8: Bipartite Graphen. s 1. bei dem es eine Kante zwischen s i und k gibt, wenn der Schüler s i die Note k für seine Arbeit bekommen hat.

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1 Chr.Nelius: Graphentheorie (WS 2018/19) 8 Bipartite Graphen 26 8: Bipartite Graphen In einer Schulklasse mit 24 Schülern s 1,s 2,s 3,...,s 24 wurde eine Mathe Arbeit geschrieben. Um das Ergebnis bildlich darzustellen, bilden wir einen Graphen G mit der Eckenmenge E = {s 1,s 2,s 3,...,s 24,1,2,3,4,5,6}, bei dem es eine Kante zwischen s i und k gibt, wenn der Schüler s i die Note k für seine Arbeit bekommen hat. s 1 S s 2 s 3 s 23 s N Die Eckenmenge E des Graphen läßt sich in zwei disjunkte nichtleere Teilmengen S = {s 1,s 2,s 3,...,s 24 } und N = {1,2,3,4,5,6} zerlegen, d.h. E = S N und S N = (S: Menge der Schüler, N : Menge der Noten). Dabei hat jede Kante von G eine Begrenzungsecke in S und die andere in N, es gibt aber keine Kanten zwischen zwei Ecken aus S bzw. zwei Ecken aus N. Man spricht dann von einem bipartiten Graphen. (8.1) DEF: a) Ein Graph G = (E,K) heißt bipartit, wenn es zwei Teilmengen U und V von E gibt mit folgenden Eigenschaften: 1) U, V 2) E = U V, U V = (d.h. E ist die disjunkte Vereinigung von U und V ) 3) jede Kante aus K hat eine Begrenzungsecke in U und eine Begrenzungsecke in V. Das Paar (U,V ) heißt eine Bipartition von G. b) Ein schlichter bipartiter Graph G mit der Bipartition (U, V ) heißt ein vollständig bipartiter Graph, wenn jede Ecke aus U adjazent zu jeder Ecke aus V ist. c) Ein vollständig bipartiter Graph G mit der Bipartition (U,V ), für die U = m und V = n gilt, wird mit K m,n bezeichnet.

2 Chr. Nelius: Graphentheorie (WS 2018/19) 8 Bipartite Graphen 27 (8.2) BEISPIELE: a) Ein bipartiter Graph b) Der vollständig bipartite Graph K 1,6 (Man nennt die Graphen K 1,n Stern Graphen): U V c) Der vollständig bipartite Graph K 2,3 : d) Der vollständig bipartite Graph K 3,3 : e) Der Null Graph N n ist für n 2 bipartit. (8.3) BEM: a) Ein bipartiter Graph hat mindestens zwei Ecken. b) In einem bipartiten Graphen mit der Partition (U,V ) gibt es keine Kanten zwischen Ecken aus U und auch keine Kanten zwischen Ecken aus V. c) Ein bipartiter Graph hat keine Schlingen, kann aber parallele Kanten haben. d) Der vollständig bipartite Graph K m,n hat m + n Ecken und m n Kanten. Wie lässt sich praktisch eine Bipartition eines Graphen bestimmen? Dazu zeichnen wir das Bild des Graphen in (8.2a) einmal etwas anders, indem wir die Farben auf die Ecken selbst übertragen, d.h. die Ecken aus U werden gelb und die aus V blau gefärbt: U V Diese Eckenfärbung ist so geartet, dass je zwei adjazente Ecken des Graphen unterschiedlich gefärbt sind. Der folgende Satz zeigt, dass wir damit eine neue Charakterisierung bipartiter Graphen erhalten:

3 Chr. Nelius: Graphentheorie (WS 2018/19) 8 Bipartite Graphen 28 (8.4) BEM: Sei G ein Graph mit mindestens zwei Ecken und ohne Schlingen. Lassen sich dann die Ecken von G mit genau zwei Farben (etwa gelb und blau) so färben, dass adjazente Ecken immer unterschiedliche Farben haben, so ist (U, V ) mit U = {u u E(G), u ist gelb gefärbt} V = {v v E(G), v ist blau gefärbt} eine Bipartition von G. Der Graph G ist dann also bipartit. (8.5) SATZ: Sei G ein Graph mit mindestens 2 Ecken. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: a) G ist bipartit b) Gbesitzt keine Schlingen, und dieecken von Gkönnen so mit genauzwei Farbengefärbt werden, dass je zwei adjazente Ecken unterschiedliche Farben haben. (8.6) SATZ: Für einen Graphen G mit mindestens zwei Ecken sind folgende Aussagen äquivalent: a) G ist bipartit b) G enthält keine Schlingen, und jede Zusammenhangskomponente mit mindestens zwei Ecken ist bipartit. Wir wollen jetzt Kreise in bipartiten Graphen untersuchen. (8.7) SATZ: G = (E,K) sei ein bipartiter Graph mit der Bipartition (U,V ). Dann gilt: a) Jeder Kantenzug zwischen zwei Ecken aus U (bzw. zwischen zwei Ecken aus V ) ist gerade. b) Jeder Kantenzug zwischen einer Ecke aus U und einer Ecke aus V ist ungerade. c) In einem bipartiten Graphen gibt es keine ungeraden Kreise. Nach (8.7c) gibt es in einem bipartiten Graphen keine ungeraden Kreise. Wir wollen uns überlegen, dass auch die Umkehrung gilt. Dazu benötigen wir den folgenden Satz: (8.8) SATZ: Jeder ungerade geschlossene Kantenzug in einem beliebigen Graphen enthält einen ungeraden Kreis.

4 Chr. Nelius: Graphentheorie (WS 2018/19) 8 Bipartite Graphen 29 (8.9) SATZ: Für einen Graphen G mit mindestens zwei Ecken sind folgende Aussagen äquivalent: a) G enthält keine ungeraden Kreise b) G besitzt keine Schlingen, und zwischen je zwei verschiedenen Ecken von G gibt es entweder nur gerade Wege oder nur ungerade Wege. (8.10) SATZ: (König, 1936) Ein Graph mit mindestens zwei Ecken ist genau dann bipartit, wenn er keine ungeraden Kreise enthält. Bew: Der Satz beinhaltet eine Äquivalenzaussage, so dass zwei Beweisrichtungen erforderlich sind: = Ist G bipartit, so gibt es in G nach (8.7c) keine ungeraden Kreise. = Sei jetzt umgekehrt G ein Graph mit mindestens zwei Ecken, in dem es keine ungeraden Kreise gibt. Es wird gezeigt, dass es eine Bipartition von G gibt, G also bipartit ist. Dazu machen wir eine Fallunterscheidung: 1. Fall: G ist zusammenhängend. Sei u eine feste Ecke von G. Die Mengen U und V seien definiert durch U := {x x E(G), x ist durch einen geraden Weg mit u verbindbar} {u} V := {y y E(G), y ist durch einen ungeraden Weg mit u verbindbar} Wir wollen zeigen, dass (U,V ) eine Bipartition von G ist. Dazu prüfen wir die Bedingungen 1) bis 3) aus der Definition (8.1a) nach. 1) Wegen u U ist U. Da G zusammenhängend ist und mindestens 2 Ecken hat, gibt es eine zu u inzidente Kante. Ist v die andere Begrenzungsecke von, so gilt v V, da es zwischen u und v einen Weg der Länge 1 (ungerade) gibt. Also V. 2) Zunächst ist U V = E(G) zu zeigen, d.h. es ist die Gleichheit zweier Mengen nachzuweisen (siehe B) aus 4). Sei x E(G) eine beliebige Ecke. Ist x = u, so folgt x U und damit x U V. Ist x u, so gibt es einen Weg zwischen u und x, da G zusammenhängend ist. Dieser Weg kann gerade oder ungerade sein, so dass x U oder x V, also x U V folgt. Damit gilt E(G) U V. Da die umgekehrte Beziehung U V E(G) klarerweise gilt, ergibt sich insgesamt U V = E(G). Als nächstes ist U V = nachzuweisen. Annahme: U V. Dann gibt es eine Ecke x, die sowohl in U als auch V liegt. Wegen x V ist x u, so dass es zwischen u und x sowohl einen geraden Weg (x U) als auch einen ungeraden Weg (x V ) gibt im Widerspruch zu (8.9). Folglich ist U V =.

5 Chr. Nelius: Graphentheorie (WS 2018/19) 8 Bipartite Graphen 30 3) Sei eine beliebige Kante mit den Begrenzungsecken x und y. x y Es ist zu zeigen, dass entweder x U und y V oder x V und y U gilt. Da G keine Schlinge (=ungerader Kreis der Länge 1) besitzt, muss x y gelten. Wegen x E(G) = U V und U V = gilt entweder x U oder x V. Fall a) x U Z.z. y V Wäre y = u, so wäre u x ein ungerader Weg, woraus x V folgen würde im Widerspruch zu U V =. Also gilt y u. Fall a1) x = u. Dann ist u y ein ungerader Weg, woraus y V folgt. Fall a2) x u. Dann existiert ein gerader Weg β zwischen u und x: u... x y β γ Hängt man die Kante an den Weg β, so entsteht ein Kantenzug γ zwischen u und y, der die ungerade Länge l(β) + 1 hat. Fall a2.1) y E(β) Dann ist γ ein Weg ungerader Länge zwischen u und y, d.h. y V. Fall a2.2) y E(β) Dann ist y eine der Ecken, durch die der Weg β verläuft. Dabei gilt y u und y x. u... y... x } δ {{ } β Der Kreis y... x y muss gerade sein, da es keine ungeraden Kreise gibt. Folglich hat der Teilweg y... x eine ungerade Länge. Da β ein gerader Weg ist, hat der Teilweg δ zwischen u und y dann eine ungerade Länge, was y V zur Folge hat. Fall b) x V Z.z. y U Mit ähnlichen Überlegungen wie im Fall a2) lässt sich dann auch y U herleiten. 2. Fall: G ist unzusammenhängend. Sei Z eine Zusammenhangskomponente von G mit mindestens zwei Ecken. Ein ungerader Kreis in Z wäre auch ein ungerader Kreis in G, so dass Z keine ungeraden Kreise enthält. Da Z nach (6.5) auch zusammenhängend ist, ist Z nach dem 1. Fall bipartit. Satz (8.6) liefert schließlich, dass der ganze Graph G bipartit ist. (8.11) FOLGERUNG: a) Jeder Baum Graph mit mindestens zwei Ecken ist bipartit. b) Der Weg Graph P n ist für n 2 bipartit. c) Der Kreis Graph C n ist genau dann bipartit, wenn n eine gerade natürliche Zahl 2 ist.