Algorithmen für Planare Graphen
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- Heinrich Brinkerhoff
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1 Algorithmen für Planare Graphen 12. Juni 2018, Übung 4 Lars Gottesbüren, Michael Hamann INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
2 Prüfungstermine 11. Juli - AUSGEBUCHT 31. Juli - AUSGEBUCHT 28. August - AUSGEBUCHT 29. August - nur noch wenige Plätze 27. September 4. Oktober 15. Oktober Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
3 1.1 Schnitte und Kreise Aufgabe 1.1 Sei G = (V, E) planar, zusammenhängend und E E. Zeige (V, E ) enthält Kreis C (V, (E \ E ) ) unzusammenhängend Sei C ein Kreis in E Sei f V im Inneren, g V im Äußeren von C Alle Pfade in G die f und g verbinden, laufen über Kanten dual zu C g e e f C Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
4 1.1 Schnitte und Kreise Aufgabe 1.1 Sei G = (V, E) planar, zusammenhängend und E E. Zeige (V, E ) enthält Kreis C (V, (E \ E ) ) unzusammenhängend Annahme E enhält keinen Kreis. Facetten sind durch Kreise voneinander getrennt Kein Kreis gelöscht kein Schnitt zwischen Facetten Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
5 1.2 Bäume Aufgabe 1.2 Bäume Zeige: Für E E T = (V, E ) ist ein Spannbaum von G T = (V, (E \ E ) ) ist ein Spannbaum von G Nutze Aufgabe 1.1 T Spannbaum T ist zshg [kreisfrei] T ist kreisfrei [zshg] Analog. Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
6 2.1 Perfektes Matching Ein Matching M heißt perfekt, wenn jeder Knoten von G zu einer Kante aus M inzident ist. Für welche n 1 und m 1 besitzen die folgenden Graphen jeweils ein perfektes Matching? P n einfacher Weg mit n Knoten. n gerade Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
7 2.1 Perfektes Matching Ein Matching M heißt perfekt, wenn jeder Knoten von G zu einer Kante aus M inzident ist. Für welche n 1 und m 1 besitzen die folgenden Graphen jeweils ein perfektes Matching? P n einfacher Weg mit n Knoten. n gerade Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
8 2.2 Perfektes Matching C n einfacher Kreis mit n Knoten. Ausnahmsweise C 2 = K 2. n gerade C 8 Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
9 2.3 Perfektes Matching Q n der n-te Hyperwürfel. Q 1 Q 2 Q 3 Kopiere das Matching mit dem Graphen. Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
10 2.4 Perfektes Matching K n n gerade K 2 K 4 K 6 Es muss gelten: M = V 2 n gerade K n enthält Kreis der Länge n. Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
11 K n,m n = m 2.4 Perfektes Matching Für n m ist mindestens ein Knoten auf einer Seite nicht im Matching. K 1,1 K 2,2 K 3,3 Füge die Kante zwischen den beiden neuen Knoten zu M hinzu. Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
12 3 Adjazenztest Adjazenztest in O(1) Gegeben: G ungerichteter, planarer Graph. Wir haben lineare Vorberechnungszeit und können linear viel zusätzlichen Speicher benutzen. Hinweis: Richte Kanten so, dass jeder Knoten höchstens fünf ausgehende Kanten hat. Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
13 3 Adjazenztest Adjazenztest in O(1) Gegeben: G ungerichteter, planarer Graph. Wir haben lineare Vorberechnungszeit und können linear viel zusätzlichen Speicher benutzen. Hinweis: Richte Kanten so, dass jeder Knoten höchstens fünf ausgehende Kanten hat. Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
14 3 Adjazenztest In den folgenden Algorithmen werden wir Kanten richten. Kanten {u, v} sind zunächst ungerichtet und können zu (u, v) oder (v, u) gerichtet werden. N (v): Nachbarschaft von v im Eingabegraphen. Ñ (v): Nachbarschaft von v über Kanten die noch nicht gerichtet wurden. N + (v): Über gerichtete, von v ausgehende Kanten benachbarte Knoten. Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
15 3 Adjazenztest Algorithm VORBERECH- NUNG d v Grad von Knoten v Q {v d v 5} while Q do v Q.pop() for u Ñ (v) do {v, u} (v, u) d u = d u 1 if d u = 5 then Q.push(u) Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
16 3 Adjazenztest Algorithm VORBERECH- NUNG d v Grad von Knoten v Q {v d v 5} while Q do v Q.pop() for u Ñ (v) do {v, u} (v, u) d u = d u 1 if d u = 5 then Q.push(u) Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
