Datenstrukturen und Algorithmen
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- Andrea Kerner
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1 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 1/1 Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 14: Prof. Dr. Erika Ábrahám Theorie Hybrider Systeme Informatik 2 datenstrukturen-und-algorithmen/ Diese Präsentation verwendet in Teilen Folien von Joost-Pieter Katoen. 27. Juni 2014
2 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 2/18 Übersicht 1 Greedy Algorithmen Minimaler Spannbaum Algorithmus von Prim
3 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 3/18 Übersicht 1 Greedy Algorithmen Minimaler Spannbaum Algorithmus von Prim
4 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 4/18 Probleme auf kantengewichteten Graphen Betrachte einen gewichteten Graphen, wobei den Kanten ein Gewicht zugeordnet ist.
5 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 4/18 Probleme auf kantengewichteten Graphen Betrachte einen gewichteten Graphen, wobei den Kanten ein Gewicht zugeordnet ist. Beispiel (Optimierungsprobleme auf Graphen)
6 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 4/18 Probleme auf kantengewichteten Graphen Betrachte einen gewichteten Graphen, wobei den Kanten ein Gewicht zugeordnet ist. Beispiel (Optimierungsprobleme auf Graphen) Finde den minimalen Spannbaum (minimal spanning tree) in einem ungerichteten Graphen.
7 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 4/18 Probleme auf kantengewichteten Graphen Betrachte einen gewichteten Graphen, wobei den Kanten ein Gewicht zugeordnet ist. Beispiel (Optimierungsprobleme auf Graphen) Finde den minimalen Spannbaum (minimal spanning tree) in einem ungerichteten Graphen. Finde den kürzesten Weg (shortest path) in einem gerichteten oder ungerichteten Graphen.
8 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 4/18 Probleme auf kantengewichteten Graphen Betrachte einen gewichteten Graphen, wobei den Kanten ein Gewicht zugeordnet ist. Beispiel (Optimierungsprobleme auf Graphen) Finde den minimalen Spannbaum (minimal spanning tree) in einem ungerichteten Graphen. Finde den kürzesten Weg (shortest path) in einem gerichteten oder ungerichteten Graphen. Minimal und kürzester beziehen sich hierbei auf die besuchten Gewichte.
9 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 4/18 Probleme auf kantengewichteten Graphen Betrachte einen gewichteten Graphen, wobei den Kanten ein Gewicht zugeordnet ist. Beispiel (Optimierungsprobleme auf Graphen) Finde den minimalen Spannbaum (minimal spanning tree) in einem ungerichteten Graphen. Finde den kürzesten Weg (shortest path) in einem gerichteten oder ungerichteten Graphen. Minimal und kürzester beziehen sich hierbei auf die besuchten Gewichte. Die Gewichte können als Kosten für die Benutzung der Kante aufgefasst werden.
10 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 4/18 Probleme auf kantengewichteten Graphen Betrachte einen gewichteten Graphen, wobei den Kanten ein Gewicht zugeordnet ist. Beispiel (Optimierungsprobleme auf Graphen) Finde den minimalen Spannbaum (minimal spanning tree) in einem ungerichteten Graphen. Finde den kürzesten Weg (shortest path) in einem gerichteten oder ungerichteten Graphen. Minimal und kürzester beziehen sich hierbei auf die besuchten Gewichte. Die Gewichte können als Kosten für die Benutzung der Kante aufgefasst werden. Diese Probleme können durch Greedy-Algorithmen gelöst werden.
11 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 5/18 Greedy Algorithmen Eine Lösungstechnik: Greedy-Algorithmen ( gierig )
12 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 5/18 Greedy Algorithmen Eine Lösungstechnik: Greedy-Algorithmen ( gierig ) Treffe in jedem Schritt eine Entscheidung, die bezüglich eines lokalen Kriteriums optimal ist.
13 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 5/18 Greedy Algorithmen Eine Lösungstechnik: Greedy-Algorithmen ( gierig ) Treffe in jedem Schritt eine Entscheidung, die bezüglich eines lokalen Kriteriums optimal ist. Dieses Kriterium sollte günstig ( Komplexität) auswertbar sein.
14 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 5/18 Greedy Algorithmen Eine Lösungstechnik: Greedy-Algorithmen ( gierig ) Treffe in jedem Schritt eine Entscheidung, die bezüglich eines lokalen Kriteriums optimal ist. Dieses Kriterium sollte günstig ( Komplexität) auswertbar sein. Nachdem eine Wahl getroffen wurde, kann sie nicht mehr rückgängig gemacht werden.
15 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 5/18 Greedy Algorithmen Eine Lösungstechnik: Greedy-Algorithmen ( gierig ) Treffe in jedem Schritt eine Entscheidung, die bezüglich eines lokalen Kriteriums optimal ist. Dieses Kriterium sollte günstig ( Komplexität) auswertbar sein. Nachdem eine Wahl getroffen wurde, kann sie nicht mehr rückgängig gemacht werden. Mit Greedy-Methoden ist nicht garantiert, dass immer die beste Lösung gefunden wird, denn
16 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 5/18 Greedy Algorithmen Eine Lösungstechnik: Greedy-Algorithmen ( gierig ) Treffe in jedem Schritt eine Entscheidung, die bezüglich eines lokalen Kriteriums optimal ist. Dieses Kriterium sollte günstig ( Komplexität) auswertbar sein. Nachdem eine Wahl getroffen wurde, kann sie nicht mehr rückgängig gemacht werden. Mit Greedy-Methoden ist nicht garantiert, dass immer die beste Lösung gefunden wird, denn immer das lokale Optimum zu nehmen führt nicht automatisch auch zum globalen Optimum.
17 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 5/18 Greedy Algorithmen Eine Lösungstechnik: Greedy-Algorithmen ( gierig ) Treffe in jedem Schritt eine Entscheidung, die bezüglich eines lokalen Kriteriums optimal ist. Dieses Kriterium sollte günstig ( Komplexität) auswertbar sein. Nachdem eine Wahl getroffen wurde, kann sie nicht mehr rückgängig gemacht werden. Mit Greedy-Methoden ist nicht garantiert, dass immer die beste Lösung gefunden wird, denn immer das lokale Optimum zu nehmen führt nicht automatisch auch zum globalen Optimum. In einigen Fällen, wie dem minimalen Spannbaum und dem Kürzesten-Wege-Problem, wird aber immer die optimale Lösung gefunden.
18 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 6/18 Greedy? Beispiel
19 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 6/18 Greedy? Beispiel Greedy kann beliebig schlecht werden: Das Problem des Handlungsreisenden (Traveling Salesman Problem, TSP)
20 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 6/18 Greedy? Beispiel Greedy kann beliebig schlecht werden: Das Problem des Handlungsreisenden (Traveling Salesman Problem, TSP) Greedy kann gut sein: Behälterproblem (Bin Packing) ( 2x Optimum)
21 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 6/18 Greedy? Beispiel Greedy kann beliebig schlecht werden: Das Problem des Handlungsreisenden (Traveling Salesman Problem, TSP) Greedy kann gut sein: Behälterproblem (Bin Packing) ( 2x Optimum) Greedy kann optimal sein: Minimaler Spannbaum, Kürzester-Weg-Problem.
22 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 6/18 Greedy? Beispiel Greedy kann beliebig schlecht werden: Das Problem des Handlungsreisenden (Traveling Salesman Problem, TSP) Greedy kann gut sein: Behälterproblem (Bin Packing) ( 2x Optimum) Greedy kann optimal sein: Minimaler Spannbaum, Kürzester-Weg-Problem. Wann ist eine Greedy-Lösungsstrategie optimal? Optimale Lösung setzt sich aus optimalen Teilproblemen zusammen Unabhängigkeit von anderen Teillösungen
23 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 7/18 Was ist ein minimaler Spannbaum? Spannbaum Ein Spannbaum eines ungerichteten, zusammenhängenden Graphen G ist ein Teilgraph von G, der ein ungerichteter Baum ist und alle Knoten von G enthält.
