Grundbegri e der Graphentheorie: Eckengrad, Wege und Kreise, Zusammenhang

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1 raphen- und Berechenbarkeitstheorie rundbegri e der raphentheorie: Eckengrad, Wege und Kreise, Zusammenhang 0.1 raphen Ein raph ist ein aar = (V, E) disjunkter Mengen mit E [V ]2, wobei [V ]2 die Menge der zweielementigen Teilmengen von V ist. Die Elemente von V werden Ecken von, die Elemente von E Kanten von genannt. Wir sagen auch = (V, E) ist ein raph auf V und schreiben V () statt V und E () statt E. Wir betrachten nur endliche raphen, d.h. V ist endlich. Mit = V () wird die Ordnung von bezeichnet und kk = E (). Der leere raph ist (, ) =. Für eine Kante {, } schreiben wir kürzer oder. Ist X V und Y V, so heiÿt eine X Y -Kante. Die Menge aller X Y -Kanten aus E bezeichnen wir mit E (X, Y ). Bei einelementigen Mengen lassen wir die Mengenklammern weg. Die Menge E (v, V \ {v}) aller mit v inzidenten Kanten wird mit E (v) bezeichnet. Eine Ecke v heiÿt mit einer Kante e inzident, wenn v e. Die beiden mit einer Kante e inzidenten Ecken heiÿen Endecken von e und e verbindet diese Ecken. Zwei Ecken, sind benachbart in und heiÿen Nachbarn voneinander, wenn E. Zwei Kanten e 6= f sind benachbart, falls sie eine gemeinsame Endecke haben. Sind je zwei Ecken von benachbart, so heiÿt vollständig. Einen vollständigen raphen mit n Ecken bezeichnen wir mit K n. f w e h v Abbildung 1: Beispiel raph Die Ecke v ist mit der Kante e und der Kante f inzident,, v sind die Endecken von e. Zum Beispiel sind die Ecken und benachbart. Die Kanten e und f sind benachbart, da sie die gemeinsame Endecke haben, die Kanten f und h sind nicht benachbart. Der raph ist nicht vollständig, da beispielsweise die Ecken und v nicht benachbart sind. Die gröÿte Mächtigkeit einer Menge paarweise benachbarter Ecken in ist die Cliquenzahl ω (). Im obigen Beispiel ist ω = 2. Eine Teilmenge von V oder von E heiÿt unabhängig, wenn ihre Elemente paarweise nicht benachbart sind. Die gröÿte Mächtigkeit einer unabhängigen Eckenmenge in ist die Unabhängigkeitszahl α (). Sei 0 = (V 0, E 0 ) ein weiterer raph. heiÿt isomorph zu 0 (kurz: ' 0 ), wenn es eine Bijektion φ : V V 0 gibt mit E φ () φ () E 0 für alle, V. Eine solche Abbildung φ heiÿt Isomorphismus ; ist V = V 0, heiÿt Φ auch Automorphismus. Ordnet eine Funktion isomorphen raphen gleiche Werte zu, so wird sie (raphen-) Invariante genannt. Beispielsweise sind Ecken- und Kantenzahl oder α und ω rapheninvarianten. Wir de nieren 0 := (V V 0, E E 0 ) und 0 := (V V 0, E E 0 ). Ist 0 =, so sind und 0 disjunkt und 0 := (V V 0, E E 0 {vv 0 : v V, v 0 V 0 }). Das Komplement von ist der raph auf V, in dem zwei Ecken genau dann benachbart sind, wenn sie es in nicht sind. 1