17 3 Adjazenztest Algorithm VORBERECH- NUNG d v Grad von Knoten v Q {v d v 5} while Q do v Q.pop() for u Ñ (v) do {v, u} (v, u) d u = d u 1 if d u = 5 then Q.push(u) Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
18 3 Adjazenztest Algorithm VORBERECH- NUNG d v Grad von Knoten v Q {v d v 5} while Q do v Q.pop() for u Ñ (v) do {v, u} (v, u) d u = d u 1 if d u = 5 then Q.push(u) Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
19 3 Adjazenztest Algorithm VORBERECH- NUNG d v Grad von Knoten v Q {v d v 5} while Q do v Q.pop() for u Ñ (v) do {v, u} (v, u) d u = d u 1 if d u = 5 then Q.push(u) Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
20 3 Adjazenztest Algorithm VORBERECH- NUNG d v Grad von Knoten v Q {v d v 5} while Q do v Q.pop() for u Ñ (v) do {v, u} (v, u) d u = d u 1 if d u = 5 then Q.push(u) Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
21 3 Adjazenztest Algorithm VORBERECH- NUNG d v Grad von Knoten v Q {v d v 5} while Q do v Q.pop() for u Ñ (v) do {v, u} (v, u) d u = d u 1 if d u = 5 then Q.push(u) Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
22 3 Adjazenztest Algorithm VORBERECH- NUNG d v Grad von Knoten v Q {v d v 5} while Q do v Q.pop() for u Ñ (v) do {v, u} (v, u) d u = d u 1 if d u = 5 then Q.push(u) Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
23 3 Adjazenztest Algorithm VORBERECH- NUNG d v Grad von Knoten v Q {v d v 5} u v while Q do v Q.pop() for u Ñ (v) do {v, u} (v, u) d u = d u 1 if d u = 5 then Q.push(u) Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
24 3 Adjazenztest Algorithm ADJAZENT(u, v) v? N + (u) oder u? N + (v) u v Für jeden der beiden Knoten müssen höchstens 5 Kanten betrachtet werden. ADJAZENT O(1) Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
25 4 Dreiecke Zählen Für alle v V : bestimme Zahl der Dreiecke in denen v vorkommt. Laufzeit: O(n) Gegeben: G = (V, E) ungerichteter, planarer Graph. Dreiecke in denen v vorkommt: {{x, y} E {v, x}, {v, y} E} x y v Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
26 4 Dreiecke Zählen Algorithm DREIECKE VORBERECHNUNG() for v V do D v = 0 for u N (v) do for w N + (u) do if ADJAZENT(v, w) then D v = D v + 1 Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
27 4 Dreiecke Zählen Algorithm DREIECKE VORBERECHNUNG() for v V do D v = 0 for u N (v) do for w N + (u) do if ADJAZENT(v, w) then D v = D v + 1 Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
28 4 Dreiecke Zählen Algorithm DREIECKE VORBERECHNUNG() for v V do D v = 0 for u N (v) do for w N + (u) do if ADJAZENT(v, w) then D v = D v + 1 Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
29 4 Dreiecke Zählen Algorithm DREIECKE VORBERECHNUNG() for v V do D v = 0 for u N (v) do for w N + (u) do if ADJAZENT(v, w) then D v = D v + 1 Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
30 4 Dreiecke Zählen Algorithm DREIECKE VORBERECHNUNG() for v V do D v = 0 for u N (v) do for w N + (u) do if ADJAZENT(v, w) then D v = D v + 1 Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
31 4 Dreiecke Zählen Algorithm DREIECKE VORBERECHNUNG() for v V do D v = 0 for u N (v) do for w N + (u) do if ADJAZENT(v, w) then D v = D v + 1 Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
32 5 MST MST in erwartet O(n) Gegeben: G ungerichteter, planarer, zusammenhängend Graph. Ohne Beweis zu verwenden: Sei v ein Knoten und e eine Kante minimalen Gewichts inzident zu v. Dann gibt es einen Spannbaum minimalen Gewichts von G, der e enthält. Sei e eine Kante, die einem Spannbaum minimalen Gewichts von G vorkommt. Sei T ein Spannbaum minimalen Gewichts auf dem Graphen, den man durch die Kontraktion von e erhält. Dann ist T e ein Spannbaum minimalen Gewichts auf G. Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
33 5 MST Algorithm MST T while G nicht leer do Wähle v V mit deg(v) 5 e argmin e N (v) w(e ) T T e Kontrahiere e Entferne Multikanten und behalte nur die mit geringstem Gewicht 5 6 u 8 e v vu w Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
34 Erwartete Laufzeit Kontraktion von {u, v} mit deg(v) 5 Pro Knoten eine Hashmap für seine Nachbarschaft Für x N (v) erkenne ob x N (u); in erwartet O(1) Falls ja, behalte die Kante mit kleinerem Gewicht in Hashmap für u Lars Gottesbüren, Michael Hamann Übung Juni /17
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