Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse

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1 Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Prof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund für Theoretische Informatik nationales Algorithmische Forschungszentrum Methoden in der Helmholtz-Gemeinschaft zur Netzwerkanalyse

2 Vorlesung 9 Programm des Tages: PageRank Betweenness evtl. Closeness 2 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

3 Wiederholung Eigenvektorzentralität PageRank 3 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik

4 Inhalt PageRank Betweenness Centrality Nähezentralität 4 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

5 Modell des Zufallssurfers Surfer bewegt sich zufällig im Webgraphen Er folgt dabei den ausgehenden Kanten mit gleicher Wahrscheinlichkeit (Klick auf Link) Außerdem kann man eine Seite verlassen, indem man sich wegteleportiert (eine neue URL im Browser eingibt) 5 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

6 Modell des Zufallssurfers Surfer bewegt sich zufällig im Webgraphen Er folgt dabei den ausgehenden Kanten mit gleicher Wahrscheinlichkeit (Klick auf Link) Außerdem kann man eine Seite verlassen, indem man sich wegteleportiert (eine neue URL im Browser eingibt) PageRank ist stationärer Zustand eines stochastischen Prozesses 5 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

7 Beispiel [ 6 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

8 Die Mathematik hinter PageRank Zumindest ein wenig davon... Google-Matrix G Dämpfungsfaktor α (bestimmt Teleport-Wkt.) Transitionsmatrix P für Linkverfolgung Teleport-Vektor v, stochastisch, v 1 = 1 7 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

9 Die Mathematik hinter PageRank Zumindest ein wenig davon... Google-Matrix G Dämpfungsfaktor α (bestimmt Teleport-Wkt.) Transitionsmatrix P für Linkverfolgung Teleport-Vektor v, stochastisch, v 1 = 1 G = αp + (1 α)v1 T 7 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

10 Die Mathematik hinter PageRank Zumindest ein wenig davon... Google-Matrix G Dämpfungsfaktor α (bestimmt Teleport-Wkt.) Transitionsmatrix P für Linkverfolgung Teleport-Vektor v, stochastisch, v 1 = 1 G = αp + (1 α)v1 T Wir werden feststellen: Verbindung zur Eigenvektorzentralität ergibt sich aus der Umformung direkt, nur die Matrix ist eine andere! 7 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

11 Algebraische Notation des Algorithmus x: PageRank-Vektor p ij : Link von Seite j zu Seite i, normalisiert durch den Knotengrad von j Normalisierung erzeugt spaltenstochastische Matrix P, P = AD 1 8 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

12 Algebraische Notation des Algorithmus x: PageRank-Vektor p ij : Link von Seite j zu Seite i, normalisiert durch den Knotengrad von j Normalisierung erzeugt spaltenstochastische Matrix P, P = AD 1 g ij = αp ij + (1 α)(v1 T ) ij (1) = α(ad 1 ) ij + (1 α)v i (2) = α aij d jj + (1 α)v i (3) 8 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

13 Algebraische Notation des Algorithmus x: PageRank-Vektor p ij : Link von Seite j zu Seite i, normalisiert durch den Knotengrad von j Normalisierung erzeugt spaltenstochastische Matrix P, P = AD 1 g ij = αp ij + (1 α)(v1 T ) ij (1) PageRank mit Potenzmethode: x (t+1) = x (t) G = α(ad 1 ) ij + (1 α)v i (2) = α aij d jj + (1 α)v i (3) 8 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

14 Eigenschaften von G (1) Ziel: Aussagen über Konvergenz des Algorithmus G ist spaltenstochastisch i g ij = ( α aij + (1 α)v d i ) (4) i jj = α d jj i a ij + (1 α)v i (5) i = α djj d jj + (1 α) 1 (6) = 1 (7) 9 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

15 Eigenschaften von G (1) Ziel: Aussagen über Konvergenz des Algorithmus G ist spaltenstochastisch i g ij = ( α aij + (1 α)v d i ) (4) i jj = α d jj i a ij + (1 α)v i (5) i = α djj d jj + (1 α) 1 (6) = 1 (7) 9 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

16 Eigenschaften von G (2) Annahme: Graph zus.hgd. Eigenwerte von G: 1 > α λ 2 (P) α λ 3 (P)... Eindeutiger dominanter linker Eigenvektor: π T G = π T 10 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

17 Eigenschaften von G (2) Annahme: Graph zus.hgd. Eigenwerte von G: 1 > α λ 2 (P) α λ 3 (P)... Eindeutiger dominanter linker Eigenvektor: π T G = π T π i ist PageRank der Seite i (Selbstübung) 10 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

18 Potenzmethode 1. Starte mit initialem Vektor x (0) 2. x (t+1) = x (t) G 3. Normalisierung von x 4. Wenn nicht konvergiert: gehe zu 2) 11 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

19 Potenzmethode 1. Starte mit initialem Vektor x (0) 2. x (t+1) = x (t) G 3. Normalisierung von x 4. Wenn nicht konvergiert: gehe zu 2) Tafel: Konvergenzanalyse 11 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

20 Potenzmethode 1. Starte mit initialem Vektor x (0) 2. x (t+1) = x (t) G 3. Normalisierung von x 4. Wenn nicht konvergiert: gehe zu 2) Tafel: Konvergenzanalyse Frage: Was passiert, wenn x (0) orthogonal zum EV gewählt wird? 11 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

21 Potenzmethode bei PageRank Sei die EV-Zerlegung von x (0) gegeben durch n i=1 c iz i. Seien die EW von G absteigend gegeben als 1 = µ 1 > µ 2 µ Für den Fehler in der Iteration t gilt [x (t) π] T = [x (0) ] T G t π T G. [x (0) ] T G t = = n i=1 c i z T i G t (8) n c i µ t i zt i (9) i=1 = c 1 µ 1 z T 1 + n i=2 c i µ t i zt i = π T + n i=2 c i µ t i zt i (10) Folglich: Keine Konvergenz, wenn c 1 = 0, d. h. wenn x (0) π! 12 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

22 Fazit Mit entsprechender Hardware und Know-how kann man PageRank auch für große Graphen in akzeptabler Zeit berechnen Interessantes Maß, reichhaltige mathematische Analyse, in der Praxis nur ein Maß unter vielen Alternativer Algorithmus: Hubs and Authorities von Jon Kleinberg 13 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

23 Fazit Mit entsprechender Hardware und Know-how kann man PageRank auch für große Graphen in akzeptabler Zeit berechnen Interessantes Maß, reichhaltige mathematische Analyse, in der Praxis nur ein Maß unter vielen Alternativer Algorithmus: Hubs and Authorities von Jon Kleinberg Mit Netzwerkanalyse und dem Engineering paralleler Algorithmen kann man reich werden 13 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik PageRank

24 Inhalt PageRank Betweenness Centrality Nähezentralität 14 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

25 Betweenness Centrality Dt.: Intermediationszentralität Sei G ungerichtet. Grundlegende Idee: Ein Knoten ist wichtig, wenn er auf vielen kürzesten Wegen liegt 15 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

26 Betweenness Centrality Dt.: Intermediationszentralität Sei G ungerichtet. Grundlegende Idee: Ein Knoten ist wichtig, wenn er auf vielen kürzesten Wegen liegt Sei σ st = σ ts die Zahl der kürzesten Wege zwischen s und t Sei σ st (v) = σ ts (v) die Zahl der kürzesten Wege zwischen s und t, auf denen der Knoten v (als Zwischenknoten) liegt Definition (Intermediationszentralität (Betweenness Centrality)) Die BC eines Knotens v V in einem ungerichteten Graphen ist: C B (v) = σ st (v) σ s =v =t V st 15 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

27 Paar-Abhängigkeiten Folglich: Ein hoher BC-Wert gibt an, dass ein Knoten auf einem hohen Anteil von kürzesten Pfaden liegt Lemma Ein Knoten v liegt genau dann auf dem kürzesten Pfad zwischen s und t, wenn dist(s, v) + dist(v, t) = dist(s, t) gilt. 16 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

28 Paar-Abhängigkeiten Folglich: Ein hoher BC-Wert gibt an, dass ein Knoten auf einem hohen Anteil von kürzesten Pfaden liegt Lemma Ein Knoten v liegt genau dann auf dem kürzesten Pfad zwischen s und t, wenn dist(s, v) + dist(v, t) = dist(s, t) gilt. Definition (Paar-Abhängigkeit) Die Paar-Abhängigkeit eines Knotens v ist gegeben durch: δ st (v) = σ st (v)/σ st Folglich: C B (v) = σ st (v) σ st ist Summe über Paar-Abhängigkeiten von v 16 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

29 Berechnung und Komplexität Simpler Algorithmus für BC Berechne Länge und Zahl der kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren Berechne Summe der Paar-Abhängigkeiten für jeden Knoten Problem: 17 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