2 raphen- und Berechenbarkeitstheorie ist isomorph zum Komplement. Der Kantengraph L () von ist der raph auf E in dem, E genau dann als Ecken benachbart sind, wenn sie es als Kanten in sind. ilt V 0 V und E 0 E, so heiÿt 0 Teilgraph von (bzw. Obergraph von 0 ), kurz 0. Der Teilgraph 0 heiÿt induziert oder aufgespannt von V 0 in, wenn er alle Kanten E mit, V 0 enthält. Dann heiÿt 0 Untergraph von und wir schreiben [V 0 ] für 0. Umgekehrt nennt man 0 einen aufspannenden Teilgraphen von, wenn V 0 ganz aufspannt, d.h. V 0 = V. Sei U beliebige Menge, dann ist [V \ U ] = U der raph der aus durch Löschen aller Ecken in U V und aller mit diesen Ecken identi zierten Kanten entsteht. Wir schreiben wieder v statt {v} für einelementige Mengen und für raphen V (0 ) = 0. Ist F Teilmenge von [V ]2, so setze F := (V, E \ F ) und + F := (V, E F ). 0.2 Der rad einer Ecke Sei = (V, E) ein nicht leerer raph. Dann ist N (v) die Menge aller Nachbarn einer Ecke v. Allgemeiner bezeichnet N (U ) für U V die Menge aller Nachbarn in V \ U von Ecken aus U. Der rad d (v) = d (v) einer Ecke v bezeichnet die Anzahl E (v) der mit v inzidenten Kanten. Eine Ecke vom rad 0 heiÿt isoliert. Weiter nennt man δ () := minv V d (v) Minimalgrad von und () := mav V d (v) Maimalgrad von. Hat jede Ecke von den gleichen rad k, so heiÿt (k-)regulär. Einen 3regulären raphen bezeichnet man auch als kubisch. Der Durchschnittsgrad d () von. O ensichtlich gilt δ () d () (). ist de niert durch d () := v V d(v) V Also liefert Durchschnittsgrad ein Maÿ für die ungefähre Anzahl der Kanten pro Ecke. E auch direkt ausdrücken werden. Da jede Dieses Verhältnis kann durch () := V Kante genau zwei Endecken hat, folgt E = 12 v V d (v) = 12 d () V. Somit gilt () = 12 d (). roposition Die Anzahl der Ecken ungeraden rades in ist stets gerade. Wegen E = 12 v V d (v) und E N folgt, dass v V d (v)eine gerade Zahl sein muss. Damit ist die Anzahl an ungeraden d(v) in der Summe v V gerade und die roposition folgt. Beweis. Hoher Minimalgrad impliziert, dass der raph auch global viele Kanten hat, da 1 d () 21 δ (). Die Umkehrung gilt im Allgemeinen jedoch nicht: Dazu 2 betrachte eine global gesehen dichten raphen mit einer isolierten Ecke. Aber es kann ein Teilgraph H geeignet gewählt werden, so dass die Umkehrung für H gilt. Dies ist Aussage der folgenden roposition: () = 2

3 raphen- und Berechenbarkeitstheorie Sei δ (H) > (H) (). roposition mit ein raph mit kk 1. Dann hat einen Teilgraphen H Um dies zu zeigen, konstruieren wir H aus. Dazu werden sukzessive Ecken geringen rades aus entfernt, bis nur noch Ecken höheren rades übrig sind. Wir setzen 0 := und i+1 := i vi, wobei vi eine Ecke von i vom rad d (vi ) (i ) ist. Wenn i keine solche Ecke besitzt, setzen wir H := i. Da endlich ist, ist die Folge von Untergraphen endlich. Nach Wahl von vi gilt (i+1 ) (i ) für alle i. Insbesondere also (H) (). Wegen (K 1 ) = 0 < () tritt K 1 unter den i nicht auf. Insbesondere ist H nicht leer. Da H dennoch keine Ecken vi mit d (vi ) enthält, gilt für alle Ecken v in H d (v) > (H). Dies liefert δ (H) > (H) und damit die Aussage. Beweis. 