, w)) ist ein Zyklus mit (v, w) C 7: Schicke δ = min e C u f (e) Flusseinheiten durch C 8: else 9: return NULL Keine Zirkulation möglich 10: end if 11: end while 12: return f 6 Henning Meyerhenke:

10 Zirkulation Analyse des Algorithmus Der Algorithmus terminiert. Falls der Rückgabewert nicht NULL ist, dann ist f eine zulässige Zirkulation. Andernfalls gibt es keine zulässige Zirkulation. Lemma Für (G, b, u) mit G = (V, E) gibt es eine zulässige Zirkulation gdw. für jede Menge U V gilt: b(v, w) u(w, v) (v,w) (U,Ū) E (w,v) (Ū,U) E 7 Henning Meyerhenke:

11 Anwendungsszenario: Verteiltes Rechnen mit zwei Prozessoren Ein Rechnersystem hat zwei (mglw. verschiedene) Prozessoren Wir wollen ein sehr großes Programm darauf ausführen Das Programm besteht aus mehreren Modulen, die miteinander interagieren 8 Henning Meyerhenke:

12 Anwendungsszenario: Verteiltes Rechnen mit zwei Prozessoren Ein Rechnersystem hat zwei (mglw. verschiedene) Prozessoren Wir wollen ein sehr großes Programm darauf ausführen Das Programm besteht aus mehreren Modulen, die miteinander interagieren Folgende Kosten sind gegeben: α j : Berechnungskosten für Modul j auf Prozessor 1 β j : Berechnungskosten für Modul j auf Prozessor 2 γ i,j : Kommunikationskosten zwischen den Modulen i und j, wenn sie auf verschiedenen Prozessoren laufen (ansonsten 0) 8 Henning Meyerhenke:

13 Anwendungsszenario: Verteiltes Rechnen mit zwei Prozessoren Ein Rechnersystem hat zwei (mglw. verschiedene) Prozessoren Wir wollen ein sehr großes Programm darauf ausführen Das Programm besteht aus mehreren Modulen, die miteinander interagieren Folgende Kosten sind gegeben: α j : Berechnungskosten für Modul j auf Prozessor 1 β j : Berechnungskosten für Modul j auf Prozessor 2 γ i,j : Kommunikationskosten zwischen den Modulen i und j, wenn sie auf verschiedenen Prozessoren laufen (ansonsten 0) Aufgabe: Finden Sie eine Zuweisung der Module auf die Prozessoren derart, dass die Gesamtkosten minimiert werden! Beispiel: Siehe Tafel 8 Henning Meyerhenke:

14 Konstruktion Bei gegebener Menge J von Modulen und Kosten α j, β j and γ i,j : Konstruiere Flussnetzwerk (G, u, s, t) wie folgt: V = {s, t} J E = {(s, j) j J} {(j, t) j J} {(i, j) i, j J, γ i,j > 0} β j falls i = s u(i, j) = α i falls j = t falls i = s, j = t γ i,j 9 Henning Meyerhenke:

15 Konstruktion Bei gegebener Menge J von Modulen und Kosten α j, β j and γ i,j : Konstruiere Flussnetzwerk (G, u, s, t) wie folgt: V = {s, t} J E = {(s, j) j J} {(j, t) j J} {(i, j) i, j J, γ i,j > 0} β j falls i = s u(i, j) = α i falls j = t falls i = s, j = t Lemma γ i,j Die Gesamtkosten der Zuweisung der Module an die Prozessoren ist gleich der Kapazität des minimalen Schnitts (S, T ) von G. Beweis. Übung: Vergleiche Kosten einer Zuweisung mit Kapazität eines Schnitts im Flussnetzwerk. 9 Henning Meyerhenke:

16 Spezialfall: Einheitskapazitäten Definition (G, u, s, t) ist ein Einheitskapazitäten-Netzwerk (UCN), wenn c(e) = 1 für alle e E. (G, u, s, t) ist ein schlichtes Einheitskapazitäten-Netzwerk (SUCN), wenn es ein UCN ist und zusätzlich deg in (v) = 1 oder deg out (v) = 1 für alle v V \ {s, t}. Theorem (ohne Beweis) Das Problem des maximales Flusses kann für SUCNs mit Laufzeit O(n 1/2 m) gelöst werden. Das Problem des maximales Flusses kann für UCNs mit Laufzeit O(min{n 2/3 m, m 3/2 }) gelöst werden. 10 Henning Meyerhenke:

17 Aufgabe: Maximale bipartite Matchings mit Flüssen Problem Sei G = (V 1 V 2, E) ein bipartiter Graph. Berechnen Sie ein größtmögliches Matching in G mit einem flussbasierten Algorithmus! Wie müssen Sie das Problem transformieren? Der Algorithmus soll scheller sein als O(m n) (Laufzeit des Algorithmus mit dem alternierenden Baum)! Bemerkung Sei G = (V 1 V 2, E) ein gewichteter bipartiter Graph. Ein Matching mit maximalem Gewicht in G lässt sich mit Laufzeit O(n(m + n log n)) berechnen. 11 Henning Meyerhenke:

18 Verbesserung von Partitionierungen Allgemeines Ziel: Minimalen Schnitt finden, dabei Größenbeschränkung beachten Anwendungen: Teile-und-herrsche-Algorithmen VLSI-Entwurf Clustering 12 Henning Meyerhenke:

19 Verbesserung von Partitionierungen Allgemeines Ziel: Minimalen Schnitt finden, dabei Größenbeschränkung beachten Anwendungen: Teile-und-herrsche-Algorithmen VLSI-Entwurf Clustering Algorithmen: Lokale Suche Spektrale Methoden Multilevel-Verfahren Semidefinite Programmierung Mehrgüterflüsse 12 Henning Meyerhenke:

20 Quotientenwertung Definition (Quotientenwertung) Seien G = (V, E) und S V. Sei S das Gesamtgewicht der Kanten, die zwischen S und S verlaufen. Die Quotientenwertung (engl.: quotient score) ist Q(S) = (S) min{π(s), π(s)} Dabei sei π eine Fkt., die jedem Knoten einen positiven Wert zuweist. Beispiele: π(v) = 1 v V (quotient cut) oder π(v) = deg(v) v V (conductance) 13 Henning Meyerhenke:

21 Problembeschreibung Problem Eingabe: G = (V, E) Ausgabe: Finde S V mit minimalem Q(S)! Bemerkung Das obige Problem ist N P-schwer. 14 Henning Meyerhenke:

22 Problembeschreibung Problem Eingabe: G = (V, E) Ausgabe: Finde S V mit minimalem Q(S)! Bemerkung Das obige Problem ist N P-schwer. Problem (Finde verbesserte Lösung!) Eingabe: G = (V, E), A V mit Q(A) Q(A) Ausgabe: Finde S V mit Q(S) < Q(A)! 14 Henning Meyerhenke:

23 Idee des Algorithmus Graphen auf geeignete Weise in Flussnetzwerk transformieren Bei Transformation aktuelle Lösung und deren Qualität berücksichtigen Minimalen Schnitt der neuen Lösung in Partition für G überführen 15 Henning Meyerhenke:

24 Transformation der Eingabe Eingabe: G = (V, E), A V, α [0, ) Ausgabe: G A (α) mit V (G A (α)) = V {s, t}, E(G A (α)) = E {(s, v) v A} {(v, t) v A}, w(s, v) = απ(v), w(v, t) = απ(v)f (A) mit f (A) = π(a)/π(a) 1, w(u, v) = w G (u, v). 16 Henning Meyerhenke:

25 Transformation der Eingabe Eingabe: G = (V, E), A V, α [0, ) Ausgabe: G A (α) mit V (G A (α)) = V {s, t}, E(G A (α)) = E {(s, v) v A} {(v, t) v A}, w(s, v) = απ(v), w(v, t) = απ(v)f (A) mit f (A) = π(a)/π(a) 1, w(u, v) = w G (u, v). Bemerkung 1. Gesamtkapazität der Quellkanten = Gesamtkap. der Senkenkanten. 2. cost A,α (S) = (S) + απ(a S) + απ(s A)f (A) 16 Henning Meyerhenke:

26 Transformation der Eingabe Eingabe: G = (V, E), A V, α [0, ) Ausgabe: G A (α) mit V (G A (α)) = V {s, t}, E(G A (α)) = E {(s, v) v A} {(v, t) v A}, w(s, v) = απ(v), w(v, t) = απ(v)f (A) mit f (A) = π(a)/π(a) 1, w(u, v) = w G (u, v). Bemerkung 1. Gesamtkapazität der Quellkanten = Gesamtkap. der Senkenkanten. 2. cost A,α (S) = (S) + απ(a S) + απ(s A)f (A) Beispiel: Siehe Tafel 16 Henning Meyerhenke:

27 Qualitätsvergleich Definition Sei A V derart, dass π(a) π(a). Wir definieren: mit f (A) = π(a)/π(a) 1 und D A (S) = π(s A) π(s A) f (A) Q A (S) = { (S)/D A (S) falls D A (S) > 0, + falls D A (S) 0. Bemerkung Es gilt immer: D A (S) < π(s) 17 Henning Meyerhenke:

28 Algorithmus Algorithm 2 Verbesserung der Quotientenwertung 1: function IMPROVE(G, A) A V mit π(a) π(a) 2: S 0 = A; i = 0 3: α 0 = Q A (A) = Q(A) < 4: repeat 5: Berechne s-t-schnitt (S i+1, S i+1 ) in Graph G A (α i ) 6: α i+1 = Q A (S i+1 ) 7: i = i + 1 8: until α i α i 1 9: return S 18 Henning Meyerhenke:

29 Analyse: Haupttheorem Theorem Sei A eine Menge mit π(a) π(a) und sei S = IMPROVE(A). 1. Für jede Menge C A gilt: Q(S) Q(C). 2. Falls C eine Menge ist, für die π(a C) π(c) π(a) π(v ) + ɛ π(a) π(v ) für ein ɛ > 0 gilt, dann erfüllt die Ausgabe S Q(S) 1 ɛ Q(C). 3. Der Algorithmus IMPROVE läuft in polynomieller Zeit. 19 Henning Meyerhenke:

30 Analyse: Hilfsresultate Lemma 1. Der Algorithmus IMPROVE(A) berechnet eine Menge S, die Q A (S) minimiert. 2. Kantengewichte ganzzahlig: Höchstens π(v ) 2 Iterationen. 3. Kanten ungewichtet: Höchstens E Iterationen. Lemma Angenommen, π(a) π(a). Dann gilt: 1. Für jede Menge S V gilt: Q A (S) Q(S). 2. Falls für eine Menge C π(a C) π(c) π(a) π(v ) + ɛ π(a) π(v ) für ein ɛ > 0 gilt, dann gilt Q A (C) 1 ɛ Q(C). 20 Henning Meyerhenke:

31 Analyse: Beweis des ersten Lemmas Minimierung von Q A, Korrektheit. Wir zeigen: Q(IMPROVE(A)) = min X V QA (X ) := α. Falls es eine Knotenmenge X mit Q A (X ) < α, dann finden wir X durch Lösen eines s-t-flussproblems. Invariante von IMPROVE: Q A (S i ) = α i <. Entweder α i+1 < α i oder α i = α. Laufzeit. D A (S i ) wird in jeder Iteration streng verringert. In allen Iterationen außer der letzten: D A (S i ) > 0 und D A (S i+1 ) > 0. D A (S i+1 ) < D A (S i ) (Rechnung siehe Skript) Ganzzahlige Werte: Es können nur entsprechend viele verschiedene Werte angenommen werden. 21 Henning Meyerhenke:

32 Analyse: Beweis des zweiten Lemmas Q A (S) Q(S). Zur Erinnerung: D A (S) = π(s A) π(s A) f (A) Q A (S) = (S)/D A (S), falls D A (S) > 0 Zu zeigen: Wenn π(a) π(a), dann gilt auch D A (S) min(π(s), π(s)). D A (S) π(s), denn D A (S) = π(s A) π(s A)f (A) π(s) D A (S) π(s), denn D A (S) = D A (S) = π(s A) + π(s A)f (A) π(s A)f (A) π(s A). 22 Henning Meyerhenke:

33 Zusammenfassung Flussberechnung zur Optimierung eines Quotientenkriteriums. Kriterium geht ein bei Formulierung des Flussproblems (Transformation). Jede Iteration findet das Optimum einer abgewandelten Zielfunktion. 23 Henning Meyerhenke:

34 Zusammenfassung Flussberechnung zur Optimierung eines Quotientenkriteriums. Kriterium geht ein bei Formulierung des Flussproblems (Transformation). Jede Iteration findet das Optimum einer abgewandelten Zielfunktion. Haupttheorem, Teil 1: Jede Iteration liefert ein Ergebnis, das mindestens so gut ist wie das Ergebnis der besten Teilmenge der bisherigen Lösung. Haupttheorem, Teil 2: Wenn die Lösung der vorherigen Iteration genügend Übereinstimmung mit dem Optimum hat, dann 1 ɛ -approximiert die Lösung S das Optimum. Bedingung zur Übereinstimmung bei π(v) = 1: Anteil von C, der auch in A liegt, muss etwas größer sein als der erwartete Anteil von C in einer Zufallsmenge der Größe A. 23 Henning Meyerhenke: