2 Komplement eines Graphen

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum für Mathematik Prof. Dr. Ulrich Bauer, Zi Ye WS2015/2016 Datum: 21. Dezember Übungen zu Fallstudien der Mathematischen Modellbildung (Modellierung mit Graphen) (1 Wiederholung fundamentaler Begrie) 1 Zusammenhängender Graph Sei a ein Knoten des zusammenhängenden Graphs G = (V, E). Zeigen Sie, dass G bipartit ist genau dann, wenn für jede Kante bc gilt, dass d(a, b) d(a, c), wobei d(a, b) die Länge des kürzesten Pfades zwischen a und b in G bezeichnet. ( ) Sei G bipartit. Man betrache einen bestimmten Knoten a. Es ist dann einfach zu sehen, dass ein Knoten b in der gleichen Telmenge wie a liegt genau dann, wenn jeder Pfad zwischen a und b gerade Länge hat. Angenommen, für die Kante bc existiert ein Knoten a mit d(a, b) = d(a, c). Dann gibt es Pfade zwischen a und b mit gerade und ungerade Länge. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass G bipartit ist. ( ) Für einen gegebenen Knoten a seien V 1 := {b V d(a, b) gerade} V 2 := {b V d(a, b) ungerade} Es ist einfach zu sehen, dass V 1 V2 = V und V 1 V2 =. {V 1, V 2 } bilden eine Partition von V. Nun kann man zeigen, dass es keine Kante gibt, die zwei Punkten in V 1 (oder V 2 ) verbindet. Angenommen es existiert eine Kante bc mit b, c V 1, dann sind d(a, b) und d(a, c) beide gerade Zahlen. Das heiÿt, es gibt einen Pfad bac mit gerader Anzahl an Kanten. Der mittlere Punkt von bac hat den gleichen Abstand zu b und c. Das ist ein Widerspruch zu der Annahme. 2 Komplement eines Graphen Sei G = (V, E) ein einfacher Graph und K = ( V 2) die zwei-elementigen Teilmengen von V. Der komplementäre Graph H = (V, K \ E) hat eine Kante zwischen allen Paaren von Knoten, die nicht in G mit einer Kante verbunden sind. 1. Zeigen Sie: wenn G isomorph zu seinem Komplementärgraph ist, dann hat die Anzahl der Knoten von einem einfachen Graph G die Form 4k oder 4k + 1 hat, wobei k eine natürliche Zahl ist.

2 (a) Ein einfacher Graph G (b) Komplementärer Graph von G 2. Finden Sie alle einfache Graphen mit vier oder fünf Knoten, die zu seinem Komplement isomorph sind. 3. Finden Sie einen Graph mit acht Knoten, der isomorph zu seinem Komplement ist. 1. Die Vereinigung von G und H ist der vollständiger Graph (V, K), der n(n 1) 2 Kanten hat. Wenn G isomorph zu H ist, dann haben sie beide n(n 1) 4 Kanten. Das heiÿt, dass entweder n oder n 1 ein Vielfaches von 4 ist. Deswegen ist n = 4k oder 4k Die Graphen mit 4 Knoten: Die Graphen mit 5 Knoten: 3. Eine Beispiel kann man in folgender Datei nden:

3 3 Automorphismen von Bäumen Zeigen Sie: Jeder Automorphismus eines Baums bildet einen Knoten oder eine Kante auf sich selbst ab. Sei G 0 der ursprüngliche Graph. Dann entfernt man alle Blätter von G 0 und bekommt G 1. Noch mal entfernt man alle Blätter von G 1 und bekommt G 2. Nach einer endlichen Zahl an Iterationen haben wir G n, für den alle Knoten Blätter sind. G n ist entweder ein Knoten oder zwei Knoten mit einer Kante. Jeder Automorphismus auf G i induziert einen Automorphismus auf G i+1, weil die Blätter durch den Automorphismus nur auf Blätter abgebildet werden können. Schlieÿlich ist zu zeigen, dass der Automorphismus auf G n immer einen Knotenoder Kantenxpunkt hat. 4 Satz von Kuratowski Welche der folgenden Graph sind planar? Finden Sie für die planaren Graphen eine gradlinige Einbettung in die Ebene und nden Sie für jeden nicht planaren Graph einen Teilgraph, der ein Unterteilungsgraph von K 5 oder K 3,3 ist. (a) (b) (c) (d) (e) (a) Planar.

4 (b) Planar. (c) Nicht planar. Es gibt ein Isomorphismus von dem Untergraph zu K 3,3. K 3,3 (d) Nicht planar. Es gibt ein Isomorphismus von dem Untergraph zu K 3,3. (a) K 3,3 (e) Planar

5 5 Fluÿüberquerungen Die folgenden Rätsel stammen aus dem 9. Jahrhundert (Propositiones ad acuendos iuvenes). 5.1 Eifersüchtige Männer Drei Männer und ihre Ehefrauen wollen einen Fluÿ überqueren. Sie haben nur ein kleines Boot, das gleichzeitig nur zwei Personen halten kann. Kein Mann erlaubt seiner Frau, in Begleitung der anderen Männer zu sein, wenn er nicht selbst auch dabei ist. Zeichnen Sie den Graphen aller zulässigen Aufteilungen der Personen und schlagen Sie vor, wie sie den Fluÿ überqueren können. (In dem Rätsel waren Frauen und Männer nicht gleichgestellt. Gibt es eine Lösung, wenn alle Ehepartner eifersüchtig sind?) Bei jeder Seite des Fluÿes muss es entweder mehr Männer als Frauen oder gar keine Männer geben. Dann kann man einen Graphen für die Anzahl der Männer und Frauen an dem Ufer zeichnen, wo die Menschen am Anfang stehen. Im folgenden Graph stellen eine zulässige Aufteilung und eine verbotene Aufteilung dar. Man geht von (3, 3) aus und will schlieÿlich zu (0, 0) kommen. Die Bewegungen nach links oder unten entsprechen der Hinfahrt und die Bewegung nach rechts oder oben entsprechen der Rückfahrt. Jede Bewegung enthält maximal zwei Kanten. Bei jedem Schritt muss man noch beachten, dass sich eine wirkliche Lösung ergibt, weil der Graph die Tatsache, dass jeder Mann mit einer bestimmten Frau verbunden ist, nicht reektieren kann. Die Lösung ist wie folgenden gezeigt: Frauen Männer 5.2 Mann, Hund, Ziege und Kohl Ein Mann will mit seinem Hund, seiner Ziege und einem Kohl einen Fluÿ überqueren. Aber das Boot ist so klein, dass er nur eines davon auf einmal befördern kann. Die Ziege kann selbstverständlich nicht in Begleitung von dem Hund oder dem Kohl gelassen werden, auÿer wenn der Mann selbst auch da ist. Zeichnen Sie den einfachen bipartiten Graph der zulässigen Aufteilungen, und schlagen

6 Sie vor, wie er vorgehen soll. Eine Lösung kann man in folgender Seite nden: pdf