0.3 Wege und Kreise Ein Weg ist ein nicht leerer raph = (V, E) der Form V = {0, 1,..., k } und E = {0 1, 1 2,..., k 1 k }, wobei die Ecken i paarweise verschieden sind. Die Ecken 0 und k heiÿen Endecken von, man sagt sie sind durch verbunden. Die Ecken 1,..., k 1 heiÿen innere Ecken von. Die Anzahl der Kanten eines Weges nennt man seine Länge. Der Weg der Länge k wird mit k bezeichnet. Ein Weg wird oft auch durch die Folge seiner Ecken bezeichnet, d.h. wir schreiben = k. Dann heiÿt 0 Anfangs- und k Endecke von. Dann wird auch Weg von 0 nach k (oder zwischen diesen Ecken ) genannt. Für 0 i j k setzen wir i := 0... i, i := i... k, i := 0... i 1, i j := i... j, := 1... k 1, und i j := i+1... j 1. i := i+1... k Für Wege, die durch Aneinanderhängen mehrerer Wege entstanden sind, schreiben wir QR statt Q R. Für Eckenmegen A, B nennen wir einen A B -Weg, wenn V ( ) A = {0 } und V ( ) B = {k }. Wie zuvor werden bei einelementigen Mengen A, B die Mengenklammern weggelassen. z z Q Qz Beispiel zum Aneinanderhängen zweier Wege Zwei oder mehr Wege heiÿen kreuzungsfrei, wenn keiner eine innere Ecke des anderen enthält. Beispiel: Zwei a b-wege sind kreuzungsfrei, wenn sie bis auf a und b disjunkt sind. Ist H ein raph, so nennen wir einen H -Weg, wenn den raphen H genau in seinen Endecken 0, k tri t und diese verschieden sind. Ist = 0... k 1 ein Weg und k 3, so ist der raph C := + k 1 0 ein Kreis. Auch einen Kreis bezeichnen wir häu g kurz durch seine Eckenfolge (z.b k 1 0 ). Die Länge eines Kreises ist wieder die Anzahl seiner Kanten, und den Kreis der Länge k bezeichnen wir mit C k. Die Länge des kürzesten Kreises in einem raph ist die 3

4 raphen- und Berechenbarkeitstheorie g () von, die Länge des längsten Kreises ist der Umfang. Enthält keinen Kreis, so habe Taillenweite und Umfang 0. Eine Kante von, die zwei Ecken eines Kreises in verbindet, jedoch nicht selbst Kante des Kreises ist, heiÿt Sehne dieses Kreises. Ein Kreis in genau dann sehnenlos, wenn er als Teilgraph in induziert ist, was man wie folgt einsieht: Ein Kreis C ist genau dann als Teilgraph induziert, wenn C alle Kanten enthält, deren Endecken beide in C liegen. Dies gilt genau dann wenn keine Kante in eistiert, die nicht Kante des Kreises ist, aber deren beide Endecken im Kreis C liegen. Letzte Bedingung ist äquivalent zur Tatsache, dass C in sehnenlos ist. Taillenweite Kreis C 8 mit Sehne und induzierte C 4, C 6. Hat hohen Minimalgrad, so enthält lange Wege und Kreise: roposition δ () 2 Jeder raph enthält einen Weg der Länge δ () und falls auch einen Kreis der Länge mindestens gröÿer gleich δ () + 1 und insbesondere impliziert δ () + 1. (d.h. der Umfang ist δ () 2 die Eistenz eines Krei- ses). Beweis. Es sei 0... k ein längster Weg in. Alle Nachbarn von k in liegen dann auf diesem Weg, denn sei ein Nachbar von k und liege nicht auf dem Weg, dann ist 0... k ein Weg der Länge k + 1. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass 0... k längster Weg ist. 0 i k Alle Nachbarn von k liegen auf dem längsten Weg. Es folgt k d (k ) δ () und damit die erste Aussage. Da δ () 2, hat k mindestens zwei Nachbarn. Damit eistiert neben k 1 ein weiterer Nachbar. Also gibt es ein i s.d. i k E (). Sei i < k minimal mit dieser Eigenschaft, so ist i... k i ein Kreis der Länge mindestens δ () + 1. Es besteht bei variabler Eckenzahl kein Zusammenhang zwischen dem Minimalgrad und der Taillenweite. Das bedeutet beliebig hohes δ und g sind gleichzeitig möglich. Dazu vergleiche auch Kapitel 9. Der Abstand zweier Eckenmengen X, Y in ist die Länge des kürzesten X Y Weges in. Eistiert kein solcher Weg, so sei ihr Abstand unendlich. Den Abstand zweier einzelner Ecken, bezeichnen wir mit d (, ). Der gröÿte Abstand zweier Ecken in ist der Durchmesser diam von. 4

5 raphen- und Berechenbarkeitstheorie Folgende roposition liefert einen Zusammenhang zwischen Durchmesser und Taillenweite: roposition Enthält der raph einen Kreis, so gilt g () 2 diam () + 1. Beweis. Es sei C ein kürzester Kreis in. Angenommen g () 2 diam () + 2, so enthält C zwei Ecken,, die in C einen Abstand von mindestens diam () + 1 haben. Nach Denition des Durchmessers haben diese Ecken in geringeren Abstand. Somit liegt ein kürzerer Weg nicht in C. Folglich enthält einen C-Weg. Zusammen mit dem kürzeren der beiden -Wege in C ergibt einen kürzeren Kreis als C. Eine Ecke heiÿt zentral in, wenn ihr gröÿter Abstand von anderen Ecken möglichst klein ist. Dieser Abstand ist der Radius von, kurz: rad. Es gilt also: rad () = min V () ma V () d (, ). Oensichtlich gilt: rad () diam 2 rad (). roposition Ein raph mit Radius k und Maimalgrad höchstens d (wobei d d 3) hat weniger als (d d 2 1)k Ecken. Beweis. Sei z eine zentrale Ecke in und bezeichne D i die Menge der Ecken von mit Abstand i von z. Dann gilt: V () = k D i. (1) Oensichtlich ist D 0 = 1 und D 1 d. Für i 2 gilt folgendes: Jede Ecke in D i ist Nachbar einer Ecke in D i 1. Da jede Ecke in D i 1 bereits mindestens einen Nachbarn in D i 2 hat und () d hat sie höchstens d 1 Nachbarn in D i. Somit gilt i=0 D i (d 1) D i 1 für alle i 2. (2) Behauptung: D i d (d 1) i 1 für alle i 1. Beweis mit Induktion nach i: Induktionsanfang i = 1: D 1 d = d (d 1) 0. Induktionsschritt: Es gelte die Aussage für i 1. Dann folgt D i (2) (d 1) D i 1 IV (d 1) d (d 1) i 2 = d (d 1) i 1. Das zeigt die Behauptung. Somit haben wir (1) = k D i 1 + d i=0 k i=1 (d 1) i 1 = 1 + d ( ) (d 1) k 1 < d d 2 d 2 (d 1)k, wobei wir im dritte Schritt die geometrischen Reihe, genauer k 1 i=0 (d 1)i = 1 (d 1)k 1 (d 1) verwendet haben. 0.4 Zusammenhang Ein nicht leerer raph heiÿt zusammenhängend, wenn er für je zwei seiner Ecken, einen -Weg enthält. Trivialerweise sind vollständige raphen zusammenhängend. 5

6 raphen- und Berechenbarkeitstheorie Ist U V () und [U ] zusammenhängend, so nennen wir auch U selbst zusammenhängend in. = (V, E) ein zusammenhängender raphen. Dann besitzt v1,..., vn, so dass für jedes i der Untergraph i := [v1,... vi ] roposition V eine Aufzählung Sei zusammenhängend ist. Wähle v1 beliebig. O ensichtlich ist [v1 ] zusammenhängend. Seinen nun v1,..., vi bereits gewählt und i <. Wähle nun eine Ecke v aus i beliebig. Da zusammenhängend ist, enthält einen v v1 -Weg. Wähle vi+1 als letzte Ecke von in i. Dann hat vi+1 einen Nachbarn in i. Also ist [v1,... vi, vi+1 ] Beweis. zusammenhängend. Mit vollständiger Induktion folgt die Behauptung. Es sei = (V, E) ein raph. Ein maimaler zusammenhängender Teilgraph von ist eine Komponente von. Als zusammenhängende raphen sind Komponenten nicht leer. Somit hat genau dann keine Komponenten, wenn leer ist. Ein minimaler aufspannender Teilgraph von, dessen Schnitt mit jeder Komponente von zusammenhängend ist, heiÿt erüst von. raph mit drei Komponenten und erüst K 1 K 4 K 1 4 Sind A, B V und X V E und enthält jeder A B -Weg in eine Ecke oder Kante aus X, so trennt X die Mengen A und B in und ist ein A B -Trenner. Insbesondere gilt A B X. X trennt den raphen, wenn X in zwei Ecken aus X trennt. Eine Ecke die zwei andere Ecken der gleichen Komponente trennt, heiÿt Artikulation. Eine Kante heiÿt Brücke, wenn sie ihre Endecken trennt. O ensichtlich gilt dies genau dann wenn sie auf keinem Kreis liegt. v w e raph mit Artikulationen v, w,, und Brücke = e. Sei k N. Dann heiÿt k-zusammenhängend, wenn > k und X für jede Eckenmenge X V mit X < k zusammenhängend ist. Das bedeutet, dass keine zwei Ecken von durch weniger als k andere Ecken getrennt werden. Jeder nicht leere raph ist 0-zusammenhängend. 1-zusammenhängende raphen sind gerade die nicht trivialen zusammenhängenden raphen. Die gröÿte natürliche Zahl k <, für die k -zusammenhängend ist, ist der Zusammenhang κ () von. Insbesondere gilt: 6

7 raphen- und Berechenbarkeitstheorie κ () = 0 genau dann wenn nicht zusammenhängend oder = K 1. Da K n vollständig ist, ist jeder Ecke aus K n mit n 1 Ecken verbunden. Daher gilt κ (K n ) = n 1 für alle n 1. Ist > 1, so heiÿt l-kantenzusammenhängend, wenn F für jede Kantenmenge F E der Mächtigkeit < l zusammenhängend ist. Das gröÿte l N, für das l-kantenzusammenhängend ist, ist der Kantenzusammenhang λ () von. Es gilt: λ () = 0 genau dann wenn nicht 1-kantenzusammenhängend, also eine Kantenmenge F E der Mächtigkeit 0 eistiert, so dass F nicht zusammenhängend ist. Folglich gilt λ () = 0 genau dann wenn nicht zusammenhängend. Für vollständige raphen gilt λ (K n ) = n 1. roposition Sei 2. Dann gilt κ () λ () δ (). Zu λ () δ (): Sei v die Ecke mit rad δ (). Dann ist nicht (δ () + 1)kantenzusammenhängend, da die δ () mit v inzidenten Kanten v in trennen. Folglich λ () δ (). Zu κ () λ (): Sei F eine Menge von λ () Kanten, so dass F nicht zusammenhängend ist. Dabei wird F minimal gewählt, d.h. kein F mit F = F e für eine Kante e in F erfüllt diese Eigenschaft. Wir zeigen: κ () F. 1.Fall: hat eine Ecke v, die nicht Endecke einer Kante aus F ist. Sei C die v enthaltende Komponente von F. Dann trennen die Endecken der Kanten aus F die Ecke v von C nach Konstruktion. Da F minimal und C maimal zusammenhängend, hat keine Kante mehr als eine Endecke in C. Damit gibt es höchstens F solche Endecken. Also κ () F im ersten Fall. 2.Fall: Jede Ecke von ist Endecke einer Kante aus F. Sei v beliebige Ecke, und C die v enthaltende Komponente von F. Da C maimal zusammenhängend mit v C liegen alle Nachbarn w von v mit vw 6 F in C. Nach Annahme im 2.Fall sind alle diese Nachbarn Endecken von (paarweise verschiedenen) Kanten aus F, wobei die Eigenschaft, dass die Kanten dabei paarweise verschieden sind aus der