Minimale Spannbäume. Organisatorisches. VL-16: Minimale Spannbäume. (Datenstrukturen und Algorithmen, SS 2017) Walter Unger. Spannbaum Probleme

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1 Organisatorisches VL-1: Minimale Spannbäume (Datenstrukturen und Algorithmen, SS 2017) Walter Unger Vorlesung: Gerhard Woeginger (Zimmer 4024 im E1) Sprechstunde: Mittwoch 11:15 12:00 Übungen: Tim Hartmann, David Korzeniewski, Björn Tauer Webseite: SS 2017, RWTH Nächste Vorlesung: Donnerstag, Jun 2, 10:15 11:45 Uhr, Aula 1 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 1/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 2/4 Spannbaum Probleme Minimale Spannbäume Spannbaum Ein Spannbaum eines ungerichteten, zusammenhängenden Graphen G = (V, E) ist ein Teilgraph von G, der (i) ein ungerichteter Baum ist und (ii) alle Knoten von G enthält. Bäume & Spannbäume Algorithmus von Kruskal Algorithmus von Prim Implementierung & Komplexität Beispiel (Spannbaum Probleme) Alle Kunden durch Glasfaserkabel verbinden Computernetzwerke verkabeln Verdrahtung von Schaltungen beim Chipdesign Den Strassenbelag zwischen allen Flughafenterminals erneuern DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 3/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 4/4

2 Beispiel: Glasfasernetz Beispiel: Telefonleitungsnetz Müssen alle Leitungen erneuert werden? Wie wählt man die zu erneuernden Abschnitte aus? Gibt es eine eindeutige Lösung? so dass Alle Kunden profitieren Jeder mit jedem über Glasfaser kommunizieren kann Sparsamkeit: keine doppelte Verbindungen DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 5/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume /4 Beispiel: Zwei Abdeckungen Ein wenig Mathematik Alle Kunden sind angeschlossen... und sind miteinander verbunden DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 7/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume /4

3 Einige Fakten über Bäume (1) Einige Fakten über Bäume (2) Die folgenden vier Aussagen sind für T = (V, E) äquivalent: (1) T ist ein Baum (2) Je zwei Knoten sind durch genau einen Weg verbunden (3) E = V 1 und T ist zusammenhängend (4) E = V 1 und T ist kreis-frei Ein Baum ist (i) maximal kreisfrei und (ii) minimal zusammenhängend. (1) (2): T zusammenhängend mindestens ein Pfad zwischen u und v T kreis-frei höchstens ein Pfad zwischen u und v (1) (3) und (1) (4) folgen mit ähnlichen Argumenten Fügt man eine Kante zu einem Baum hinzu, so entsteht ein Kreis. Löscht man eine Kante, so erhält man zwei Zusammenhangskomponenten. DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume /4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 10/4 Einige Fakten über Bäume (3) Anzahl der Spannbäume (1) 1. Ein Baum mit n Knoten hat n 1 Kanten 2. In einem Baum mit n Knoten gilt v V deg(v) = 2n 2 3. Jeder Baum (mit n 2 Knoten) hat mindestens 2 Blätter (Austauschsatz) Es sei T = (V, E ) ein spannender Baum von G = (V, E). Es sei e E E. Der Graph (V, E {e}) enthält einen einzigen Kreis C. Für jede Kante f C gilt: (V, E {e} {f }) ist ein Baum. Drei Spannbäume für n=3 Knoten Die Cayley Formel Der vollständige Graph mit n Knoten hat n n 2 Spannbäume. Beweis: Bijektion zwischen der Menge der Bäume mit Knotenmenge {1, 2,..., n} und der Menge der (n 2)-Tupel über {1, 2,..., n} DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 11/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 12/4

4 Anzahl der Spannbäume (2) Anzahl der Spannbäume (3) 5 Wie man einen Baum in einen Prüfer-Code übersetzt 1 Repeat 2 Bestimme Blatt x mit kleinster Nummer 3 Loesche x und inzidente Kante {x, y} 4 Speichere y im Tupel 5 Until ( nur noch eine einzige Kante uebrig ) Knoten mit Grad d kommt genau (d 1)-mal im Prüfer-Code vor Verschiedene Bäume führen zu verschiedenen Prüfer-Codes Prüfer-Code: 7, 4, 4, 1, 7, 1 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 13/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 14/4 Anzahl der Spannbäume (4) Prüfer-Code = (t(1), t(2),..., t(n 2)) Wie man einen Prüfer-Code in einen Baum zurückübersetzt 1 Setze t(n -1) := n; 2 3 For i=1 to n -1 do { 4 Bestimme die kleinste Zahl b( i), die 5 weder unter b (1),...,b(i -1) noch unter t(i),...,t(n -1) vorkommt 7 } Bilde Baum aus den n -1 Kanten { b( i), t( i)} Minimale Spannbäume DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 15/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 1/4

5 Nun kommen die Kosten ins Bild Beispiel: Leitungskosten Beispiel Finde den kostengünstigsten Weg, um eine Menge von Flughafenterminals, Städten,... zu verbinden Verdrahtung von Schaltungen mit geringstem Energieverbrauch Verbinde alle Kunden kostengünstigst durch Glasfaserkabeln Computernetzwerke verkabeln Das ist unsere Motivation für (kosten-)minimale Spannbäume! Verschiedene Umgebungen verursachen verschiedene Kosten für die Verlegung von Kabeln. DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 17/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 1/4 Geschichtlicher Rückblick (1) 120s: Elektrifizierung von Süd-West-Mähren 125/2: Jindřich Saxel von Západomoravské Elektrárny (West-Moravian Powerplants) kontaktiert Otakar Borůvka Otakar Borůvka (1 15): Tschechischer Mathematiker aus Brno Problem Gegeben n Punkte/Orte in der Euklidischen Ebene, verbinde sie durch ein Netz von minimaler Länge sodass je zwei Punkte entweder direkt oder über eine Folge anderer Punkte mit einander verbunden sind Geschichtlicher Rückblick (2) It is evident that a solution of this problem could have some importace in electricity power-line network design; hence I present the solution briefly using an example. The reader with a deeper interest in the subject is referred to the above quoted paper. I shall give a solution of the problem in the case of 40 points given in Fig. 1. I shall join each of the given points with the nearest neighbor. Thus, for example, point 1 with point 2, point 2 with point 3, point 3 with point 4 (point 4 with point 3), point 5 with point 2, point with point 5, point 7 with point, point with point, (point with point ), etc. I shall obtain a sequence of polygonal strokes 1, 2,..., 13 (Fig. 2). I shall join each of these strokes with the nearest stroke in the shortest possible way. Thus, for example, stroke 1 with stroke 2, (stroke 2 with stroke 1), stroke 3 with stroke 4, (stroke 4 with stroke 3), etc. I shall obtain a sequence of polygonal strokes 1, 2,..., 4 (Fig. 3) I shall join each of these strokes in the shortest way with the nearest stroke. Thus stroke 1 with stroke 3, stroke 2 with stroke 3 (stroke 3 with stroke 1), stroke 4 with stroke 1. I shall finally obtain a single polygonal stroke (Fig. 4), which solves the given problem. DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 1/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 20/4

6 Geschichtlicher Rückblick (3) Was ist ein minimaler Spannbaum? Kantengewichteter ungerichteter Graph Ein (kanten-)gewichteter Graph G ist ein Tripel (V, E, w), wobei: (V, E) ein ungerichteter Graph ist, und w : E R Gewichtsfunktion. w(e) ist das Gewicht der Kante e. Gewicht eines Graphen Das Gewicht w(g ) eines Teilgraphens G = (V, E ) des gewichteten Graphen G ist: w(g ) = e E w(e). Minimaler Spannbaum (MST) Ein Spannbaum des (ungerichteten, gewichteten, zusammenhängenden) Graphens G mit minimalem Gewicht heisst Minimaler Spannbaum (minimum spanning tree, MST) von G. DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 21/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 22/4 Minimaler Spannbaum: Beispiel (1) Minimaler Spannbaum: Beispiel (2) A C 5 4 F G A C 5 4 F G B 3 E 15 H B 3 E 15 H D D Wie sieht der minimale Spannbaum aus? Die roten Kanten zeigen einen MST mit Gesamtgewicht 4. In diesem Fall ist der MST eindeutig. DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 23/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 24/4

7 Tiefensuche? Breitensuche? A C 5 4 F G A C 5 4 F G B 3 D E 15 H B 3 D E 15 H Prim und Kruskal Tiefensuchbaum (von A gestartet) Gesamtgewicht: 55 Breitensuchbaum (von A gestartet) Gesamtgewicht: 7 Der Tiefensuchbaum und der Breitensuchbaum sind zwar Spannbäume, aber nicht notwendigerweise minimale Spannbäume. DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 25/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 2/4 Zwei Algorithmen für MST (1) Eingabe: ein gewichteter zusammenhängender Graph G mit n Knoten Ausgabe: ein minimaler Spannbaum von G Kruskal s Algorithmus So lange noch keine n 1 Kanten markiert sind: 1. Wähle eine billigste unmarkierte Kante 2. Markiere sie, falls sie keinen Kreis mit anderen markierten Kanten schliesst Prim s Algorithmus 1. Wähle einen Startknoten. 2. Markiere die billigste vom bereits konstruierten Baum ausgehende Kante, die keinen Kreis mit anderen markierten Kanten schliesst 3. Wiederhole Schritt 2., so lange noch keine n 1 Kanten markiert sind. Zwei Algorithmen für MST (2) Kruskal s Algorithmus wurde entdeckt: 15 von Joseph Kruskal (Amerikanischer Mathematiker) Prim s Algorithmus wurde entdeckt: 130 von Vojtech Jarnik (Tschechischer Mathematiker) 157 von Robert Clay Prim (Amerikanischer Mathematiker) 15 von Edsger Wybe Dijkstra (Niederländischer Mathematiker) Ist auch unter den Namen Prim-Jarnik und Prim-Dijkstra bekannt. DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 27/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 2/4

8 Beispiel: Das Inselreich der Algolaner Korrektheit von Prim und Kruskal Welche Fährverbindungen sollen durch Brücken ersetzt werden? DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 2/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 30/4 Das Hauptwerkzeug Korrektheit des Algorithmus von Kruskal Definition Eine Kantenmenge F E in Graphen G = (V, E, w) heisst tschechisch, falls es einen MST gibt, der alle Kanten in F enthält. Es sei F E eine tschechische Kantenmenge von G = (V, E, w). Es sei U V eine Zusammenhangskomponente von (V, F ). Es sei e eine Kante mit kleinstem Gewicht zwischen U und V U. Dann gilt: F {e} ist ebenfalls tschechisch Beweisskizze: Betrachte MST (V, F ) mit F F. (V, F {e}) enthält Kreis C. Kreis C verwendet mindestens zwei Kanten e und f zwischen U und V U. w(f ) w(e) Austauschsatz: (V, F {e} {f }) ist Baum Ergo: w(f ) = w(e) und (V, F {e} {f }) ist MST Ergo: F {e} ist tschechisch Der Algorithmus von Kruskal bestimmt einen minimalen Spannbaum. Beweis: Wir zeigen mit vollständiger Induktion über k 0, dass die ersten k von Kruskal ausgewählten Kanten jeweils eine tschechische Kantenmenge bilden. k = 0: Die leere Kantenmenge ist tschechisch. Induktionsschritt: Die bisher ausgewählten Kanten bilden tschechische Kantenmenge F. Kruskal gibt die billigste Kante e zu F dazu, die mit F keinen Kreis schliesst. Hauptwerkzeug impliziert dass F {e} ebenfalls tschechisch ist DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 31/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 32/4

9 Korrektheit des Algorithmus von Prim Der Algorithmus von Prim bestimmt einen minimalen Spannbaum. Beweis: Wir zeigen mit vollständiger Induktion über k 0, dass die ersten k von Prim ausgewählten Kanten jeweils eine tschechische Kantenmenge bilden. Implementierung & Komplexität k = 0: Die leere Kantenmenge ist tschechisch. Induktionsschritt: Die bisher ausgewählten Kanten bilden tschechische Kantenmenge F. Es sei U die Zusammenhangskomponente in (V, F ), die den Startknoten enthält. Prim gibt die billigste Kante e zu F dazu, die U mit V U verbindet. Hauptwerkzeug impliziert dass F {e} ebenfalls tschechisch ist DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 33/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 34/4 Der Algorithmus von Prim: Übersicht Prim s Algorithmus: Grundgerüst Wir klassifizieren Knoten in drei Kategorien (BLACK, GRAY, WHITE): Baumknoten: Knoten, im bis jetzt konstruierten Baum (BLACK) Randknoten: Nicht im Baum; adjazent zu Knoten im Baum (GRAY) Ungesehen: Alle anderen Knoten (WHITE) Grundkonzept von Prim: Fange mit einem Baum an, der nur aus Startknoten besteht Finde billigste Kante, die den bisherigen Baum verlässt. Füge den über diese Kante erreichten Randknoten dem Baum hinzu, zusammen mit der Kante. Fahre fort, bis keine weiteren Randknoten mehr vorhanden sind. 1 // ungerichteter Graph G mit n Knoten 2 void primmst ( Graph G, int n) { 3 initialisiere alle Knoten als ungesehen/ WHITE ; 4 waehle Startknoten s und markiere s als Baum/ BLACK ; 5 reklassifiziere alle Nachbarn von s als Rand/ GRAY ; 7 while ( es gibt Randknoten ) { waehle unter allen Kanten zwischen Baumknoten t und Randknoten v die billigste ; 10 reklassifiziere v als Baum/ BLACK ; 11 fuege Kante (t, v) zum Baum hinzu ; 12 reklassifiziere alle zu v adjazenten ungesehenen 13 Knoten als Rand/ GRAY ; 14 } 15 } DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 35/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 3/4

10 Prim s Algorithmus: Beispiel ADT zum Verhalten der Randknoten Die benötigten Operationen für den Algorithmus von Prim lauten: Finde billigste Kante zu einem Randknoten (Kantenkandidat) Reklassifiziere Randknoten als Baumknoten (füge Kantenkandidaten zum Baum hinzu). Ändere Kosten (Randgewicht) eines Randknotens, wenn günstigerer Kantenkandidat gefunden wird Idee: Ordne Randknoten immer nach ihrem Randgewicht (= Priorität) Wir entscheiden uns für Prioritätswarteschlange als Datenstruktur Prioritätswarteschlange (priority queue) PriorityQueue pq; pq.insert(int e, int k), int pq.getmin(), pq.delmin() void pq.decrkey(int e, int k) setzt Schlüssel von Element e auf k; dabei muss k kleiner als der bisherige Schlüssel von e sein. DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 37/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 3/4 Komplexitätsanalyse (1) Komplexitätsanalyse (2) Im Worst-Case passiert folgendes: Jeder Knoten muss zur Prioritätswarteschlange hinzugefügt werden. Auf jeden Knoten muss wieder zugegriffen werden und er muss wieder gelöscht werden. Die Priorität eines Randknotens muss nach jeder gefundenen Kante angepasst werden. Für einen Graphen mit n Knoten und m Kanten ergibt sich dann für die Zeitkomplexität T (n, m) von Prim s Algoritmus: T (n, m) O (n T (insert)+n T (getmin)+n T (delmin)+m T (decrkey)) n T (insert)+n T (getmin)+n T (delmin)+m T (decrkey) Die Prioritätswarteschlange kann so organisiert werden (VL-0), dass die Operation insert, getmin, delmin, decrkey jeweils nur O(log n) Zeit benötigen. Der Algorithmus von Prim findet für einen Graphen mit n Knoten und m Kanten den MST in O(m log n) Zeit. DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 3/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 40/4

11 Algorithmus von Prim: Implementierung Der Algorithmus von Kruskal: Übersicht 1 Prim - MST (G,w, start ) { 2 for each u in V( G) do { 3 key [u] = infty ; 4 parent [ u] = nil 5 } 7 key [ start ] = 0; insert all vertices u in V( G) into pq 10 while (! pq. isempty ()) { 11 u = pq. getmin (); 12 pq. delmin (); 13 for each neighbor v of u do { 14 if (w(u,v) < key [v]) { 15 pq. decrkey (v, w(u,v)); 1 parent [ v] = u; 17 } 1 } 1 } 20 } Wir sortieren die Kanten zuerst ansteigend nach ihrem Gewicht. Das kostet O(m log m) Zeit. Dann beginnen wir mit den n Knoten (ohne Kanten) und versuchen der Reihe nach die Kanten in den Baum einzufügen Falls Kante zwei Knoten in zwei verschiedenen Zusammenhangskomponenten verbindet: Kante einfügen Falls Kante zwei Knoten in derselben Zusammenhangskomponente verbindet: Kante überspringen Wichtiges Unterproblem: Wir müssen schnell testen können, ob (im bisher konstruierten Wald) zwei Knoten zur selben Zusammenhangskomponente gehören oder nicht DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 41/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 42/4 Union-Find Datenstruktur Union-Find Datenstruktur: Implementierung (1) Zur Verwaltung der Zusammenhangskomponenten brauchen wir eine Datenstruktur, die die folgenden Operationen unterstützt: Operationen: Find: Bestimme Zusammenhangskomponente für Knoten v. Union: Vereinige die beiden Zusammenhangskomponenten für Knoten v und für Knoten v in eine einzige Zusammenhangskomponente Implementierung der Union-Find Datenstruktur Für jede Zusammenhangskomponente werden die Knoten in einem Baum gespeichert. Dieser Baum ist (im allgemeinen) kein Binärbaum; jeder Knoten kann beliebig viele Kinder haben. Jeder Knoten (innerer Knoten oder Blatt) hat Zeiger zu Vater. Wir brauchen keine Zeiger zu den Kindern. Name der Zusammenhangskomponente ist Knoten in Wurzel DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 43/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 44/4

12 Union-Find Datenstruktur: Implementierung (2) Implementierung von Find(u) Starte in Knoten u, und laufe bis zur Wurzel. Implementierung von Union(u,v) 1. Starte in Knoten u, und laufe bis zur Wurzel w u. 2. Starte in Knoten v, und laufe bis zur Wurzel w v. 3. Mache w u zum Kind von w v. Laufzeit: Hängt stark von der Höhe der Bäume ab. Falls Baum aus einem einzigen Ast besteht: Laufzeit = Θ(n) Lineare Laufzeit ist zu langsam Union-Find Datenstruktur: Implementierung (3) Bessere Implementierung: Speichere für jeden Baum Anzahl der Knoten in Wurzel Hänge immer kleinen Baum unter grossen Baum Bessere Implementierung von Union(u,v) 1. Starte in Knoten u, und laufe bis zur Wurzel w u mit Knotenzahl n u. 2. Starte in Knoten v, und laufe bis zur Wurzel w v mit Knotenzahl n v. 3. Falls n u n v : Mache w u zum Kind von w v. Falls n u > n v : Mache w v zum Kind von w u. 4. Knotenzahl des neuen Baumes = n u + n v Es seien H u und H v die Höhen der beiden Bäume. Beobachtung Falls H u H v : Höhe des neuen Baumes = max{h u, H v } Falls H u = H v : Höhe des neuen Baumes = H u + 1 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 45/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 4/4 Union-Find Datenstruktur: Implementierung (4) Organisatorisches Baum mit Höhe H enthält mindestens 2 H Knoten. Beweis: Induktion über H plus Beobachtung Folgerung In der besseren Implementierung braucht jede Find Operation und jede Union Operation nur O(log n) Zeit. Nächste Vorlesung: Donnerstag, Jun 2, 10:15 11:45 Uhr, Aula 1 Webseite: Der Algorithmus von Kruskal findet für einen Graphen mit n Knoten und m Kanten den MST in O(m log n) Zeit. DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 47/4 DSAL/SS 2017 VL-1: Minimale Spannbäume 4/4