30 Berechnung und Komplexität Simpler Algorithmus für BC Berechne Länge und Zahl der kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren Berechne Summe der Paar-Abhängigkeiten für jeden Knoten Problem: Es gibt quadratisch viele Paar-Abhängigkeiten! Also ergibt sich so kubischer Aufwand! 17 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

31 Berechnung und Komplexität Simpler Algorithmus für BC Berechne Länge und Zahl der kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren Berechne Summe der Paar-Abhängigkeiten für jeden Knoten Problem: Es gibt quadratisch viele Paar-Abhängigkeiten! Also ergibt sich so kubischer Aufwand! Einsicht: Wege zählen durch Berechnung von A t ist zu aufwändig und berechnet mehr Infos als nötig Idee: Zwischenergebnisse mehrfach verwenden! 17 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

32 Ansatz zur Beschleunigung Kombinatorisches Zählen von Wegen Definition (Vorgänger) Die Menge der Vorgänger von v auf einem kürzesten Pfad von s ist: P s (v) = {u V : {u, v} E, dist G (s, v) = dist G (s, u) + ω(u, v)} 18 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

33 Ansatz zur Beschleunigung Kombinatorisches Zählen von Wegen Definition (Vorgänger) Die Menge der Vorgänger von v auf einem kürzesten Pfad von s ist: P s (v) = {u V : {u, v} E, dist G (s, v) = dist G (s, u) + ω(u, v)} Lemma Für s = v V gilt: σ sv = u Ps (v) σ su 18 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

34 Ansatz zur Beschleunigung Kombinatorisches Zählen von Wegen Definition (Vorgänger) Die Menge der Vorgänger von v auf einem kürzesten Pfad von s ist: P s (v) = {u V : {u, v} E, dist G (s, v) = dist G (s, u) + ω(u, v)} Lemma Für s = v V gilt: σ sv = u Ps (v) σ su Lemma Sei ein Startknoten s V gegeben. Die Zahl und Länge aller kürzesten Pfade zu allen anderen Knoten lässt sich in O(m + n log n) Zeit für gewichtete Graphen berechnen (in O(m) für ungewichtete). 18 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

35 Abhängigkeit eines Knotens Ziel: Nicht alle Paar-Abhängigkeiten summieren müssen Zur Erinnerung: δ st (v) = σ st (v) σ st C B (v) = s =v =t V σ st (v) σ st 19 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

36 Abhängigkeit eines Knotens Ziel: Nicht alle Paar-Abhängigkeiten summieren müssen Zur Erinnerung: δ st (v) = σ st (v) σ st C B (v) = s =v =t V σ st (v) σ st Definition (Abhängigkeit eines Knotens s) δ s (v) = t V δ st (v) Wichtig: Diese Summen haben eine rekursive Beziehung! 19 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

37 Rekursive Abhängigkeit Theorem Für die Abhängigkeit δ s (v) eines Startknotens s V zu einem anderen Knoten v V gilt: δ s (v) = σ sv (1 + δ s (w)) σ w:v P s (w) sw Beweis: Siehe Tafel! 20 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

38 Abbildung zum Beweis [Brandes, 2001] δ s (v) = w:v Ps (w) σ sv σ sw (1 + δ s (w)) C B (v) = s =v =t V σ st (v) σ st = s =v V δ s (v) 21 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

39 Akkumulation der Abhängigkeiten (1) Beobachtung Ähnlich wie bei Tiefensuche: Bei Berechnung der kürzesten Pfade von einem Startknoten s V in G entsteht ein Baum aus den Kanten der ersten Entdeckung. 22 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

40 Akkumulation der Abhängigkeiten (1) Beobachtung Ähnlich wie bei Tiefensuche: Bei Berechnung der kürzesten Pfade von einem Startknoten s V in G entsteht ein Baum aus den Kanten der ersten Entdeckung. Folgerung Sei dieser Baum T der kürzesten Pfade von einem Startknoten s V in G gegeben. Dann lassen sich die Abhängigkeiten von s zu allen anderen Knoten in Zeit O(m) und Platz O(n + m) berechnen. 22 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

41 Akkumulation der Abhängigkeiten (2) Zu zeigen: Pro Startknoten Zeit O(m) und Platz O(n + m) Beweis. Traversiere die Knoten in nicht-aufsteigender Reihenfolge hinsichtlich ihrer Distanz zu s Akkumuliere dabei die Abhängigkeit in jedem Knoten gemäß des Theorems 23 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

42 Akkumulation der Abhängigkeiten (2) Zu zeigen: Pro Startknoten Zeit O(m) und Platz O(n + m) Beweis. Traversiere die Knoten in nicht-aufsteigender Reihenfolge hinsichtlich ihrer Distanz zu s Akkumuliere dabei die Abhängigkeit in jedem Knoten gemäß des Theorems Wir müssen pro Knoten eine Abhängigkeit und die Liste der Vorgänger speichern Pro Kante gibt es höchstens ein Element in allen diesen Listen 23 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

43 Der Algorithmus von Brandes Berechne n Kürzeste-Pfade-Bäume, einen pro s V Währenddessen auch die Mengen P s (v) berechnen 24 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

44 Der Algorithmus von Brandes Berechne n Kürzeste-Pfade-Bäume, einen pro s V Währenddessen auch die Mengen P s (v) berechnen Berechne für jedes jeweilige s V und alle anderen v V die Abhängigkeiten δ s (v) mit Hilfe des Baumes, der Vorgängermengen und des Theorems: Starte an den Blättern des Baumes, arbeite dich wie auf der vorigen Folie beschrieben schrittweise zur Wurzel voran Akkumuliere den Abhängigkeitswert des Startknotens s zu jedem einzelnen Knoten v im Zentralitätswert von v: δ s (v) = w:v Ps (w) σ sv σ sw (1 + δ s (w)) C B (v) = s =v V δ s (v) 24 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

45 Endresultat BC kann in Zeit O(nm + n 2 log n) und Platz O(n + m) auf gewichteten Graphen berechnet werden Für ungewichtete Graphen reduziert sich die Laufzeit auf O(nm) 25 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

46 Endresultat BC kann in Zeit O(nm + n 2 log n) und Platz O(n + m) auf gewichteten Graphen berechnet werden Für ungewichtete Graphen reduziert sich die Laufzeit auf O(nm) Für dünn besetzte Graphen (lineare Anzahl (in n) von Kanten): Verbesserung des naiven Algorithmus mit kubischer Laufzeit um Faktor O( log n n ) bzw. O(n) 25 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Betweenness Centrality

47 Inhalt PageRank Betweenness Centrality Nähezentralität 26 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Nähezentralität

48 Closeness Centrality Dt.: Nähezentralität Wieder Berücksichtigung der kürzesten Wege Dieses Mal aber deren Länge, nicht deren Zahl Mittlerer kürzester Abstand: l i = 1 n j dist(i, j) Kleiner Nachteil des MKA: Hohe Werte sprechen für geringen Einfluss im Netzwerk 27 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Nähezentralität

49 Closeness Centrality Dt.: Nähezentralität Wieder Berücksichtigung der kürzesten Wege Dieses Mal aber deren Länge, nicht deren Zahl Mittlerer kürzester Abstand: l i = 1 n j dist(i, j) Kleiner Nachteil des MKA: Hohe Werte sprechen für geringen Einfluss im Netzwerk Definition (Nähezentralität) C i = 1 l i = n j dist(i, j) 27 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Nähezentralität

50 Alternatives Maß Problem: Knoten in verschiedenen Komponenten haben Abstand Alternativ: Harmonisches Mittel des Abstands: C i = 1 n 1 1 dist(i, j) j =i Löst das Problem der unendlichen Abstände und gibt Ähnlichkeit an Trotzdem: In Praxis und Wissenschaft wenig verwendet 28 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Nähezentralität

51 Betrachtung des ganzen Netzwerks Auch Netzwerke kann man anhand bestimmter Maße einordnen Closeness bei einer ZHK: l = 1 n 2 dist(i, j) = 1 n i,j i l i 29 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Nähezentralität

52 Betrachtung des ganzen Netzwerks Auch Netzwerke kann man anhand bestimmter Maße einordnen Closeness bei einer ZHK: l = 1 n 2 dist(i, j) = 1 n i,j i l i Bei mehreren ZHK: Wieder Problem mit unendlich großen Abständen Daher Durchschnittsbildung mit harmonischem Mittel: l = n i C i 29 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Nähezentralität

53 Diskussion Nähezentralität Vorteil: Nähezentralität sehr natürliches Maß Nachteil: Kein breites Spektrum der Ergebnisse Maximaler Abstand typischerweise logarithmisch Beispiel IMDB: Maximum 0, 4143, Minimum: 0, 1154 Nachteil: Behandlung von unzusammenhängenden Graphen problematisch Lösung dafür: Harmonische Mittelbildung 30 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Nähezentralität

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