Minimalität von F folgt. Folglich d (v) F. Die Nachbarn N (v) trennen v o ensichtlich von den restlichen Ecken aus. Das impliziert κ () d(v) F, es sei denn es gibt keine solchen (restlichen) Ecken, d.h. N (v) {v} = V. Da v beliebig war, gilt dies dann aber für alle v V (). Somit ist vollständig und es gilt κ () = 1 = λ (). Beweis. H Das Oktaeder (links) mit κ() = λ() = 4 und ein raph H mit κ(h) = 2 und λ(h) = 4. Hoher Zusammenhang impliziert also hohen Minimalgrad. Umgekehrt sichert hoher Minimalgrad aber keinen hohen Zusammenhang, ja nicht einmal hohen Kantenzusammenhang. Dazu betrachte z.b. einen raph der aus zwei Untergraphen 1, 2 mit hohem δ(i ) besteht, die nur durch eine Kante verbunden sind. 7

8 raphen- und Berechenbarkeitstheorie Theorem (Mader 1972). Jeder raph mit Durchschnittsgrad mindestens 4k hat einen k-zusammenhängenden Teilgraphen. Beweis. Da der Durchschnittsgrad für deniert ist, ist nichtleer. Somit folgt für k = 0 direkt die Aussage. Für k = 1 folgt aus d() 4 schon 4. Dann ist eine Kante mit ihren beiden Endecken ein 1-zusammenhängender Teilgraph. Sei nun = (V, E), n := V und m := E sowie k 2. Um den Satz von Mader zu zeigen induzieren wir über die Ordnung n des raphen. Aus Induktionsgründen ist es einfacher, die folgende stärkere Behauptung zu zeigen: Induktionsannahme: hat einen k-zusammenhängenden Teilgraphen, wenn (i) n 2k 1 und (ii) m (2k 3) (n k + 1) + 1. Dies sind schwächere Voraussetzungen als d () 4k, was wie folgt eingesehen werden kann: Aus d () 4k folgen (i) und (ii), da n > () d () 4k 2k 1 und m = 2 1 d () n 2kn 2kn 2 (k 1) 2 3n + k = (2k 3) (n k + 1) + 1. }{{}}{{}}{{} 4k 0 0 Damit sind (i) und (ii) schwächere Voraussetzungen und es reicht die Induktionsannahme zu zeigen. Induktion über n, die Ordnung des raphen. Induktionsanfang: n = 2k 1 3. Dann gilt k = 2 1 (n + 1) < n 1. Nach (ii) gilt somit: m ( 2 ( 2 1 (n + 1) ) 3 ) ( n 2 1 n ) + 1 = = (n 2) ( 2 1 n + 2 1) + 1 = 2 1 ((n 2) (n + 1) + 2) = =2 1 n (n 1). Ein raph mit n Ecken ist oensichtlich genau dann vollständig, wenn er ( n 2) = 2 1 n (n 1) Kanten enthält. Somit ist vollständig. Da k+1 < n, ist = K n K k+1 und die Behauptung wahr. Induktionsschritt: n 2k und gelte die Aussage für alle raphen der Ordnung < n. Ist v eine Ecke mit d (v) 2k 3, so können wir die Induktionsannahme auf v anwenden und sind fertig. Es gelte daher, dass der Minimalgrad δ () 2k 2. Ist k-zusammenhängend, so gibt es nichts zu zeigen. Andernfalls hat die Form = 1 2 mit 1 2 < k und 1, 2 < n. Da jede Kante von eine Kante von 1 oder von 2 ist, hat keine Kante zwischen 1 2 und 2 1. Nach der Annahme δ () 2k 2 hat jede Ecke in diesen Untergraphen 2k 2 Nachbarn und so gilt 1, 2 2k 1. Angenommen weder 1 noch 2 erfüllen die Induktionsannahme (ii). Dann gilt i (2k 3) ( i k + 1) für i = 1, 2 (3) 8

9 raphen- und Berechenbarkeitstheorie und somit m (3) (2k 3) ( k + 2) (2k 3) (n k + 1), weil = n + k 1. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass (ii) für gilt. Damit erfüllt mindestens einer der raphen 1 und 2 die Induktionsannahme, woraus die Behauptung folgt. 9