24 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 7/18 Was ist ein minimaler Spannbaum? Spannbaum Ein Spannbaum eines ungerichteten, zusammenhängenden Graphen G ist ein Teilgraph von G, der ein ungerichteter Baum ist und alle Knoten von G enthält. Gewicht eines Graphen Das Gewicht W (G ) eines Teilgraphen G = (V, E ) vom gewichteten Graph G ist: W (G ) = W (u, v). (u,v) E
25 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 7/18 Was ist ein minimaler Spannbaum? Spannbaum Ein Spannbaum eines ungerichteten, zusammenhängenden Graphen G ist ein Teilgraph von G, der ein ungerichteter Baum ist und alle Knoten von G enthält. Gewicht eines Graphen Das Gewicht W (G ) eines Teilgraphen G = (V, E ) vom gewichteten Graph G ist: W (G ) = W (u, v). (u,v) E Minimaler Spannbaum Ein Spannbaum mit minimalem Gewicht heißt minimaler Spannbaum (minimum spanning tree, MST).
26 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 8/18 Anwendungen Problem Finde einen MST eines gewichteten, ungerichteten, zusammenhängenden Graphen.
27 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 8/18 Anwendungen Problem Finde einen MST eines gewichteten, ungerichteten, zusammenhängenden Graphen. Beispiel Finde einen kostengünstigsten Weg, um eine Menge von Flughafenterminals, Städten,... zu verbinden.
28 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 8/18 Anwendungen Problem Finde einen MST eines gewichteten, ungerichteten, zusammenhängenden Graphen. Beispiel Finde einen kostengünstigsten Weg, um eine Menge von Flughafenterminals, Städten,... zu verbinden. Grundlage für viele andere Probleme, etwa Routing-Probleme ( Wegfindung ).
29 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 8/18 Anwendungen Problem Finde einen MST eines gewichteten, ungerichteten, zusammenhängenden Graphen. Beispiel Finde einen kostengünstigsten Weg, um eine Menge von Flughafenterminals, Städten,... zu verbinden. Grundlage für viele andere Probleme, etwa Routing-Probleme ( Wegfindung ). Bestandteil von Approximationsalgorithmen für das TSP Problem.
30 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 8/18 Anwendungen Problem Finde einen MST eines gewichteten, ungerichteten, zusammenhängenden Graphen. Beispiel Finde einen kostengünstigsten Weg, um eine Menge von Flughafenterminals, Städten,... zu verbinden. Grundlage für viele andere Probleme, etwa Routing-Probleme ( Wegfindung ). Bestandteil von Approximationsalgorithmen für das TSP Problem. Verdrahtung von Schaltungen mit geringstem Energieverbrauch.
31 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 9/18 Minimaler Spannbaum Beispiel A 6 C 5 4 F 9 G B 3 8 E 15 H D
32 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 9/18 Minimaler Spannbaum Beispiel A 6 C 5 4 F 9 G B 3 8 E 15 H D Was ist ein minimaler Spannbaum?
33 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 10/18 Minimaler Spannbaum Beispiel A 6 C 5 4 F 9 G B 3 8 E 15 H D Das ist ein minimaler Spannbaum (mit Gesamtgewicht 46).
34 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 10/18 Minimaler Spannbaum Beispiel A 6 C 5 4 F 9 G B 3 8 E 15 H D Das ist ein minimaler Spannbaum (mit Gesamtgewicht 46). In diesem Fall ist es auch der einzige.
35 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 11/18 Tiefen- oder Breitensuche? A 6 C 5 4 F 9 G A 6 C 5 4 F 9 G B 3 8 E 15 H B 3 8 E 15 H D D Tiefensuchbaum (von A gestartet) Gesamtgewicht: 55 Breitensuchbaum (von A gestartet) Gesamtgewicht: 67 Der Tiefensuchbaum und der Breitensuchbaum sind zwar Spannbäume, aber nicht notwendigerweise MSTs.
36 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 12/18 Der Algorithmus von Prim Übersicht Wir ordnen die Knoten in drei Kategorien ein: Baum-Knoten : Knoten, die Teil vom bis jetzt konstruierten Baum sind. Rand-knoten: Nicht im Baum, jedoch adjazent zu Knoten im Baum. Ungesehene Knoten: Alle anderen Knoten.
37 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 12/18 Der Algorithmus von Prim Übersicht Wir ordnen die Knoten in drei Kategorien ein: Baum-Knoten : Knoten, die Teil vom bis jetzt konstruierten Baum sind. Rand-knoten: Nicht im Baum, jedoch adjazent zu Knoten im Baum. Ungesehene Knoten: Alle anderen Knoten. Grundkonzept:
38 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 12/18 Der Algorithmus von Prim Übersicht Wir ordnen die Knoten in drei Kategorien ein: Baum-Knoten : Knoten, die Teil vom bis jetzt konstruierten Baum sind. Rand-knoten: Nicht im Baum, jedoch adjazent zu Knoten im Baum. Ungesehene Knoten: Alle anderen Knoten. Grundkonzept: Fange mit einen Baum mit nur einem Knoten an, indem ein beliebiger Knoten des Graphens ausgewählt wird.
39 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 12/18 Der Algorithmus von Prim Übersicht Wir ordnen die Knoten in drei Kategorien ein: Baum-Knoten : Knoten, die Teil vom bis jetzt konstruierten Baum sind. Rand-knoten: Nicht im Baum, jedoch adjazent zu Knoten im Baum. Ungesehene Knoten: Alle anderen Knoten. Grundkonzept: Fange mit einen Baum mit nur einem Knoten an, indem ein beliebiger Knoten des Graphens ausgewählt wird. Finde die günstigste Kante (d. h. mit minimalem Gewicht), die den bisherigen Baum verlässt.
40 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 12/18 Der Algorithmus von Prim Übersicht Wir ordnen die Knoten in drei Kategorien ein: Baum-Knoten : Knoten, die Teil vom bis jetzt konstruierten Baum sind. Rand-knoten: Nicht im Baum, jedoch adjazent zu Knoten im Baum. Ungesehene Knoten: Alle anderen Knoten. Grundkonzept: Fange mit einen Baum mit nur einem Knoten an, indem ein beliebiger Knoten des Graphens ausgewählt wird. Finde die günstigste Kante (d. h. mit minimalem Gewicht), die den bisherigen Baum verlässt. Füge den über diese Kante erreichten (Rand-)Knoten dem Baum hinzu, zusammen mit der Kante.
41 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 12/18 Der Algorithmus von Prim Übersicht Wir ordnen die Knoten in drei Kategorien ein: Baum-Knoten : Knoten, die Teil vom bis jetzt konstruierten Baum sind. Rand-knoten: Nicht im Baum, jedoch adjazent zu Knoten im Baum. Ungesehene Knoten: Alle anderen Knoten. Grundkonzept: Fange mit einen Baum mit nur einem Knoten an, indem ein beliebiger Knoten des Graphens ausgewählt wird. Finde die günstigste Kante (d. h. mit minimalem Gewicht), die den bisherigen Baum verlässt. Füge den über diese Kante erreichten (Rand-)Knoten dem Baum hinzu, zusammen mit der Kante. Fahre fort, bis keine weiteren Randknoten mehr vorhanden sind.
42 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 12/18 Der Algorithmus von Prim Übersicht Wir ordnen die Knoten in drei Kategorien ein: Baum-Knoten : Knoten, die Teil vom bis jetzt konstruierten Baum sind. Rand-knoten: Nicht im Baum, jedoch adjazent zu Knoten im Baum. Ungesehene Knoten: Alle anderen Knoten. Grundkonzept: Fange mit einen Baum mit nur einem Knoten an, indem ein beliebiger Knoten des Graphens ausgewählt wird. Finde die günstigste Kante (d. h. mit minimalem Gewicht), die den bisherigen Baum verlässt. Füge den über diese Kante erreichten (Rand-)Knoten dem Baum hinzu, zusammen mit der Kante. Fahre fort, bis keine weiteren Randknoten mehr vorhanden sind. Ist das korrekt?
43 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 12/18 Der Algorithmus von Prim Übersicht Wir ordnen die Knoten in drei Kategorien ein: Baum-Knoten : Knoten, die Teil vom bis jetzt konstruierten Baum sind. Rand-knoten: Nicht im Baum, jedoch adjazent zu Knoten im Baum. Ungesehene Knoten: Alle anderen Knoten. Grundkonzept: Fange mit einen Baum mit nur einem Knoten an, indem ein beliebiger Knoten des Graphens ausgewählt wird. Finde die günstigste Kante (d. h. mit minimalem Gewicht), die den bisherigen Baum verlässt. Füge den über diese Kante erreichten (Rand-)Knoten dem Baum hinzu, zusammen mit der Kante. Fahre fort, bis keine weiteren Randknoten mehr vorhanden sind. Ist das korrekt? Und wenn, was ist die Komplexität?
44 Prim s Algorithmus: Implementierung 1 // Parameter: ungerichteter gewichteter Graph mit n Knoten und ein Startknoten 2 void primmst(int adj[n], int n, int start) { 3 for (int i = 0; i < n; i++) { 4 key[i] = inf; p[i] = null; 5 } 6 key[start] = 0; //start ist einziger Randknoten mit Kosten 0 7 Q = {0,...,n-1}; 8 while (Q not empty) { 9 //verschiebe den billigsten Randknoten in den Baum 10 v = extractmin(q); 11 // aktualisiere Kosten für Randnnoten 12 for each ((u,w) in adj[v]) { 13 if (u in Q and w < key[u]) { 14 p[u] = v; 15 key[u] = w; 16 } 17 } 18 } 19 } Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 13/18
45 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 14/18 Prim s Algorithmus Beispiel
46 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 14/18 Prim s Algorithmus Beispiel
47 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 14/18 Prim s Algorithmus Beispiel
48 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 14/18 Prim s Algorithmus Beispiel
49 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 14/18 Prim s Algorithmus Beispiel
50 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 14/18 Prim s Algorithmus Beispiel
51 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 14/18 Prim s Algorithmus Beispiel
52 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 14/18 Prim s Algorithmus Beispiel
53 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 14/18 Prim s Algorithmus Beispiel
54 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 15/18 Korrektheit von Prim Lemma Unmittelbar vor jeder Iteration i ist der aktuelle Baum B i = (V i, E i ) eine Teilmenge eines minimalen Spannbaumes..
55 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 15/18 Korrektheit von Prim Lemma Unmittelbar vor jeder Iteration i ist der aktuelle Baum B i = (V i, E i ) eine Teilmenge eines minimalen Spannbaumes. Beweis. Per Induktion über die Iterationstiefe. k = 1: Trivial, da E i =.
56 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 15/18 Korrektheit von Prim Lemma Unmittelbar vor jeder Iteration i ist der aktuelle Baum B i = (V i, E i ) eine Teilmenge eines minimalen Spannbaumes. Beweis. k > 1: Sei die Eigenschaft gültig für alle 1 i < k; wir zeigen sie für k. Sei T ein MST der B k 1 enthält und B k = (V k 1 {v}, E k 1 {(u, v)}). Wenn T auch B k enthält, dann sind wir fertig. Falls (u, v) nicht in T enthalten ist, dann gibt es einen anderen Pfad von u nach v in T. Da u V k 1 und v V k 1, gibt es eine Kante (x, y) auf dem Pfad mit x V k 1 und y V k 1. Es gilt W (x, y) > W (u, v) wegen des Wahls von (u, v). Der Baum T, der aus T durch entfernen von (x, y) und Hinzufügen von (u, v) entsteht, ist ein Spannbaum, der auch minimal ist (da T minimal ist und W (T ) = W (T ) W (x, y) + W (u, v) W (T )). Da B k in T enthalten ist, gilt die Eigenschaft.
57 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 16/18 ADT zum Vorhalten der Randknoten Die benötigten Operationen für den Algorithmus von Prim sind: Wähle eine billigste Kante zu einem Randknoten (Kantenkandidat). Reklassifiziere einen Randknoten als Baumknoten (füge den Kantenkandidat zum Baum hinzu). Ändere die Kosten (Randgewicht) eines Randknotens, wenn ein günstigerer Kantenkandidat gefunden wird.
58 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 16/18 ADT zum Vorhalten der Randknoten Die benötigten Operationen für den Algorithmus von Prim sind: Wähle eine billigste Kante zu einem Randknoten (Kantenkandidat). Reklassifiziere einen Randknoten als Baumknoten (füge den Kantenkandidat zum Baum hinzu). Ändere die Kosten (Randgewicht) eines Randknotens, wenn ein günstigerer Kantenkandidat gefunden wird. Idee: Ordne die Randknoten nach ihrer Priorität (= Randgewicht).
59 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 16/18 ADT zum Vorhalten der Randknoten Die benötigten Operationen für den Algorithmus von Prim sind: Wähle eine billigste Kante zu einem Randknoten (Kantenkandidat). Reklassifiziere einen Randknoten als Baumknoten (füge den Kantenkandidat zum Baum hinzu). Ändere die Kosten (Randgewicht) eines Randknotens, wenn ein günstigerer Kantenkandidat gefunden wird. Idee: Ordne die Randknoten nach ihrer Priorität (= Randgewicht). Wir entscheiden uns für die Prioritätswarteschlange als Datenstruktur für die Randknoten.
60 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 17/18 Vorläufige Komplexitätsanalyse Im Worst-Case:
61 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 17/18 Vorläufige Komplexitätsanalyse Im Worst-Case: Jeder Knoten muss zur Prioritätswarteschlange hinzugefügt werden. Auf jeden Knoten muss auch wieder zugegriffen werden und er muss gelöscht werden. Die Priorität eines Randknotens muss nach jeder gefundenen Kante angepasst werden.
62 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 17/18 Vorläufige Komplexitätsanalyse Im Worst-Case: Jeder Knoten muss zur Prioritätswarteschlange hinzugefügt werden. Auf jeden Knoten muss auch wieder zugegriffen werden und er muss gelöscht werden. Die Priorität eines Randknotens muss nach jeder gefundenen Kante angepasst werden. Bei einem Graph mit n Knoten und m Kanten ergibt sich: T (n, m) O (n T (insert)+n T (getmin)+n T (delmin)+m T (decrkey))
63 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 17/18 Vorläufige Komplexitätsanalyse Im Worst-Case: Jeder Knoten muss zur Prioritätswarteschlange hinzugefügt werden. Auf jeden Knoten muss auch wieder zugegriffen werden und er muss gelöscht werden. Die Priorität eines Randknotens muss nach jeder gefundenen Kante angepasst werden. Bei einem Graph mit n Knoten und m Kanten ergibt sich: T (n, m) O (n T (insert)+n T (getmin)+n T (delmin)+m T (decrkey)) Welche Implementierung der Prioritätswarteschlange ist dafür gut geeignet?
64 Prof. Dr. Erika Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen 18/18 Drei Prioritätswarteschlangenimplementierungen T (n, m) O (n T (insert)+n T (getmin)+n T (delmin)+m T (decrkey)) Implementierung Operation unsortiertes Array sortiertes Array Heap isempty() Θ(1) Θ(1) Θ(1) insert(e,k) Θ(1) Θ(n) Θ(log n) getmin() Θ(n) Θ(1) Θ(1) delmin() Θ(n) Θ(1) Θ(log n) decrkey(e,k) Θ(1) Θ(n) Θ(log n) Prim O(n 2 +m)) O(n 2 + m n) O(n log n + m log n)
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